1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(В более общем случае, когда имеется зависимость от азимутального угла, у пас было бы егце третье уравнение с переменной Ф.) Чтобы выполнить это разделение, напишем Ф(Г, б«) = Е(Г) !'(О) (3.15.5) и подставим это выражение в (3.15.4), Результат можно записать в виде 1 -'~-(Г' — )-)-Г'(к' — ЕГ(Г)1=-- — ~ . — „,Э (з!06 — „)1. (3.!56) Заметим, что левая часть уравнения (3.15.5) зависит только от г, а правая — только от 6.
Поскольку обе части должны быть равны при всех значениях Г п 6, они обе должны быть равны некоторой константе, которую мы обозначим !(!+1). Таким образом, ГЛАВА 3 ТЕОРИЯ УПРУ»ОГО РАССЕЯНИЯ В ПОЛЕ ИЯИТРАЛЬИЫХ СИЛ 10? являются лишь решения, соответствующие / —.-О, 1, 2, 3, Как мы вскоре увидим, ! служит мерой момента количества движения бомбардирующей частицы относительно неподвижного центра рассеяния. Поэтому ! называют квантовым числом мо- мента количества двиягения. Первые возможные решения урав. пения (3 15.8) имеют вид Р„(соз 6) =!, Р, (соя 6) = соз О, Рг (соз 6) = -2-(3 сов~6 — 1)„ 1 Рз(соз О) = — —,(5 созз6 — 3 соз 6). 1 Функции Р~(соз О) представляют собой хорошо известные полп- номы Лежандра.
б. Разложение волновых функций на иарциальиые волны. Мы видим теперь, что искомую волновую функцию можно записать в виде ф(г. 6) = ~ А,Р,(сов 0)/ч(г), (3.15.9) где Ас — произвольные константы, а /л(г) — решения уравнения (3.!5.7) для частных значений й Слагаемые суммы (3.15.9) называются парциальнылш волнами Предположим теперь, что (/(г) уменьшается при больших г быстрее 1/г н что если (/(») имеет полюс в начале координат, то этот полюс не более высо кого порядка, чем 1/».
Тогда имеются два независимых решешпя уравнения (3.15.7), одно из которых имеет в начале координат конечное значение, а другое — бесконечное (см. [251, гл. 6). Константы А должны быть выбраны так, чтобы (3.15.9) предста вляло собой сумму приходящей плоской волны и уходящей сферической рассеянной волны. Поскольку решение должно быль всюду ограничено, мы должны выбрать то решение Ь,(г) уравнения (3.15.7), которое имеет конечное значение в начале координат. Мы можем упростить радиальное волновое уравнение, введя функцни 6~(г) в соответствии с равенством /ч (г) = (3.15.! О) Функции 6~(г) удовлетворяют уравнению а,(г1 Г, + [хт — (/ (г) — ~ 0 (г) = О.
(3.15.11) 1(1+ 61 Последние два члена в квадратных скобках в уравнении (3.15.11) ири больших г стремятся к нулю; следовательно, аш1мптотической формой любого решегшя уравнения (3.15.11) должна быть функции з!п(хг+е~), г»ге е~ — константа. е!тобы проверять правильность такого предположения, положим О, (г) =- и, (г) е"'. (3.15.12) Подставив (3.15.12) в (3,15.! 1), получим следующее выражение для и~(г): — „,' + 2!х — 1 — '((/(г) +, 1 и, = О. (3.15.13) Г 2/х 1п и — ~ ~(/(») — 1- 1 » +сопз1 Интеграл сходится только в том случае, если при большихгвеличина (/(г) убывает быстрее 1/г, и, таким образом, и,(г) стремится к постоянному значению, когда г- со при потенциале такой формы.
Этим оправдывается сделанное нами допущение, согласно которому и~(г) меняется медленно. Записывая экспоненту в выражении (3.15.12) через тригонометрические функции, мы видим, что в случае потенциалов, уменьшающихся при больип1х г быстрее, чем 1/г, функции 6,(») выражается асимптотическп следующим образом: 0~ (г) хе з10 (хг+ е~), (3.15.14) где е~ — константа. Решение уравнения (3.15,7), имеющее конечное значение в начале координат, будет тогда иметь асимптотическую форму 1 .! 1п Х. (») = — ейп1хг — — '+з1,), (3.15.
15) где ти — константа для данного х и (/(г), называемая фазоеьгл1 сдвигом !-го порядки; П,— фазовый сдвиг !-й парциальной волны под действием рассеивающего потенциала. Член — /п/2 введен в (3.15.15) для того, чтобы ти равнялось нулю при (/(г), равном нулю. Нам нужно теперь определить константы А; в разложении (3.15.9), так чтобы полная волновая функция ф имела вид, соответствующий выражению (3.14.?). Для этого следует разложить При больших» функция ич(г) будет почти постоянной„а Ри/дг' буде~ намного меньше х(ди~/г!»).
Пренебрегая дти~/дг', мы можем проинтегрировать (3.15.13) и получить тсои1я л1нягого рлсс1яння я поле 1изпрлльнь1х снл шп гллвл о то получим следу1ощее выражение для рассеянной волны: приходящую плоскую волну е'-' па парцнальные волны (см, (26), стр. 20): фОр„„-— — е"".— — е"""о =- ~„(2/+ 1) 1ч Р, (соз О)/1 (хг). (3.15.16) , — ф - фч,„, = ~~ -хр Р1 (соз О) [А1 гйп )хг — —, + )1)— 1" Π— (2/ Р 1)1'з)п [хг -. -2 — )1 ° (3.15.26) Здесь /1(хг) — сферн'1еская функция Бесселя, которая определяется через обычные функции Бесселя порядка /+1/ы /1(хг)= — [ — „и 1 ./1, 1, (кг).
(3.15.17) -)та волновая функция должна представлять собой расходящуюся сферическую волну. Если (3.15.26) выразить через экспопенциальные функщ1и, пользуясь соотношением з(п х=- (е" — е-ох)/21, то слагаемое с е '"-'/г должно исчезнутоь так как оно представляет собой сходящуюся сферическую волну. Этим требованием определяются значения констант А1. Если представить выражение, стоящее в квадратных скобках в формуле (3.15.26), в экспопенциальной форме, то получится 1 1 слО-!О11) [А 1ч1 о (2/ '1 — А е ""' 1яд) [А е 'ч1 — 11 (2/+1)1 21' Первые несколько сферических функций Бесселя имеют внд о)я хг /о = .„,„ МП Х1.
А= к), сор хг ) ч 3 — — 1 з1п хг — — „соз хг, (хг)' з (3.15.27) (3 1ог 21) Асимптоти11ескне значения сферических функций Бесселя для больших х имеют вид (3.15.28) ) . ! гз~ /1(к1) = — „з)п [хг — -ц~. функция (3.15.26) (3. 5.23) (3.15. 29) При таких условиях асимптотическая форма падающей плоскои волны при больших г будет имею вид фхр„„=е1х'= ~~(2/ -)-1)1чР,(соз О) ' ), (3.15.24) 1-0 где Если мы вычтем это выражение из аснмптотического выражения для полной волновой функции а соответствующая рекуррентная формула такова: /1 11 (хг) = . /1 (хг) /1-1(хг). 21+ 1 а для малых хг (кг)1 ) ХЗХ5...
(2)+)) огп (х1' — П1/2+ Ч ) ф ж ~„А1Р1(созб)) (3.15,18) (3 15 13) Р (г 20) Очев1щпо, что при этом должно быть А, =(2/+ 1)1 е'"1 н полная волновая функция будет иметь вид Ч (г, 6)) ==- ~, (2/-+ 1) 1'ео" 1/., (г) Р, (соз 8). 1=О в. Сечение рассеяния. Согласно (3.14.7), волновая рассеяния равна (е™/г)/(О). Правая часть выражения может иметь такую форму только в том случае, если 1) (ео1ч1 1) Р ( ~„-)) 1-О Заметим, что /(8) — комплексная величина: / (6) = А+ 1'В„ А = —.р,— ~~ (2/+ 1) з)п 21)1Р1 (соз О), 1 О В = — ~ (2/+ 1)(1 — соя 2еа) Р,(сов О) 1-О (3. 15.30) (3.15.31) (3.15.32) ПО глава а Интегрирование ?„(В) по полному телесному углу дает следующее выражение для полного сечения упругого рассеяния.
д,= — —,; — ~~(2!+ 1) ~ш~~п (305.34) г-о Чтобы получить (3.15.34), мы пользуемся хорошо известным соотношением .",'к! 4 и 1 — мнимый оператор. Таким образом, мы видим, что l (В) = () (В) Г = А'+ В' == е — — (Л-+1) а шп е11Р,(сов 0) . (3.15.33) !--о 1~ (со~ )Р„( озй)з гзг(ел — — 1Ь (31535) о где 6,„, — дельта-функция Кронекера, равная единице при т=-л и нулю прн т+и. Полное сечение рассеяния непосредственно связано с 1(0), амплитудой рассеяния в прямом направлении 0=-0. Так как Р,(сов 0) =1 для всех 1, то 1(О) = —,, г (21+ 1) (ве'чг — - 1).
в( (-о Таким образом, 7' (О) — !'(О) =- —, ~ (2! + 1) (емче — 1)— 1 о -- — „':,— ~(2!+1)( -"" — 1) = ", с .о так что ~™ ?. =- —;., 11" (О) — Г (О)) =-.; !гп !! (О)). (3.15.36) Этот результат известен под названием оптической теоремы. Следует подчеркнуть, что приведенные здесь выражения для дифференциального и полного сечений применимы только к столкновениям между разнородными частицами. Выражения, применимые к столкновениям между идентичными частицами, приведены в $ 18. Кроме того, нужно помнить, что выражение тгония хпоггого глссгяния в поли цгснтолльных сил 111 (3.15.29) для вмяли~уды рассеяния справедливо только для потенциалов, уменьшающихся быстрее, чем !/г, при больших г.
Метод парциальиых волн разработан Релеем при анализе рассеяния звуковых волн на сферических препятствиях (36)'). К атомным столкновениям этот метод впервые применен Фак. сеном и Хольтсмарком (36). г. Соотношение между классическим параметром столкновения и парциальными волнами. При классическом рассмотрении рассеяния бомбардирующих частиц из пучка, падаюшего иа неподвижную частицу-мишеигч бомбардирующие частицы приближаются к центру рассеяния со случайным распределением параметров столкновения. В сферпчески симметричном поле сил все бомбардирующие частицы внутри кольцевой области столкновения с внутренним радиусом Ь и внешним радусом Ь+е(Ь рассеиваются на углы от 0 до О+с(0.
Угол рассеяния вычисляется как функпия параметра столкновения (3.4.5), а затем в соответствии с (3.?.2) определяется статическое угловое распределение. С классической точки зрения момент количества движения системы можно выразить через параметр столкновения следующим образом !формула (3.2.11)): з' = М„веЬ. Момент количества движения можно также выразить как У =-Х,Ь, (3.15.37) где Б может быть равно нулю или нметь любое положительное значение. Параметр столкновения можно, таким образом, выразить через момент количества движения: ее'о (3.15.38) '1 см также !351, где, кроме орочего, лается сводка свойств сферичеекцх 4оякиий Бесселя где г — длина волны де-Бройля бомбардирующей частицы, деленная на 2я.
Мы можем теперь представить себе, что падаюшнй пучок разделен на коаксиальные цил1шдрические слои, осью которых служит линия, соотвстствуюепая траектории лобового столкновения, Радиусы граничных цилиндров должны быть равны 1Х=..О, 1ч 21, 31,, так по внутренний радиус Ого слоя равен !1ч а его виеипшй радиус равен (!+1)1. С классической тонки зрения все бомбардируюшпс частицы, параметры столкновения которых лежат между !й и (!+1) Г,, будут двигаться к ми- гллвл з шеии внут и 1-го у р - слоя и мол<ент количества движения этих частиц должен лежать в интервале от !Л до (!+1) Л. В квантовой же механике мг>ь>енз количества движения квантован п характеризуется числом (==О, 1, 2, 3,..., р р сматриваетсв как квантовое число.
Кроме того, уже вым чп нельзя считать, что группа бомбардирующих част слом ( момента количества движения п иближается к мишени с вполне оп е е определенным параметром столкновения. я при лижается к С квантовомехапической точки зрения я ее надо рассматривать как движущуюся лишь преимущественно в 1- ном выше. Согласно общим принципам квантовой механики, момент количества движения этих частиц равен )г/(1-г 1) Л ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
