1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Первый порядок. Чтобы получить член первого порядка по ам во втором члене выражения (11.48) опе. ратор Ж следует положить равным йеа Тогда вклад этого члена в матричный элемент формулы (1143) имеет вид 404 ГЛАВА !! ме представления дельта-функции, приведенного в (3.68). Следовательно, —,= — „,,Е.
!(/!Мс !и) !е Ь(в„— в,). (11.52) Это выражение является золотым правилом Ферми, ис- пользованным в (8.83). 3. Второй порядок. Член второго порядка по Мс опре- деляется посредством первой итерации выражения (11.48). Иначе говоря, член ехр( — 1ЖЕс/Ь) в подынтег- ральном выражении записывается через еэе и Яс путем подстановки полного выражения (11.48), в котором время Е заменено на Ес, а оператор Я в правой части за- менен на Же.
Чтобы избежать путаницы, в подставляе- мом выражении переменная интегрирования заменяется на Еь В результате матричный элемент второго порядка принимает вид с, — (/ 1й ехр( — ЕЯВЕ/й) ~ дЕ! ) сЕЕ,ехр(ЕЯВЕс/й) Жс Х О К ехр (еЕ,) ехр ( — ЕЯе (Е! — Е,)/й) еес 2( Х ехр (ВЕс) ехр ( — ЕЖОВЕ!/й) ! и). (11.53) Теперь используем условие полноты (4.100), чтобы вставить единичный оператор 2 ! Е)(Е ! между двумя опес раторами Мс в выражении (1!.53).
Суммирование по Е производится по полному набору собственных состояний оператора еэе. Присутствие единичного оператора не влияет на величину матричного элемента, однако позво- ляет записать (1!.53) в более определенной форме: й- 'Яе Р( — веЕ)(/!рйс!Е)(асс!и)Х Х ~ ЕЕЕ! $ ехр(ЕвЕЕ! + ВЕ! — свс (Е! — Ее) + ВЕе — Ев„/с) сЕЕе = (Е ! Жс ! Е) (Е ! ее ! и) емр (2еС вЂ” св„С) (е с+ )(е Е+ ) =Х (11.54) РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ Поскольку е является произвольно малой величиной, которая впоследствии полагается равной нулю, то 2е в (11.54) можно заменить на е. Тогда, объединяя матричные элементы первого и второго порядков из (11.50) и (11.54), получаем ! ехр (е! — '!Ии!) !' ! Х-е (1) еЕе! 1!)(!! Ж! ! и) — +".
(! 1 Зй! ! и) + — р и ! ее — ее + — ге 2 (11.55) Выражение для скорости перехода, вытекающее из '(11.58), аналогично (11.52), за тем исключением, что матричный элемент первого порядка (!! еее)и) заменен величиной, . стоящей в круглых скобках выражения (!1.55). Предельный переход е- 0 в знаменателе матричного элемента второго порядка можно осуществить обычным образом, просто положив величину е равной нулю. Для большинства задач состояния !!), для которых величина (!! Тее!!)(!(Же!и) отлична от нуля, таковы, что частоты ы! не равна ееи, а потому этот член не приводит к дельта-функции. Таким образом, скорость перехода с точностью до членов второго порядка по 3!Ет дается выражением — = — „, ~ (! ! ТСТТ!и)+ ! х-е (!)ее )!)(!(ее )и) +т2 е — ' б( и — ее!) ! и (11.56) Справедливость исключения е из знаменателя матричного элемента второго порядка необходимо проверять для каждой задачи, в которой используется формула (11.56).
Ниже в этой главе мы опишем случай, где частота ее! может равняться ее . 4. п-й порядок. Член л-го порядка по ее! получается с помощью и — 1-кратных итераций в правой части (11.48). Вычисление аналогично проводимому в случае второго порядка, но теперь необходимо выполнить и интегрирований и использовать условие полноты и — 1 раз, 406 ГЛАВА Н Результирующая скорость перехода с учетом члена и-го порядка имеет вид 1 2л 1 (г!Яг!Г)(!!ЗК !и) — — (1!Я!!и)+ — ) ' ' + ...
! и ~! (1!Я !!)(! !Я !!) (! !Я ! )2 + л !с !! ! Х Ь(гв„— ег). (11.57) Состояния !1!), !12) и т. д., входящие в члены высшего порядка вероятности перехода, называются виртуальными промежуточными состояниями для данного перехода. Член первого порядка описывает скорость прямых переходов из состояния )и) в состояние !!), тогда как члены более высоких порядков характеризу!от переходы, при которых система переходит из состояния !и) в состояние !1) через одно или несколько промежуточных состояний. В формуле для скорости перехода учитывается только условие сохранения энергии, заключающееся в том, что частота 22~ должна быть равна гв!.
В общем случае энергия промежуточных состояний не равна энергии первоначального состояния, хотя для каждого промежуточного состояния имеется зависящий от энергии знаменатель л(ы — 22!), уменьша2ощий вклад в матричный элемент состояний, энергия которых лы! значительно отличается от ли . Система проходит через промежуточные состояния !1) виртуально.
В промежуточных состояниях сохранение энергии не требуется, поскольку в эти состояния нет реальных переходов. Последовательность членов в (!1.57) обычно уменьшается достаточно быстро, а потому следует удерживать только член низшего порядка, дающий вклад в скорость перехода для данного излучательного пропесса. Требуемый член можно обычно определить путем подсчета числа фотонных состояний, изменяющихся при переходе из состояния )и) в состояние !1).
В случае простого поглошения или испускания фотона меняется только одно фотонное непускание, поэтому достаточно учесть член первого порядка, как в вычислениях, приведенных в гл. 3 и 8. В случае рассеяния света, когда один РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ 407 фотон поглощается и один испускается, требуется учет члена второго порядка. В нелинейной оптике, рассматри. ваемой в следующей главе, для описания процесса двух- фотонного поглощения необходимо учитывать член вто. рого порядка.
При описании генерации третьей гармоники, когда поглощаются три фотона н испускается один фотон, требуется учитывать член четвертого порядка. Формула Крамерса — Гейзенберга Теперь вернемся к теории рассеяния света атомом и рассмотрим квантовомеханический вывод дифференциального поперечного сечения. Основные члены мульти- польного разложения гамнльтониана взаимодействия из. лучения с атомом Яг приведены в (8.47) и последующих уравнениях, Мы применим электрическое дипольное приближение и пренебреЖем операторами »энч, Мм»ь а также членами более высокого порядка по пай.
Гамильтониан электрического дипольного взаимодействия »вец определяется выражением (8.52), описывающим рассеяние света во втором порядке теории возмущений. Га~ мнльтониан нелинейного взаимодействия тэ»ть, приведенный в (8.52), имеет второй порядок относительно операторов рождения и уничтожения фотонов.
Следовательно, он описывает рассеяние света в первом порядке теории возмущений, зависящих от времени, поэтому мы пока его сохраним, хотя, как будет показано ниже, его вклад пренебрежимо мал. Таким образом, гамильтониан взаи. модействия для процесса рассеяния света имеет вид Я»=Кеэ+Мле=еВ Вг(0)+ + [е'р'/8т) ~ [Й (О) Х гД' (11.58) Здесь 0 — сумма радиусов-векторов электронов, определенная в (8.32).
Геометрия процесса рассеяния показана на фиг. 11.1, В начальном квантовомеханическом состоянии имеются падающие на атом фотоны с фиксированной частотой «» и волновым вектором й. В результате рассеяния начальное состояние может превратиться в одно из возможных конечных состояний, в которых падающий фотон за. 408 ГЛАВА П менен рассеянным фотоном с частотой !В.
и волновым вектором й,. Следовательно, преобразование начального фотонного состояния в конечное осуществляется в результате действия на него произведения фотонных операторов а„ и а~, или, в кратком обозначении, операторов д и д~. В современных экспериментах по рассеянию света обычно используется лазерный источник, световой пучок которого может быть достаточно хорошо описан на основе одномодового возбуждения. Имеющиеся в рассеянном свете частоты !В, определяются свойствами атома и вытекают естественным образом из квантовомеханического расчета, включающего как упругое, так и не- упругое рассеяния.
Допустим, что в начале процесса рассеяния атом находится в своем основном состоянии )1), а в конце процесса — в некотором состоянии 11). Энергия основного атомного состояния принята за нуль отсчета энергии, а энергия конечного атомного состояния обозначается через вь!ь Для удобства предположим, что до акта рассеяния имеется данное число фотонов и с частотой !В. Любой реальный световой пучок характеризуется статистическим распределением чисел фотонов, которое для па. дающего пучка может быть описано с помощью матрицы плотности.
Однако поперечное сечение не зависит от распределения фотонов, поэтому при упрощающем предположении об определенном числе фозонов общность рассмотрения не теряется. Случай произвольного распределения фотонов анализируется при обсуждении вынужденного рамановскогб рассеяния в гл. !2. Скорость перехода в случае рассеяния может быть получена с помощью выражения (11.56), преобразованного для данной задачи, где различные части оператора Ж! дают вклад в члены первого и второго порядков; -' - " 1 ~ / ь — ~, ~, Т~ э„,!, о, В + ь, ! х-~ (~ — 1, 1,'11м 11)(11ЯВВ1~, О, 1) ! Х б (! — ГВ, — ГВ1). (11.59) РАССЕЯНИЕ СВЕТА АТОМАМИ Входящие в бра- и кет-векторы начальных и конечных состояний первые, вторые и третьи обозначения относятся соответственно к фотонам с волновым вектором й, фотонам с волновым вектором й, и атомному состоянию.
Суммирование по 1 производится по всем со- й й стояниям объединенной системы атомов и излучения. Сумма по конечным А. состояниям, стоящая перед квадратом модуля, отдельно учитывает возможные атомные состояния ) и рассеянные фотоны с волновым вектором йы Вклады в матричные оУсбр "иббр элементы рассеяния показаны на диаграммах 1 фиг.
11.3, где условные обозначения точно такие же, как на фиг. 8.1. На диаграмме фиг. 11.З,а показан вклад первого чле- н й на квадрата модуля в выражении (! 1.59). Опе- Ю ратор армс имеет второй порядок, и потому одно взаимоденствие м~мь фиг. 11.3. Диаграммное описание уничтожает фотон с вол- трех видов взаимодействия, даюновым вектором й и рож- щих вклад в процесс рассеяния.
дает фотон с волновым В тексте показано, иго вклал нелиней- ного взаимодействии, описываемого диавектором йм граммов и, пренебрежимо мал. ОсновВторон член квадрата ные вклады обУсловлены АвУми диа- граммами второго иоридка б и а. модуля в выражении (11.59) дает два вклада, различающиеся видом промежуточного состояния 11).
Из двух операторов Йеп, имеющихся в этом члене, выбираются только те слагаемые, которые содержат произведение фотонных операторов д и й~, причем явный вид 4!О ГЛАВА П оператора приведен в (8.93). Существуют две очевидные возможности выбора фотонных операторов: первая ведет к произведению операторов вида а,"й и описывается диаграммой фиг. 1!.3, б, другая — к произведению операторов вида Йд» и описывается диаграммой фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
