1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Трудность заключается в том, что выражение (4.14) для т(в), в которое подставлено значение Г из (11.27), не.содержит все свои а-полюсы в нижней половине комплексной плоскости. Это противоречит общим требованиям причинности, налагаемым на восприимчивость и рассмотренным в гл. 4. Указанную трудность можно обойти, если в формуле (11.27) заменить а на ав как было сделано в выражении для Г, использованном в (4.1!). Когда частота а близка к ас, зто приближение справедливо, однако необходимость такого приближения является слабым местом классической теории. 'Задана 11.2.
Докажите, что для езас/бпесгисз « 1 (11.29) классическое выражение (4.14) для восприимчивости имеет полюс приблизительно при а ж+ ! (6ле„пгсз/е'). (11.30) РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ 397 Здесь была использована зависящая от частоты константа затухания Г из (11.27). Восприимчивость имеет два других полюса, которые лишь немного смещены по сравнению с их положениями, соответствующими значению Г из (4.11). Рассеяние света свободными электронами называется томсоновским рассеянием. Соответствующая формула для дифференциального поперечного сечения может быть получена, если в (11.6) частоту ыа положить равной нулю.
Если затуханием Г пренебречь, то результат для томсоновского рассеяния получится точно такой же, как в (11.18), а явный вид угловой зависимости дифференциального поперечного сечения определяется из (11.21); Но/~И = Ьт„/сИ+ г/о,/М= ~ г'(е ° е )з= ! = г' (з!неф + сов~ 8 сов~ ф). (11,31) Томсоновское поперечное сечение часто приводится для неполяризованного падающего света. В этом случае необходимо усреднение по азимутальному ттлу ф, в результате чего з1пз ф и соз'ф заменяются на /м а выражение (1!.31) принимает вид с(о/Ю = — ~,'(! + ~м~8). ! (11. 32) Классическая теория рассеяния свободными электронами перестает быть справедливой, когда энергия фотона Лы становится сравнимой с релятивистской энергией массы покоя электрона тс'. Для столь больших значений вы в процессе рассеяния значительная часть энергии передается электрону.
Поэтому рассеяние становится неупругим, а энергия рассеянного фотона Ьа,— меньше вы. Закон сохранения релятивистской энергии и импульса приводит к следующему уравнению [3, 4]: в/а, = 1 + (йа/гпс 1(1 — соз 8). (11.33) Неупругое рассеяние света свободными электронами называется эффектом Комптона. В этом случае дифференциальное поперечное сечение необходимо вычислять на основе релятивистской квантовой механики, и эта теория Гллвх и лежит за пределами настоящей книги. Мы приведем лишь выражение для дифференциального поперечного сечения для комптоновского рассеяния неполяризованного света 13, 41: Ып м./в е, — = г' — ', ~ — + — ' — 1+ соз'8) (11.34) ДЯ е 2~2 ~м м Формула (11.34) называется формулой Клейна — Няшины. Когда поз много меньше тс', из выражения (11.33) следует, что рассеяние становится упругим и оь = в, а комптоновское поперечное сечение (11.34) переходит в томсоновское поперечное сечение (11.32).
Общее выражение для скоростей излучательиых переходов Прежде чем можно будет привести квантовомеханнческие расчеты дифференциального поперечного сечения рассеяния, необходимо сделать отступление для более подробного рассмотрения теории скоростей излучательных переходов. Скорости переходов, определенные в предыдущих главах, были вычислены на основе результата (3.72), полученного для двухуровневого атома, на который действует гармоническое возмушение. Обобщение этого результата — золотое «правило Ферми» вЂ” было приведено без доказательства в (8.83). Это- обобщение относится'к системам, имеющим множество близко расположенных энергетических уровней, как, например, в случае спонтанного излучения, где для испущенного фотона имеется некоторое распределение состояний, или в случае фотоэффекта, где испущенный электрон также имеет много возможных состояний.
Золотое правило Ферми применимо только для излучательных процессов первого порядка, в которых происходит однократное взаимодействие излучения с атомами, как на диаграммах фиг. 8.1. Однако рассеяние света является излучательным процессом второго порядка: одно взаимодействие необходимо для поглощения падающего фотона, а второе взаимодействие необходимо для испускания рассеянного фотона в каждом элемеятарном акте рассеяния. Описанные в следуюшей главе процессы, РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ 399 имеющие место в нелинейной оптике, могут быть процессами взаимодействия второго или более высокого порядка.
Для анализа таких процессов необходимо обобщение золотого правила Ферми. Рассмотрим связанную систему «излучение+ атом>, описываемую в представлении Шредингера волновой функцией Ф(1), которая удовлетворяет уравнению (8.92): ЯФ (1) = ИдФ/д1. (1! .35) Здесь та — полный, не зависящий от времени гамильтониан связанной системы, определяемый в общем случае выражением (8.44), где из гамильтониана взаимодействия 98, исключена временная зависимость. Полный гамнльтониан можно записать в виде Я Я~+98~ (11.36) Здесь Ме — гамильтониан несвязанной системы «излучение + электрон ыеч ®з = ®а+ 98л. (11.37) В электрическом дипольном приближении гамильтониан Я~ переходит в Лев как в случае уравнения (8.92), од.
нако мы используем более общий гамильтониан взаимо. действия. Уравнение (11.35) легко решить, выразив формально волновую функцию в момент времени 1 через волновую функцию в более ранний момент 1,: Ф (1) = ехр ( — ю Ав (1 — 1,)/Д) Ф(1,). (11.38) Экспоненциальная величина в (11.38) называется оператором временнбго развития системы. Если волновая функция известна в некоторый произвольный момент времени, то оператор временнбго развития определяет волновую функцию во все последующие моменты времени. Пусть чн есть собственное состояние оператора Жа с энергией Ььп: М~фг = ЙМ1ф1. (11.39) ГЛАВА 11 Вероятность нахождения системы в состоянии фг в момент времени ! определяется, как обычно, квадратом интеграла перекрытия функций 1р1 и Ф(1): [ (фГ ! Ф (1)) Р = ! (фГ ~ ехР ( — 1Ж (à — Ео)Ф) ! Ф ((о)) [1. (1! 40) Здесь было использовано выражение (11.38).
Присутствие в экспоненте оператора МГ приводит, вообще говоря, к отличию величины [(ф1! Ф (Е) ) !' от [ (ф1 [Ф (ГА) ) /з. Физическая причина этого отличия связана с излучательными переходами, происходящими во временнбм интервале от Гз до й Состояние связанной системы в момент времени Гз может быть записано в виде линейной суперпозиции собственных состояний гамильтониана Мр. Пусть ф есть одно из этих собственных состояний: Рбофи ймыфи.
(!1.41) Вероятность нахождения системы в состоянии фг в момент времени 1 [формула (11.40)! может быть выражена через вероятность наблюдения системы в различных состояниях ф в момент времени 1м Коэффициент пропорциональности, на который следует умножить вероятность нахождения системы в состоянии 1р„в момент времени Г, для определения соответствующего вклада в вероятность нахождения системы в состоянии 1рГ в момент времени 1, имеет вид [(ф! ! ехр ( — 1Я (1 — Гз)/й) ! ф„) !1. (11.42) Скорость перехода из состояния 1р в состояние фг равна производной коэффициента пропорциональности (11.42) по времени. В обычном эксперименте, где переходы в некоторую область конечных состояний наблюдаются одновременно, соответствующая скорость перехода есть —., = — „~ ~~1 !(1 ! р( — Л(1 — (зуд) [и)!з.
(П.48) Здесь обозначения для бра- и кет-векторов были упрощены. Предполагается, что в стационарных условиях скорость перехода не зависит ни от 1, ни от 1м РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ ' 401 Выражение (1!.43) для скорости перехода не очень удобно для вычислений. Это выражение можно сделать более полезным, разлагая его в ряд по степеням матричных элементов Жо Мы видели в гл.
3, что матричные элементы взаимодействия излучения с атомом малы по сравнению с энергиями фотонов и энергиями атомных переходов в видимой области спектра. Следовательно, можно ожидать, что степенное разложение скорости перехода быстро сходится. В большинстве случаев в хорошем приближении это, разложение может быть ограничено первым неисчезающим членом для рассматриваемого типа перехода. Такое разложение позволяет отчетливо разделять излучательные процессы первого, второго, третьего и более высоких порядков. Требуемый ряд получается разложением ехр( — !Ж(!— — 1,)/и) по степеням Я,. Это разложение усложняется вследствие некоммутации операторов Жз и Я,, В результате ехр (- Ий!/й) Ф ехр ( — ьМДй) ехр ( — !Мфа) (11.44) и нельзя воспользоваться обычным разложением экспоненты.
Однако эту трудность можно обойти следующим образом. Тождество ехр(сЯДй)Я,ехр( — Я!/Ь) = = И,~, (ехР (!Ма!/й) ехр ( — !Я!/й)) (11,45) легко доказывается прямым дифференцированием пра. вой части с использованием выражения (1!.36). Интегрируя обе части тождества (11.45) по 1, получаем ~ ехр (1РВД/й) М~ ехр (- !Я/й) й, = и = !й (ехр (~Я0!/й) ехр ( — сЭЕ!/(й)— — ехр (!Яе!а/Ь) екр ( — !Хйз/Й)). (11.46) ГЛАВА Н 402 Последнее выражение может быть преобразовано к виду ехр ( — ЕМЕ/й) = = ехР ( — ЕМо//ЕЕ) (ехР (ЕМо/о/Л) ехР ( — ЕЯсЕ/й)— — $ ехр (ЕМОЕ,/Д) МГ ехр ( — ЕМЕ,/й) сЕЕ,). (11.47) Чтобы обеспечить достижение стационарных состояний в момент времени Е, в который вычисляется скорость перехода, предположим, что момент времени Еэ относится к бесконечно далекому прошлому. Далее будем считать, что начиная с момента времени Е = †~ взаимодействие постепенно возрастает до своего полного значения.
Для этого введем множитель ехр(еЕ), где е — малая величина, которая принимается равной нулю во всех окончательных выражениях для скоростей переходов. Поскольку скорость роста величины МГ бесконечно мала, все переходные процессы отсутствуют. Эти процессы могли бы возникнуть при внезапном включении возму. щения Мь действующего на систему, которая в выражении для скорости перехода (! 1.43) описывается собственными состояниями оператора Мм Учитывая эти изменения и замечая, что теперь возмущение МГ обращается в нуль в момент времени Е„ выражение (11.47) можно записать в виде ехр ( — ЕМЕ/й) = ехр ( — !МОЕ/й) Р, Правую часть последнего равенства можно с помощью итераций разложить в ряд по степеням Мь Мы рассмотрим вклады членов этого ряда в скорость перехода 1/т в порядке возрастания степени М,. 403 РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ Теория возмущений, зависящих от времени 1, Пулевой порядок.
Член нулевого порядка по Жх дает следующий матричный элемент: (/!ехр ( — !ээВГ/й) !и) = ехр ( — /а„/) (/! и). (11,49) — (/ ! (1/й) ехр ( — !М,!/5) ~ ех р (ьхээ1,/й) Х О Х М, ехр (е1,) ехр ( — !МВ1,/й) й1, ! и ) = = — //й ехр ( — !а!!) (/ ! Мх ! и) Р', ;х, ~ ехр(!аД + е1, — !а„г,)й!, = „+ ",.. (11.50) П!тх !В) ехР(В! — Га„!) и ! Согласно формуле (1!.43), скорость перехода имеет внд хх !(/!аьт !и)(х ехР(2ВГ! щ ~ А2 (а — а )2+е' А 2 ~х 1(/ )дт !,) !х В ехр (2хб х Е) (11.51) Теперь для получения требуемого медленного включения вазнмодействия хэх устремим значение е к нулю. При э|ом величина экспоненты в (!!.51) стремится к единице, а оставшееся выражение, содержащее е, записано в фор- Из понятия перехода вытекает, что ф и ф! должны быть различными собственными состояниями, а потому вклад нулевого порядка обращается в нуль. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
