1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Рассмотрим теперь разложение падаюгцей волны на па циальные волны (формула (3.15.16)]: <н е'"' =- ~2р~ (21 + 1) 1<Р, (соз 6)) А (мг). На фиг. 3,!5.1 и ив пй Б ф... р едено несколько первых сферическ> ф ' ц есселя, которые образуют радиальную < <х функ- азлож у> часть указанного р ложения. Из втой фигуры видно, что первый и самый боль- шой максимум 1<(яг) получается вблизи и>: .г/Л=!,51, и, следочастиц, для которых вательно, ббльшая часть бомбардирующих ения равно <, будет квантовое число момента количества двнж > находиться где-то внутри слоя, ограничснного илии „ радиусами 1Л (1+1)), Для обозначения разпичных значений 1 пользуются спект о- скопической системой обозначени('. Т, - .
<, н 'й ак, столкновения, соответ- ствующие 1=-0, называются «з-столкновениям и>. столкновения — «р-столкновениями», столкновения с 1=2 — «г(- новениями» и т.. В . — « -столк. д. се волновые функции, связанные с з-волной, не зависят от агла, и, с у,, ледовательно, з-рассеяние сферически симметрично относительно центра рассеяния. Интересно от делится п ихо я р метить, что плогцадь сечения слоев, на которые р ходящий пучок, определяется выражением л(1+ 1)з)з — л!»хз == л(21+ 1) Хэ. ! Н у д х ввмя саатвап>апвй мажва паьзззгь, нта ) Нв аававвввя ужв выев епвы =)г(((+1)Л. Па формуле (36.1,) клас вырвжввтс и ул (,) класси*>вскяй цевтрабажямй патавщщл гдатввлявт б й за яет <а а врзн<зтельпую хвветвчвскую энергию сястамы Слвг м )>>г, паявляющввся в радиальном в я ..
лвгвзмаа ту >хе разве рвасть, па и (,>(г), я должно, тв ' а р м волновом урзввевпя (335.7), ва<аат )... твхвм образам, пасле умважаяня р . забав эвергща. Зтз энергия, ачввядяа, д, представлять са > и р р ! . яется вращательной хвветянасн э'=1' ругу а з вы ах<ения ( (( -(- 1) Л.
р яя для этой »перл<в, та мм пал чим пя 1, у тсогия хпг>гого плссеяния в поле центральных сил НЗ я понятн >м физический смысл козффицпен (И+1), появляющегося в разложении (3.15.16). Плошадь я(21+ !) Х> представляет собой верхний предел сечения поглощения ') частиц в (-й парциальиой волне, так как из пучка не 04 02 ,0 -04 ' 0 60 20 3,0 4,0 <рв г. 3.13.1. Первые четыре сфервчеахяв функции Бвсселя.
может быть удалено количество частиц, больц<ее того, которое пучок содержал первоначально. Из формулы (3.!5.34) следует, о,пако, что максимальное <еченпе упругого рассеяния бомбард )2 дирующих частиц в !-й парциальиой волне равно 4л(2!+1) .. Этот парадоксальный результат обьясняется дифракцией волн де-Бройля, представляющих пучок (см. (261, стр, 38, а также (37, 38!), д. Иллюстрация физического смысла фазовых сдвигов на примере рассеянии 3-волны на сферической потенциальной яме. г<!ь> можем проиллюстрировать происхождение понятия фазовых <ч>ш<гов и его значение, решив простую зада >у з-рассеяния болтбардиру>ощих частиц на сферической потенциальной яме. Такая Яма изображена иа фиг. 3.15.2 и описывается уравнениями ( — И при г ( ).'), О при г ) (.). ') Г!римерам паглащевня на<тяп вз пучка может слу>хвть захват электронав а<ала1<улзлп< газа прв прахаждвияв пучка электронов через гзз (гл.
3). б и, ман данн<ах (3.15о45) (3.15.45) (ЗЛ 5.47) — (хл фора,=Е' '=— хг (3. 15.40) "'"' а(п(х7)+По)=Аз(пхР() е(' ° соз ( .О+ т(б) = Ахт соз х( ) (3.15.49) (3.15.50) 114 ГЛАВА а Если радиус ямы О мал по сравнению с приведенной деброй. левской длиной волны падающих бомбардпрующпх частиц )(, то только очень небольшое число частиц с не равным нулю мо ментом количес~ва движения может достигнуть края потенциальной ямы. Следовательно, только у-столкновения эффективны в рассеянии, и мы должны рассмотреть только первую парциальную волну, соответствующую 1=0.
Во многих физических задачах з-рассеяние оказывается преобладающим, н поэтому рассматриваемая здесь задача имеет важное значение. Фиг, и г. 315.2. Рассеянна л-аолны иа сферпческон потенциальной яме радиусом О и глубинои и аявмпсая н полная воггновые функннн умноженм на г н отложены по горнаонтальной о«н, соответствугоптегг т' (г(=в= ус я (г( — поте~ ниальная внергнн бомбарлнругапгей частнны, Š— ЕЕ ПОЛНаЯ ВНЕРГНЯ И Га — КнистНЧЕСКаа ВНЕРГНЯ ПРВ Г > О, т. Е, «Отпа бннбаРЛНРУЮааа настина ваьолнтся ане нмы.
Если мы будем рассматривать только у-волну и примем ее амплитуду равной единице, то волновая функция падающей плоской волны будет, согласно (3.15.16), определяться выраже- нием где х — волновое число падающей волны, выраженное через начальную кинетическую энергшо 7, по формуле (3.14.8) Полная волновая функция равна сумме волновои функции падающей волны и волновой функции выходящей сферической рассеянной полны: нгхг ф="-+)о — ' г (3 15 41) тгория чпругого рассеяния и поле центральных снл 11б Вкось 7г — амплитуда рассеяния з-волны (см. (3.15.29)) (ет аа 1), (3.15.42) 2гх — с впг фазы для волны 1=0.
Пользуясь (3.15.25) и где т)о — сдвиг в лновой (3 15.27) „находим аснмптотическую форму полной волно фупкш(и: ф = — а1п (хг+т),), (3.15,43) хг и полное сечение упругого рассеяния, согласно (3.15.34), будет равно — витт т) (3. 15.44) Нам нужно теперь выразить сдвиг фазы для 3-волны через по.
тепциал. Заметим, что уравнение (3.15.11) для модифицированной радиальной волновой функции (г(г) должно удовлетворяться как внутри ямы, так и аце ее. Таким образом, — „, +(х" — У(г)~0=0, где х* — волновое число, соответствующее рассматриваемой области.
Внутри потенциальной ямы решение сг(г), исчезающее в начале координат, определяется выражением б (г) = — А а)их,г, и, таким образом, — — ==.. — зтп х(г', гт (г) А Гвнутр г " г' где хи волновое число для г < В, дается выражением ( ~~а( ) ~Л ( 2М ( + ~о)т)Ь (3 15 43) Волновая функция (3.15.43) вие ямы должна теперь соответствовать функции (3.15.47) внутри ямы. На краю ямы должны выполняю ся стандартные граничные условия„т. е. ф в ((ф(с(г должны быть непрерывны при г=7).
Тогда 116 гллвл б Разделив первое пз этих уравнений на второе, мы псклюшм А и получим Ф ( Р+ ян) =-- — 1П х,Р, (3 15.51) или т1я = — — хР )- агс1д /-"-- 1~и Р) (3 ! и „-, 1 х! Соотношение (3.15.52) дает сдвиг фазы, выраженный через ра. дпУс Ямы н волновые числа внУтРи и вне Ямы; 5!о можно также выразить через попную знергшо бомбардиру!оп!ни частицы и через глубину и радиус ямы, так как хя/5а 2М (3.15 53) (х~ — хя) йя 2Мг Р 1' 54) Из формулы (3.!5.52) видно, что, вообще говоря, прп скорости падающих частиц, стремящейся к нулю, сдвиг фазы стремится к нулю.
Поэтому полное сечение рассеяния, определяемое выражением (3.15.44), для очень медленных бомбардпрующих частиц, как правило, имеет конечное значение (3.15.55) где (3. 15. 56) Следует, однако, отметить ряд исключений. Если х10 равно (дхо 0, то предел в выражении (3.15.55), когда скорость стремится к нулю, оказывается равным нулю. Кроме того, прн хбР=П/2, Зп/2, 5п/2,...
сдвиг фаз не стремятся к нуяио прп х- О, и полное сечение рассеянии стремится к бесконечности, когда скорость стремится к нулю. Бесконечные значения г/, и указанных случаях связаны с наличием дозволенных уровней энергии внутри потенциальной ямы (см. (26), стр. 30, и (28), стр. 314). На фиг. 3.15.2 показана зависимость волновой функции падающей волны и полной волновой функции, умноженных на г, от г. Кривая гяр,рна представляет падающую волну впе области взаимодействия и ее однородное продолжение внутри ямы в предположении, что потенциал равен нулю.
Мы видим, г!то амплитуда п длина волны сплошной кривой постоянны. Пункуирная же кривая соответствует действительной волновой функцш! (умноженной на г), определяемой действием потенциальной ямы. Внутри ямы амплитуда этой кривой обычно меньше амплитуды неизмененной кривой, а ее длина волны Х5=2п/х! пяория уп! угогО рлссеяния и пОле цептрхльн! 5х сил 117 все!'да -в!да меньше, так как кинетическая энергия бомбардирующей !истицы увеличивается, когда она входит в яму. Очевидно, что вне е потенциальной ямы должна существовать разность фаз между у измененной и неизмененной волнами.
Разность фаз между двумя волнамп вне ямы равна сдшпу фаз т1с, который можно едставнть на фнг. 3.15.2 как расстош5ие между соответствую!инно гребнямн измененной и неизмененной волн, умноженное — г о ь 0 Фиг. 3.16.3. Схематическое изображение волцовык функций в зависимости от расстоииив ло центра потенциальной вмы. Кривая а сооигегсгвуег ввергни боибарянруюжея яасгины иег«яу реаснаисаии, «рнвая б— ввергни аблиаи рсаоианса и ~срнаая а- рввоиансися анергни.
на х, /(ля потенциалов притяжения, таких, как в данном примере, сдан~ фаз положителен, и приходящую волну можно рассматривать как притягиваемую к центру рассеяния. Потенциалы же отталкпваннЯ пРнводЯт к отРппательномУ Я!с, и тогда можно считать, по падающая волка отталкивается от центра рассеяния. В том случае, когда амплитуда волновой функции внутри потенцнальной ямы очень мала по сравненщо с амплитудой волнонон функшш вне ямы, рассеяние называют потех!/налог!бал! рассеянием, Такое рассеяние обычно имеет место, когда внутри потенциальной ямы длина волны мала, а вне ямы — велика. Но возможны некоторые значения кинетической энергии падающей бомбардирующей частицы, прн которых производная волновой функции близка к нулю у края потенциальной ямы, и тогда внутренняя и внешняя волновые фупкпнн могут соединяться почти с равными амплитудами.
В этом случае рассеяние называют резонансным рассеянием, и сечение рассетпгя при этом велико. Резонансный эффект соответствует очень резкому максимуму, и при анализе атомных столкновений пм обычноможнопренебРечь. На фпг. 3,15.3 схематически изображены волновые функа 1!8 гллвл в тлагьььь уппугаьо плес«янин в пОле цгььтпллънььх сил !19 Шш для случаев чисто~о патенпиальноьо рассеяния, рассеяшш вблизи резонанса н шсто резонансного рассеяьшя (см. 138), стр. 382).
е. Вычисление сдвигов фаз. Формула (3.15.29) для амплитуды рассеяния /(8) была выведена при лапу!ценив, чта потенциал рассеяния Г(«) стремится к нулю быстрее, чем 1/«. У нас не было необходимости предполагать, что )«(«) должно становиться пренебрежимо малым за пределами области с некоторым конечным радиусом О, но метод парциальнььх воли наиболее легко применим и наиболее выгоден в тех случаях, когда такой радиус существует. Мы уже говорили о там, что первый н наибольший максимум радиальной волновой функции /ь(х") имеет место вблизи «=!,5/л и что для «, намного меиыпеьо, чем это значение, /ь(х«) мало и изменяется примерно как «ь, согласно (3.15.23).
Есльь радиус, за пределами которого потенциалом можно пренебречь, мал по сравнению с /л, та /-я парцпальная волновая функция будет мала в той области, в которойь потенциал значителен, и /-я парциальная волна не будет заметно искажаться рассеивающим центром. Это означает, что сдвиг фазы, связанный с этой волной (и, следовательно, вклад этой волны в сечение), будет мал. Мы видим поэтому, что при вычислении сечений следует принимать во внимание только те парциальиые волны, которые соответстнуют значениям /, лехьащпм от нуля до некоторого максимального значения порядка В/л =л)х. Так как х пропорционально корню квадратному из падаюьцей энергии, то отсюда следует, что для бомбардпруьощих частиц с малой энергией требуется меньше трудоемких вычислений сдвигов фаз н что мета!!ам иарциальиых волн наиболее удобно пользоваться при малых энергиях. Существует несколько методов вы'шслепия сдвигов фаз.
Очевидно, что мы всегда можем найти численное значение«у, решая дифференциальное уравнение (3.15.11) для 6ь(«), подь!!!!я!а. щееся соответственным граничным условиям, и сравнивая решения с решением, получзкицимся при )ь(«) =О. Кроме того, часта применяются приближенные методы. К ним относятся, в частности, приближения Бориа н Дльсег/ьь/ьриса для одни«он фаз. Бор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
