1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Мы видим таким образом, что орбиты можно разделить на спираль>тые и неспиральные, и такое разделение часто встречается в литературе. Мы пронллюстрпруем классификацию оР- бит, рассмотрев важный случай поляризацнопного потенциала притяжения с а=4. Теоретический анализ этого случая, выполненный Ланжевеном, подробно дан в приложении 2. Потенциал 6 — 12 Леннарда — Джонса подобным же образом был рассмотрен Гиршфельдером, Бердом и Спотцем (7], а потенциал (6 — эксп.) Букингема — Мэзоном (81. ТЕОРИЯ УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ В ПОЛЕ ЦЕНТРАЛЬНык СИЛ нласснфик фикация орбит в поле полярнзационного потеициила.
Полярнзацнонный потенциал, соответствующий п=-4, имеет (3.6.3) иона, а а — электрическая поляризуемость моле„лы. таком . Б ом потенциальном поле возможны орбиты д ух С) б, с ответствующие большому моменту количсс тва пов. р иты, о г движения, сходны Г, ны с гиперболамн (фиг. 3.6,о,а), тогда как при а Фиг. 3.65. Типы орбит частицы, движущейся в поле полйризвциоиного потенциала притиженин (15). о — больярой момент количества аввженин, несоиральная ор а; биг б-малый моиеит коаиче- ствв авиженйя, синральная орбита. малом моменте количества движения частица будет двигаться по закручивающейся внутрь спирали до тех пор, пока какая-либо сила отталкивания не изменит ее направления (фиг.
3.6.5,б). Угол рассеяния в случае поляризацнонного потенциала можно выразить следующим образом й=п — 2с(>=п — 2 ~ (3.6т4) 1 — Р+ егора РА1 Рбо ГДе Р=(>/Г н Ро — меньшее нз ДвУх положительных значений корпя квадратного из полннома, стоящего в знаменателе (если ~~кис корни существуют). Если полинам не имеет действитель"ого корня, то интегрирование производится от О до со. Существование ействительного корня связано с типом орбиты. Если '> ДОСтатОЧНО ВЕЛИКО ДЛЯ ДаННОГО Ось тО ДЕйСтВИтЕЛЬНЫЙ КОРЕ ' де" ГЛАВА 2 Сечение реакции тогда будет равно ЯЬ', как это можно о' 1оя о видеть из фиг, 3.6.7, и мы получим роз ~ (3.6.8) ~с о/д Мы имеем теперь сечение реакции, выраженное только о через один паРаметР 17(гс), если У(г) известно.
УРавнениЕ;. (3.6.8) l ! гс 7 Ф и г, 3.6.7, а— — потенциал притяжении, б — потенциал отчалкнвапий. Отаоснтедыюй с|ю ссз Траензории дда звннчнмк еоеенниалов срктюкеииа и очтедниззниа, соочв ' ' з ро н сбдиюенвд частик н раазичвмм сзраметрал~ стодкновеина. Рассказ. ние между васенками уневьшзсесз до значении, меньшего, чем «ризическо» с, даа зюбой зраекзорик, сарамезр ссоакновенна которой меньше бе Считасесз, чзо казкдаз нз заик зраекзорнй сриводиз к реакнки мсмду ионом и молекулой, зак ччо сезанне реакини равно ив .
е. применимо при всех энергиях для потенциалов пригн>кения, которые нс могут привести к движению поорбите,и предсказывает монотонное уменьшение сечения от большого значения при малых энергиях до предельного значения лгу при высоких энергиях. Для потенциала притяжения, который может вызвать движение по орбите, выражение (3.6.8) справедливо лишь при боль- 89 тьОРня упругого РАссеяния а пОле центРАльных сил шнх эне!Уриях. Уравнением (3,6.6)следует пользоваться для по- вари- яризационного потенциала прн малых энергиях. Уравнение р6 8) применимо для потенциалов отталкивания только при э1ергиях, превосходяШпх некоторое пороговое значение, равное Э!ПЕР потспциалыюй энергии, определенной для радиуса го В случае потенциалов отталкивания сечение реакции возрастает по гиперболе от нуля (порог) до предельного значения лг прп больших энергиях. Эта модель была разработана Презентом (! 1, 12) и применена им и Мэзоном и Вяндерслайсом (!3) к решению некоторых частных задач.
Сечение, определяемое выражением (3.6.6), является хорошим приближением к сечению диффузии для поляризационного потенциала, точное значение которого дано выражением (9.3.13), Вто объясняется тем (14], что конечныс направления спиральных орбит в значительной мере случайны (см. приложение 2, фнг. П2.5.1), тогда как отклонения, связанные с неспиральными орбитами, настолько малы, сто вносят лишь пренебрежимо малый шслад в интеграл типа Ч,=1(! — Сояо)7,(ЕИа. „,.
(1.6.1) Фогт и Вяньс (15) также показали, что квантовомехяническос описание поляризационного потенциала во многих отношениях подобно классическому описанию. % 7. Определение сечения рассеяния Вычислим тепеРь диффсРенциальное сечение Уз(9)б(ьзцзс Рассеяния внутрь элемента б!В (на углы от О до О+б(6).
Необходимое и достаточное условие для рассеяния частиц с начальной отНОСИтЕЛЬНОй СКОРОСТЬЮ О„ВНУГРЬ ЭЛСМСНта тСЛЕСНОГО УГЛа б(ЬЗИ м = =2лз)нйдО состоит в том, чтобы частицы попали в кольцо с плспцадью сечения 2НЬ б!Ь, образуемое кругами с радиусами Ь к Ь+дЬ, где Ь связано с О соотношением (3.4.5). Следовательно, ! 2НЬ б(Ь ( = ) 7, (В) 2н я)п О б(0 ) (3.7.1) 7 (О), ю ~ ' "' ~ Ии ю . (3 7 2) ЛнфферЕНцпаЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ В ЛабаратОрПОй СИСТЕМЕ Уз (6)Юлдб опРеделаетса чеРез (а(В)с(ь)пм фоРмУлой (1.4.16), а полное сечение рассеяшш получается интегрированием дифференциального сечения по полному телесному углу: 2н и 2н н ! ~, (О)„12 ( ~ 7,(6) (Оаа,. (3.7.31 о о гллвл з (3.8.4) (3.8.5) (3.8.6) о 6 — и — 2 агс соз )в+4 (3.8.7) так что о сн с>~ . СЭ = соз ( — — — ~ = з!и —.
Таким образом, с> 2Уле' а=-2 18 — = —, 2 М,ооой (3-8.8) 7з«2 Ь= М 21~ [о/2! 1л 41 Р!2 о/ та к что 27веи о;=— М, оо»Ь чм [йч.т Эти интеграль! Расходятся в случае потенциалов бесконечно>! протяженности, таких, как [г(г) — Хг-и, из-за наличия полюса в дифференциальном сечении в направлении вперед, 0=0. 11рн потенциалах такого типа взаимодействующие частицы несколько отклоняются при любом сколь угодно большом параметре столкновения, Таким образом, плоцсадь эффективного сечения част!щ оказывается бесконечной. Этот парадокс разрешается в э 11 па основании квантовомеханических соображений.
Из выражения (3.7.2) можно видсть, что /ч(0) будет бесконечно велико, если В=г>п (»=О, 1, 2 ...) прн Ьэ»0, так как в знаменателе стоит з!п 0; оно обращается в бесконечность н прн с[с>/с/Ь=О. Оба случая возможны при потенциалах, которые на больших расстояниях явлгнотся потенциалами притяжения, а на малых — потенциаламп отталкивания '). Оба явления класси. ческого рассеяния имеюг оптические аналоги, которые становятся понятными в квантовой теории рассеяния, учитыва>ошей волновую природу частиц.
Первый эффект называют «нимбом», а второй — «Радугой». Для молекул и ионов эффект нимба в направлениях <вперед» и «назад» теряется в нерассеянном пучке, тогда как радугу при некоторых условиях можно наблюдать (см. гл. 4, ф 7, и. «б»). й 8. Кулоновское рассеяннее) Проиллюстрируем теперь применение вышеописанных приемов на выводе дифференциального сечения для кулоиовского рассеяния.
В этом случае потенциал имеет вид )г(г) = (3.8.1) Он описывает электростатическое взаимодействие между частицами с зарядом ле и яе, находящимися на расстоянии г друг от друга. Каждый заряд мотет быть положительным или отрнцательным. Введем опять переменную Р=Ь/г и определим величину а соотношением '! См.
[16!. е! Читвтелю, несомненно, изнемно, ято рвссеиние в кулоиовском иоле ° взыввмт обычно в ялеркои физике резерсрорс>овскич рассеянием. Ясное и четкое рвссмотренне резерфорловскосо рвссеяния можно найти в книге [17]. теогч .огня ипиггого ялссеяния в полн цннтялльных снл огда у да уравнение (3.4 5) принимает вид Е=-и -- 2 ) о где о один из корней уравнения [р+ар 1/ В Корни уравнения (3,8.5) таковы: 2 (4 н поскольку р = Ь/г, то очевидно, что следует выбрать решение, содержащее положительный квадратный корень. Интегрируя (3.8.4), получаем Воспользовавшись выражением (3,7.2), получаем искомую величину /(О) /а =-~ — — 1/[.„и = — „,, а„и, (3..
) .8.9 вОнО с!с> ~ "' " 4М>во в!н (8/2) Интересно отметить, что точно такое же выражение получается при квантовомеханическом анализе кулоновского рассеяния (см. э 17). Путем анализа размерностей можно показать [!81!), что если потенциал взаимодействия изменяешься как 1/г, то полное сечение рассеяния меняется как Ьз-еи, где Ь вЂ” постоянная Планка. Только при рассеивающем потенциале, соответствующем "=1, сечение не зависит от Ь, и поэтому только в этом случае возможно полное согласие квантового описания с классическим описанием, Поскольку в знаменателе стоит величина з!и'(О/2) „дифференциальное сечение, соответствующееформуле (3.8.9), приводит '! См. твиже [19!. с 22 ГЛАВА 3 к бесконечно большим значениям сечения полного рассеян яния и сечения передачи импульса.
Физической причиной расхо ждения интегралов, которыми выра>каются эти величины; яв. ляется бесконечная протяженность кулоновского потенциала Эта трудность устраняется при расчете свойств плазмы путем введения «экранированного» кулоновского потенциала; такои прием не только удобен с математической точки зрения, но и имеет физические основания. Этот вопрос рассматривается в 2 !7 настоящей главы, в приложении ! и во всех книгах по фп. анке плазмы. Экранированный кулоиовскнй потенциал так>ко точно описывает взаимодействие между атомами при больших энергиях столкновения (см. гл. 4, 5 10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
