1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 63
Текст из файла (страница 63)
11.3,в. Промежуточное атомное состояние обозначается вектором (!) и обладает энергией Лмь Диаграмма на фиг. 1!.З,в представляет собой комбинацию диаграмм фиг. 8.1, а и 8.1,г, Каждая из этих диаграмм в отдельности не может описывать процессы с сохранением энергии, однако возможны их комбинации, которые не противоречат закону сохранения энергии. Второй член квадрата модуля в выражении (1!.59) можно записать в явном виде следующим образом: ! х-ъ ( — 1,1, !)Ж !а — 1,0, !)( — 1,0, г!Жар~В,О, 1) ! ! (А — 1 1*11ж р!а, 1, 0(ж 1, »!Яар1ч, О, 1) 1 — И! Теперь можно оценить относительные величины вкладов трех диаграмм. Поскольку ожидаемое значение опе21 2 ратора )А,'Н' точно такое же, как ЕГ1с в свободном пространстве, и все вклады содержат е' и квадраты матричных элементов вектора гь то основные различия обусловлены соответственно знаменателями, зависящими от энергии: 8р»сэ, ЛВ» — Ьо! и — ре».— Ь»»ь Далее, величина 8тс' имеет порядок 6 1О-м Дж, тогда как типичные значения атомной и фотонной энергий В случае рассеяния света лежат в интервале 1О-" — 10-" Дж.
Следовательно, вклад первого члена квадрата модуля в выражении (11.59) пренебрежимо мал. Два оставшихся знаменателя значительно различаются по величине, если частоты ы и сп близки, однако в общем случае они являются величинами одинакового порядка, а поэтому оба соответствующих члена в (11.59) должны быть сохранены. Теперь выражение (11.59) для скорости перехода можно упростить, опуская нелинейный член, подставляя выражение (1!.60) во вклад второго порядка и используя РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ формулу (8.93) для оценки матричных элементов опера- тора Яеьс —,'-д",.',- ~Х(":,'":О е Рне РИА(е + е !е ) б(Š— е5 — Е1) ! ю (11.61) Здесь в и в,— краткие обозначения единичных векторов поляризации падающих и рассеянных фотонов соответ.
ственно. Поперечное сечение можно выразить через скорость перехода тем же способом, который использовался в (9.29) в случае фотоэлектронной эмиссии. Кроме того, суммирование по й, можно преобразовать в интегриро- вание = ()71(2п)з( ~ ~ 7ез 1сз),(е .Ус) (11.62) сходное с интегрированием в (9.27). Отметим, что око. рость перехода в (11.61) относится к рассеянному фо.
тону с данной поляризацией в„ поэтому в (11.62) соотг ветственно учитывается только одна поляризация. В результате дифференциальное сечение принимает вид е1(Э Во ч-, е'е (е — е )з ,,„' х ,ем !Ел ВФ Р х)~ [ ' ' -~- 1( . (11.63) Суммирование по 1 ограничено, так как дельта-функция в (11.61) может быть отлична от нуля только для тех конечных атомных состояний, энергия которых меньше Ве.
Полное дифференциальное поперечное сечение полу. чается суммированием вкладов двух независимых поляризаций фотонов. глава и 412 Выражение (1!.63) представляет собой формула Крамерса — Гейзенберга для дифференциального поперечного сечения, которая является основной в квантовомеханической теории рассеяния. Ванное поперечное сечение учитывает как упругое рэлеевское рассеяние, соответствующее случаю 1 = 1, ву = О, так и неупругое рамановское рассеяние, соответствующее всем остальным членам суммы по 1. Упругое рассеяние Прежде всего рассмотрим упругое рассеяние, при котором атом возвращается в свое основное состояние (1) после процесса рассеяния. Если сохранить только члены, описывающие упругое рассеяние, то дифференциальное поперечное сечение (11.63) принимает вид — " ) / .
О ~.6ч чИ 16в еоа с ~-'( в,— и и. +й Полезно получить предельные формы поперечного сечения для случаев, когда частота ы много больше или много меньше атомных частот возбуждения ыь Сначала допустим, что частота ы много больше всех ыь но много меньше величины тс9Ь. Это область томсоновского рассеяния, рассмотренного в главе ранее. Зависящие от частоты знаменатели выражения (11.64) можно разложить в ряд (11.65) (11.66) Подставляя в (11.64) формулы (11.65) и (11.66), получим, что вклад первых членов разложения равен нулю, а оставшиеся члены дают следующее выражение: ло е' 2 2а2 4 T в,(е, ° Рие ° Рц + о + е ° Рне, ° Рп) ~.
(ы >> га,). (11.67) РАссеяние спетА АтомАми Суммирование по ! в (11.67) можно провести, используя некоторые результаты, полученные в гл. 4 в связи с правилом /-сумм. Задача //.д. Докажите, что ~, гв,е, ° !У не 0п — — (Лй/2гп) е е,. (11,68) 2 Таким образом, выражение (11.67) сводится к а1о/д() =22г-',(е е,)2 (э2 » м,.). (11,69) Здесь г; — классический радиус электрона, определенный в (1!.17).
Это выражение точно совпадает с формулой (11.!8) для одноэлектронного атома, х =!, Классический результат для многоэлектронного атома также пропорционален Л2, если длина волны падающего излу« чения много больше размеров атома, как это предполагалось при использовании электрического дипольного приближения в квантовомеханическом расчете.
Таким образом, при классическом вычислении для получения поперечного сечения, в Л2 раз большего поперечного сечения одноэлектронного атома, предполагается, что л электронов одного атома излучают синфазно. Следовательно, при вычислении поперечного сечения для томсоновского рассеяния классическая и квантовая теории полностью согласуются. Теперь рассмотрим противоположный предельный случай, когда частота м множно меньше всех атомных частот возбуждений мь а дифференциальное поперечное сечение упругого рассеяния (!1.64) принимает вид Ж3 !Еи 2,6 с' в, и + е (уне, 0и)~ (м << м,). (11.76) Это сечение пропорционально четвертой степени частоты, как и в классическом результате (!1.19).
Суммирование в (11.70) можно точно выполнить в случае атома водорода. Возбужденные Р-состояния атома водорода являются единственными состояниями, дающими вклад в сумму по 1, причем для каждого ГЛАВА И 414 Р-состояния только одна декартова компонента вектора !А14 отлична от нуля. Для каждого трио из Р-состояний матричные элементы Х4ь Уи и Ян равны между собой, а потому выражение (1!.70) можно переписать следующим образом: фп 44м4 4 е г 4 ~ 4~~~ (в е~) (4В << в4).
(11.71) С помощью подстановки суммы (3) 18л4ма с (11.72) ГДЕ й4В — ЭНЕРГИЯ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ атОМа ВОДОРОДа из (3.29) 64В = те4(32п'а'лз, (!1.73) выражение (11.71) принимает вид И'а 8!Г~~ Г В 4 — = — ' ~ — ) (е ° е,) (4В « 4В~); (11.74) это выражение очень похоже на классический результат (11!9) для рассеяния света колеблющимся зарядом с собственной частотой колебаний ым Общее выражение для поперечного сечения также упрощается в том случае, когда частота 4В очень близка к одной из атомных частот возбуждения ы4 и имеет место резонансный пик, Очевидно, что в окрестности резонанса первь!й член в скобках выражения (11.64) превосходит по величине второй член, поэтому в первом члене можно в хорошем приближении-принебречь всеми вкладами, кроме одного, соответствующего резонансному уровню. ПРи точном Резонансе, 4В = а4ь величина попеРечного сечения становится бесконечной.
Разумеется, никакой процесс рассеяния не может иметь бесконечное поперечное сечение, а расходимость вызвана тем, что при выводе выражения (1!.64) мы пренебрегли излучательным затуханием. Более строгий расчет показывает, что учет затухания добавляет мнимую часть к частоте 4В в зна- РАССЕЯНИЯ СВЕТА АТОМАМИ 41о менателях выражения (11.64). Согласно обсуждению, следующему за формулой (8.143), требуемый мнимый элен есть 11ч(о), где у; — та же самая функция, которая появляется в выражении для восприимчивости.
Из (8.146) получим оа! (о ~р, р(оа оа)з / (11.75) а резонансное поперечное сечение из (11.64) принимает вид аГВ папа' )па ° Пнр~е По (и ада 16ар'епа с (и — ро)з+ (у (91)2 по поапрпаапп» До снх пор при вычислении рассматривалось рассеяние на одном атоме, однако в любом реальном эксперименте амеется много рассеивающих атомов, ориентации которых распределены случайным образом. Для сравнения теории с экспериментом удобно иметь дело с теоретическим поперечным сечением, дополнительно усредненным ао всем возможным атомным ориентациям.
Тогда рассеяние на большом числе атомов й1 получается путем умножения найденного поперечного сечения на л(. В окрестности резонанса поперечное сечение имеет лоренцеву частотную зависимость, сходную с классическим результатом (11.16). Полное резонансное поперечное сечение о получается из дифференциального поперечного сечения посредством интегрирования по телесному углу 11 (определяемому направлением волнового вектора рассеянного фотона) и суммирования вкладов двух независимых поляризаций фотона. Усреднение по углам подобно гому усреднению, которое использовалось при переходе Вт формулы (1!.16) к (11.23), поэтому результат имеет вид 4!6 ГЛАВА И Усреднение по ориентациям, точно такое же, как в (3.55), приводит к следующему выражению: [е 1:)»[е= — [)с» [е.
1 (11.78) Отсюда полное усредненное поперечное сечение есгь ,4в$ ! и ° !4 а —, е с " . (11.79) 1зпееа с (в — в)е+ [у. (в)[е Рассмотрим частный случай, когда состояние [1) есть' первое атомное возбужденное состояние. Тогда суммирование в выражении (!1.75) для у» сводится к одному члену с ) = 1, который можно использовать для того, чтобы персписать формулу (!1.79) следующим образом: е'в!П !е у,(в) Зесас (в — в)е+ [у.
(в)[е ' В случае точного резонанса в = в; выражение для поперечного сечения с учетом (11.75) принимает вид а = 2пс'/ве = ).е/2п, (11. 81) где Х вЂ” длина волны падающего излучения. Этот удивительно простой результат связан с аналогичным' резонансным поведением мнимой части восприимчивости в (8.144). Он показывает, что в случае резонанса с первым возбужденным состоянием атома поперечное сечение зависит только от частоты перехода и не зависит от всех других свойств атома. Для резонанса в видимой области спектра величина а, определяемая формулой (11.8!), порядка 6 10 ы м'. С другой стороны, вне области резонанса, как следует из предыдущего рассмотрения, типичное поперечное сечение порядка Г', или 7 10 е' ме.
Таким образом, резонансное увеличение поперечного сечения огромно. Задача 11.4. Докажите, что если состояние [() не является первым возбужденным состоянием атома, то резонансное поперечное сечение определяется следующим обобщением вы. ражения (1! .81): хе /у» (в) хе а = — ~ — "), (11.82) 2п 1,у.(в) ) ' 4!7 РАССЕЯНИЯ СВЕТА АТОМАМИ где уи(ы) †частн вклад в ширину линии, определенный в (8.149). Отсюда следует, что резонансное поперечное сечение уменьшается для более высоких возбужденных состояний. Если частота падающего света га не очень велика, не очень мала и не близка к одной из атомных частот возбуждения, то не удается аппроксимировать поперечное сечение простой формулой и необходимо использовать полное выражение (11.64), Численные результаты получены только для рассеяния на атоме водорода (6) и приведены на фиг. 11.4 и 11.5. Доводы, предшествующие формуле (!!.71) и показывающие пропорциональность матричного элемента рассеяния величине е.е„ в хорошем приближении справедливы для всех частот гь, а потому дифференциальное поперечное сечение (!1.64) можно переписать следующим образом: с(о/п88 = г,' ),Х, )' (е е )8 (11.83) где 8 Частотная зависимость величины 8У~ для всех частот га, меньших ыв, показана на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
