1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 14
Текст из файла (страница 14)
То|и!ни 1. книге «НапдЬпсь бег РЬуз|К»!, Вд. 12, ВегН, !958, 8 205 Е С., ТЬе Рппс|р|ез о1 5!знз(|са( МесЬашсз, Ох1огп,!958, сЬ.З. 'п, 20. Н |!! Т. 1., 81а!!М|са| Месьап|сз, !»егч тот|с, 1956, с1. 1. у . Д., нфынц Е. М., Статистическая физика, М., 1964. Ь| '....,, 1.ес пгез |и 5!в1)з(|са! Месьапкь, Рго-:..3 23. Е о п К !и 1 г е С. С., Е|егпеп1агу Р)азпга РЬуМсз, Мег«тогЕ 1963. 24. Н и а п К К., 5!а!!ь|!са) МесЬвпкз, Ыегч Тоги, Б63.
25. Р|егсе Л К., ТЬеог апб Р у еМКп о1 Е|ес!гоп Веаигз, 26 еб., Рп' се|пи „1954, р. 48. 26. А г а Ь е п и у А., Апгег. Зонги. РЬуз., 25, 519 (! 957) . книге «НапбЬпсь бег РЬуз!Ь», ВЕ 21, Бегин. 1956, 5. 383. (з! . 5 р ! 12 е г ц, РЬуь!сз о| Гону |опмсб Оаьез, 26 ед., Меж уогЕ 1962, сЬ.5. . С Ь а п 6 г а з е 1! Ь а г 5., Р!азгпв Рьуз|сз, СЫсаяо. 1960, сЬ. 7. 30. 1. ! п Ь в г 1 Л. О., Р1аьгпа Рьузкз, 26 ед., 1»е»! Уогх, ! 961, сЬ. ода«Кои 1о !Ье ТЬеогу о1 |оные«1 Оазеь, !че»ч уопа '' ':,~ ., в кинге «Еа ТЬеог|е без каг пециеь е! 1оп!зез», едь.
С. оЕ Чу|11, д. Г. ОЕ1ОЕП|, МЕ»Ч УОГЬ, 1960, р. 293. ,еь 33. Е п о с Ь 3.. РЬуз. Г!и|!бз, 3, 353 (1960). 1 34. В л в с о в А. А., УКЭТФ, 8, 291 (! 938). 35. К ох | о Ьег )ч., '., К ох си Ь ! и 1 Ь М. Ы., РЬуз. Г!п|бь', 3, 1 (|960). е г п з|е ! и 1. В., РЬуз. Кеч., 109, 10 (!958).
'1 38. ТЬогп р ьоп 1[!. В., 37. Р1ампа Рьуз|сз, ес|..!. Е. Вггппмопд, )4 У 12, 196!. 1962 Рзоп . ' Ап 1п(г'бцс1!Оп |о Р|а""а РЬ"'сз Кеаб!па Л|аьз 39. 5 | гп о п А., РЬ уь Г|пгдз, 4, 69 ! (196! ) . В данной главе мы рассмотрим теорию взаимного упругого растеяния частиц, сила взаимодействия которых является центральной '), т. е. она действует вдоль линии, соединяющей центры частиц, и величина ее зависит только от расстояния между частицами. Рассматриваться будут только парные нерелятивистские столкновения. Сначала будет изложена классическая„ а затем квантовомеханическая теория.
Экспериментальные исследоваш|я упругого рассеяния описываются в гл. 4, в которой также приводятся результаты теоретических вычислений для разин шых систем. А. ЗАДАЧА О ДВУХ ТЕЛАХ, СВЯЗАННЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫМИ СИЛАМИ, В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ й 1. Выделение движения центра масс из общего движения Рассмотрим две частицы с массами пг и М, потенциал взаи- модействия которых )2(г) является функцией только длины век- тора, соединяющего (точечные) частицы. Пусть К и Км — ра- диус-векторы двух частиц в лабораторной системе координат.
Таким образом, г= К вЂ” Км. Если внешние силы отсутствуют, то второй и третий законы движения Ньютона для этой системы можно записать в виде 2(»К 1 =и —, л! = »12 и'Км (3.1.2) С, .ни|2 [ь н [хо полУчаемые из потенциала [7(г), действУют на и (первая) и на М (вторая). Введем теперь вектор К, определяю! Рассеяние в поляк нецентральных снл, подобных описанным в гл. 1, 1 7 Гасе!!а«ранье!си в книге [!). ГЛАВА З ший положеяие центра масс двух частиц относительно начала лабораторной системы координат: п +мйм гл+ М (3 1.3) (см. гл. 1, 3 2).
Если мы дважды продяфференцируем (3.1.3) по времени, то получим '«й + Мйм гт + Рм (3.1.4) Таким образом, мы видим, что центр масс движется прямолинейно с постоянной скоростью. Умножнм теперь (3.1.1) на М, а (3.1.2) — па т и вычтем первое выражение нз второго. В результате получим гтл ~т "Иг гтга (Йлг ЙМ) (3.1.5) где М, †приведенн масса пары частиц, идМ гл+ М Так как $ж действует в напраьлении вектора ганК„- - Кдг, урав пение (3.1.5) для относительного движения имеет ту же форму что и уравнение движения Одной точки с массой М, в поле цен тральных сил.
ТЕОРИЯ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ В ПОЛГ !1ЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ уй ,, е чи, и чм — скоРости частиц пт н М в лабоРатоРной системе, нх относительная скорость' ) н г — радиус-вектор, направленшйй От М к Ги; К ---вектор, величина и направ,пение которого остояпны во времени. Очевидно„ что К перпендикулярно плоскости, определяемой г и ч,. Таким образом, обе частицы и их центр масс остаются во время столкновения в плоскости, перпендикулярной вектору К.
Так как столкновение происходит в -т— ь й 2. Сведение к задаче двух тел в двух измерениях Умножим теперь векторно (Рс,„— а(лг) на (3.1.5). В соотвст ствии с определением центральной силы левая часть окажется равной нулю. Поэтому гуг ((У (УМ) Х Гд (Йж мм) =О или —;„~(~,. — ~м) Х вЂ”,", (~. — 1(м)~ -Ы(~- — ~-) Х,~ (В- — Вм)1=-О В~орое слагаемое левой части этого уравнения, очевидно, равно нулю. Если мы проинтегрируем первое слагаемое по времени, то получим (к — к )х — „Гжю — К )=(к — к )х Х(ч — чм)=г Х ч,=-К, (32.1) Ф иг, 32.1.
Взаимное упругое рассеяние частиц гл и М, рассматриваемое и системе центра масц и которой движение йнумерно. И даннои случае движение происходит а плоскости чертежа, кегораа перпендикулярна иекгораи К и д. Предполагается, что нотенпиал ааакиолейсгаия состеиг иа лиух конпоиент— потеиииала пригялсеиия н погенинала отгалкиааиня, деггсгиуюжсго иа а~ольших Расстояниях.
Фиксировагшой плоскости, проходящей через центр масс, и известно, ГГО движение последнего равномерно, то можно рассматривать задачу только в двух измерениях. Г(а фиг. 3.2.1 показано столкновение, происходящее в плоскости. перпендикулнрной К. Здесь Ь вЂ” параметр столкновения, 'à — угол, определяющий мгновенную ориентацию вектора Г. Частицы находятся друг от друга на расстоянии Г, а отношение Г" и гм, расстояний пт и М от центра масс, равно М1дн.
На расе е е г н;ив Чо,„,, „,, „аа имй момент еремени обозилчается через ун и, — их отиосительиав скорость сближения ири больгноаг г но того, как их азаимодейсгаие станет заметным. ГЛАВА З (3.2.3) (3.2.4) »? (3,2 9) угол рассеяния в системе центра масс. Траектории частиц щ я М в системе центра масс сил!метричны относительно линни нап.
большего сближения («линии апсид») при угле (Р.,цоказатег!Яство этого утверждения мы отложим до 3 5 настоящей главы, Вычислим теперь полную кинетическую энергию (астиц Т„н в системе центра масс. Выберем прямоугольную систему коор. динат Х, У, Х, начало которой движется вместе с центром масс, я направление оси Х совпадает с направлением вектора К. Ось Х соответствует (р=-О.
Очевидно, что Тн, = — т(х' +уй)+ —,Л(х' +у'). 2 Прямоугольные и полярные координаты связаны между собой соотношениями А( хж = — г соз !р, гл+ г)( р„= — . гз!п(р, лг+ г(Г хм —— + г соя (р, (3.2.5) +М гз!и р. (3.2.6) Подставляя эти соотношения в (3.2.2), мы можем выразить ки- нетическу(о энергию системы центра масс следующим образом: Тц м = —, М„(гй+ гз(рй). (3.2.7) Момент количества движения пары частиц относительно центра масс равен .=(г Х Р )+(г, Х р ), (3.2.8) где р я рм — импульсы частиц л( и М в системе центра масс.
Компонента р, перпендикуляряая гм, определяется выражением тг (р; подобное же выражение справедливо и для М. Следовательно, уп. м. = Г,ил(гж(р+ гмМгм(р = М,гутр Величина гХУо как было показано в (3.2.1), постоанна. Абсолютное ее значение равно Г(г(р) =гз(р, н следователыю, момент количества движении является константой„как и полная энергия. Пусть Оа †начальн относительная скорость частиц, т. е. относительная скорость вне области, в которой взаимодействие становится заметным.
В течение некоторого времени, предше- теория упруГОГО РАссеяния В поле цен! РАлы1ых снл стя)'юн ! щего столкновению, угол !р — Ыг н (р -ь Ьг)гз. Тогда нз (32,2) и (3.2.9) видно, что начальная кнпети ческая энергия рав- Л О2()2 а мой!Ент колшюства двн)ксниа равен М„ЬОо на о( (см. гл. гл 1, З 2).
Поскольку полная энергия и момент количества „ог Ф и г. 3.2.2. Задача одного тела, которая с динамической точки зрения эквинйлеитнз ззднче двук тел, яллюстрируемой г[)иг. 3.2.!. Дв?нжсннс центра масс двух частац и и М, вяаимолействуюю??х череа потенциал 1' (г), мокс|о о ?релелкть лелукяцим абравоьс рассматривается рассеяние олиой гнпотетвческо?1 частник е с массой М =жМ((т+М) на центре снл, иеиолвкжнам в системс центра масс.
Сипово поле опвсмаается потенциалом У(г), тле г — расстаяв?ге межлу ж и Л!. Скорость Л! в с! ! всиггсма цс?ира масс равна он начальной относительной скорости ю н М. Гипотетическая част??ца М авижстся к стационарному центру рассеянна с параметром столкновения й. Мгновенное расстояние М от центра Рассеяния равно г.
Частица М рассевваотсн ва уго В, г лв, которнй нажив вмчислить по формуле (ЗЛЛ). Этот угол равен также углу рассована т н А! в смстеме центра масс. движения системы постоянны, мы можем написать для любой точки, взятой на траектории — Л Оз = — М (гз+ гй((л) + )г (г) (3.2. 1О) у = М,ЬО„= М,гз р. (3.2.11) УРавнения (3.2.!О) н (3.2.11), представляющие собой уравнения движения в системе центра масс, полностью описывают движение через потенциал взаимодействия, начальную относительную ~корость и параметр столкновения. Если нам дан потенциал, то й(ожно найти отдельную траекторию, приписывая определенные значения параметрам Оо и Ь или константам движения (т.
е. полной энергии и моменту количества движения). Па фиг. 3,2.2 дана схема к задаче Одного тела, которая динамически эквивалентна рассматриваемой задаче двух тел [см. УРавнение (3.1,5)[. Ранее уже было показано, что эквивалентное 79 движение одного тела происходит в плоскости и мо>кет быгь представлено графически в двух измерениях. Величины (>, Ф и 0 выбраны таким образом, чтобы можно было сравнить их значения в задачах однсжо и двух тел.
8 3. Сведение к эквивалентной задаче одного тела в одном измерении (З.З.!) 5 4. Угол рассеяния в системе центра масс Самой важной характеристикой упругого рассеяния является, с нашей точки зрения, угол рассеяния в системе центра масс (см, фиг. 3.2.1). Так как траектории в системе центра масс симметричны относительно лш!ии наибольшего сближения, угол рассеяния 9 связан с углом Ф равенством О = и — 2Ф. (3 4.1) Значение Ф угла ориентации ср, соответствующее расстояии>о нанболыпего сближения, легко вычислить: О>г>>сй дается выражением (3.3.1), а с(с!«>>11 — выражением (3.2.1!). Следовательно, с>г,щ>! >'2 ~ С> (>1 гя )>>> (3.4.2) Задачу можно упростить еще больше. Если мы подставим значение ср из (3.2.! 1) в (3.2.10), то получим следующее выражение для г как функции времени: 1, ! 2 Л(ро ' 2 >1(гг~+ (гэФФ (г)' где )г»фф(г) — «эффективный потенциал», определяемый выражшп!ем «! Р«2»2 )г»зф(г) =Ь"(г)+ (3.3.2) В уравнении (3.3.1) иет слагаемых с ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
