1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Можно считать, что опо описывает одномерное движение (вдоль оси г) частицы с массой й(„и полной эиергиеи 1~4,«>Д2 в эффективном потенциальном поле, описываемом )>»««»(г). Второй член справа в уравнении для У»фф(г) равен 12/2>>1гг2 и представляет собой вращательную кинетическую энергию системы. Заметим, что этот член — -положительная монотонно убывающая функция г. Поэтому его можно рассматривать как источник фиктивной направленной вовне силы, «центробежной силы», и поэтому второй член в правой части уравнения (3.3.2) называется «центробежным потенциалом». Мы обозначим эту величину символом Уч. ТЕОРИЯ У Я УПРУГОГО РЛССЕЯНИЯ В ПОЛЕ ЦЕИТР«ЛЫ!ЫХ ИЛ 3'' иак минус отн тносится к входящей ветви траектории, а знак люс — к выхо ви.

ПРи Угле наибольшего б ем мь! име Наибольшим действительным корнем этого уравнения является асстояпие наибольшего сближения г,. С заметить, что действительное решение уравнения 3) егда существует. Если предположить, что по ения имеет вид У(г) — --г- н что и:2, то мы уш!ал притяжения и . т а дем иметь так ие значения начальной скорости и параме р .86).

столкновения, п !ия, при которых не существует решения (см. З ). т ь, пока будет двигаться по спирали, направленной внутрь, п Частица у ч го она ес не остап повит некоторая отталкивающая сила, после е !а ж. Но для двигаться по спирали, направленной наружу.

потшшиала отталкивания решение всегда существует. Гели решение существует, то г ОЭ »1,»2212 г ~ ршиение, выраженное че показатели и= — 6, — 4„— '1 Си. 1>1, «>Р. ЗО и 4 7.4. Нз уравнения (3.4.1) следует, что (3.4.5) 4>о м ла (ЗА.5) имеет для нас особое значение, так как угол рассеяния — единственная характеристика упруг ормула а п гого столкновения, которая входит в формулы для коэффициентов переноса '), Приведенный выше интеграл был вычислен для нескольких потенциалов, используемых для описания р . яейт альных неполяриых газов, п результаты применялись для вычисления свойшв переноса Гнршфельдером, Кертиссом и рд 3 8.3, 8-4 и 8-5). Решение уравнения (3.4.5) для интегрируемых п х потенциалов степеннс>го вида рассматривалось многими, в о , в том числе Уиттекером (2) и Голдстейном (31 Гели принять, что потенциал имеет иид У(г) - Р>-", то при а=+2, +1 и — 2 можно получить его рез круговые функции.

Целочисленные 1, +3, +4 и +6 приводят к решениям, ГЛАВА З аеергна 1 (3.5.1) га (3.6.2) Ь;(г)= Г (3.6.1) б И Мак Даниель выраженным через эллиптические интегралы. Дробные по,: тели гг=- г/ 3 =-+ ал, + lт, — /з, +лгз и +'ггг также приводят к эллинги ческим функциям. й 5. Симметрия траекторий в системе центра масс ент Получив дифференциальное уравнение орбиты в сис ц ра масс, мы можем теперь показать, что траектория ан. теме рия каждой частицы симметрична отггосительно линии наибо.льшегосблпжения, для которой ср=ггг. Для этого возведем в квадрат обе части уравнения (3.4.2) н произведем подстановку ср=-а+61.

Введение угла а эквивалентно повороту нашей полярной системы координат вокруг оси е. против часовой стрелки на угол Ф, так что линия наибольшего сближения соответствует теперь се=О. В зультате получаем уравнение 1)е- Траектория каждой частицы будет симметрична относительно .иннин наибольшего сближения, если при ее отражении относительно этой линии не происходит чикаких изменений. Математически это отражение выполняется путем подстановки гг вместо — сг.

При такой подстановке уравнение (3.5.1), очевидно, инвариантно. й 6. Классификация орбит; реакции между ионами и молекулами а. изические принципы. В 6 4 было сказано, что решение ф уравнения (ЗА.З) всегда существует для потенциала отталкивания, но не всегда для потенциала притяжения вида (а(«) — г-, еслп гг)~2. Это утверждение легко понять, если рассмотреть случай эффективного одномерного движения и центробежный потенциал. Рассмотрим сначала движение в типичном потенциальном поле отталкивания, которое описывается функцией (к(г), щгедставлепной на фиг.

3.6,1. лаже было указано, что при анализе задачи о рассеянии в случае одного измерения г мы должны бе н прибавить к реальному потенциалу (г(г) воображаемый центроежный потенциал )г,(г), выраженный через моиегп' количества твижеппя системы У следующим образом: тг.огня ,Орин РпРР!ОГО РАссеяния в пОле центРАльных сип б1 рргвая этого потенциала приведена на фиг. 3.6.1 для некоторого произволь звольного, но пе равного нулю значения Е На этой фигуре показан ан также полный эффективный потенциал (газа(г) =-1'(г)+ +1, г, '„',(г), Очевидно, что в этом случае к реальному потенциалу пргг авит б тся центробежный потеппиал, Если Г(г) монотонно убьгвает с Увели увеличением г„то эффективный потенциал будет вести себя такж же независимо от значения люмента количества двигкшгия.

Следовательно, в случае задачи о рассеянии в одном ч н г. З.б.1. Потенциальные фуннцнн, нспользуеные нрн анализе упругого рассеянна в поле потенциала отталнннання, кзмсрении частица с полной энергией Е приблизится к центру рассеяния и отразится на расстоянии наибольшего сближения г„, определяемом на фиг. 3.6.1 пересечением горизонтальной линии, проходящей паралле.льно оси абсцисс па высоте Е, с кривой 1гафя(г). Радиальная скорость г в любой точке траектории определяется уравнением Е = — Л,гг+ ) г,фф (г), тогда как угловая скорость должна быть такой, чтобы момент количества движения сохранялся на протяжении всего акта рассеяния В случае потенциала притяжения форма кривой эффективного потенциала совершенно иная. Но если )г(г) — г" прп п<2, то эффективный потенциал опять монотонно убывает с Увеличением г при достаточно малом г, я одномерное движение гюдобно движению в случае отталкивания (т.

е. происходит отрщкение вдоль оси г на некотором конечном расстоянии Зэергия <4 ~<»> l <>Гг) l / В2 ГЛАВА 3 наибольшего сближения). (Подобный случай изображен па фиг. 3.6.2 для потенциала притяжения, соответствующего и= — ).) Устойчивые орбиты ') возможны только при п<2 и прп значениях Е, лежащих внутри потенциальной ямы. Если >ко потенциал притяжения уменьшается при увеличении г быстрее, чем г-', то он должен доминировать над центробежным потенциалом при малых г, и в результате получается эффективный потенциал показанной на фиг.

3.6.3 формы э) (на этой фигуре потенциал притяжения соответствует и=.— 3). Рассмотрим движение при нескольких различных значениях полной энергии. Частица с энергией Е«Ео, начавшая двигаться прп большом г и продолжающая двигаться к це<пру притяжения, очевидно, отразится от потенциального барьера при г=-г„. Если же полная энергия Ез>Еа, то частица сможет пройти над потенциальным барьером. Она отталкивается только при г>»гч а затем будет притягиваться при уменьшении ее расстояния от центра рассеяния. При Е>Ео частица проходит через центр прп.

тяжения, который в рассматриваемой здесь модели считается математической точкой з). Особенно интересен случай, когда полная энергия лишь слегка превосходит Ео, значение (г»4><у(г), соответствую~дев максимуму потенциальной кривой. Такая частица будет дл<чтельное время находиться вблизи максимума, где г, по предположению, мало, и будет двигаться по спирали, закручивающейся внутрь к центру.

В этом случае говорят, что частица движется по орбите вокрут центра рассеяния»). Скорость вращения растет с уменьшением г, согласно закону сохранения момента количества движения, так что число оборотов ') Говорят, что частица нахолится на устойчивой орбите, если малое возмущение вызывает малое ограниченное отклонение от первоначальной орбиты, ») Предельный случай, при котором л=2, следует рассматривать особо. Здесь форма )>»фа (г) определяетси относительными вели<ивами 7 н коэффициента перел г» в выражении лля )<(г!. ») См, работу (4).

Поведение частицы вблизи начала завис<и от принятой модели рассеяния. В указанной работе рассматривается модель с чпрозрач. ной сердпевииой», предложенная авторами этой работы. Эти авторы анализируют также модель с »твердой сердцевиной», которая соответствует пределу потенциала 1 — 7 — 4 Сезерлеила при 0-» О, н модель чбеспорядочнога рассеяния», в которой траекторю< частиц, приближающихся к началу, рассеива<о<сэ случайным образом. Трулностн опрелелеиия зффектоа различных предполагаемых граничных условий вблизи начала привели к расков<даниил< в опгчблииоааиных значениях интегралов столкновения ) Стыкиовеиие такого типа иногда называют «прилипанием».

Но, как правило, под этим термином понимают столкновение, при котором сталкивающиеся частипы временно образуют сложную структуру, обладающую значительной ввутренней энергией возбуждения. В конце концов частицы, образу<ощие эту структуру, разлетаются, но время жизни такой структуры велико по сравнению с обычными временами столкновения. Ф в г ЗХ>.2, Потенциальные функции, используемые дли анализа упругого рассеяния в поло потенциала притяжения при л = 1, фнг.

Зб.а. Потенциальные функции, используемые лля анализа упругого рассеянна в поле потенциала притяжения при л =4 ь» :,1 84 ГЛАВА 3 аря ()ор "" е . рт ра„, „ противоположность тем орбитам, для которых и<2.) Прн Опре. деленных условиях угол рассеяния может стать близким к — о (5, 6).

Фиг. 3.6.4 иллюстрирует столкновение с захватом па орбиту, для которого значение тэ лежит между 6П н 7гс Здесь предполагается, что имеет место дальподсйствующпй потенциал при. тяжспия н б>лизкодействующий, с «твердой сердцевиной», Фиг. 3.6.4, Орбитальное столкновение при большом значении угла рассеяния т>. потенциал отталкивания. На траектории появляется зубец, когда частица отражается от твердой сердцевины.

Характеристики

Список файлов книги