1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 58
Текст из файла (страница 58)
7.3. Фазовые флуктуации оказывают более сильное действие на полевой вектор; они заставляют фазовый угол ~р принимать все значения между 0 и 2п. Столь больших фазовых сдвигов не имеется в поле пол- 378 ГЛАВА 1О постыл когерентного фотонного возбуждения (а), описанного в гл. 7. Этн сдвиги определяют значительное отличие состояния лазерных фотонов от полностью когерентного состояния. Скорость диффузии фазы лазерного излучения Вероятностное распределение лазерного поля, показанное на фиг. !0.10, строго говоря, относится к ансамблю одинаковых лазеров, похожему на ансамбль источников хаотического света, описанный в тексте за,формулой (5.36).
Поскольку все значения гр равновероятны, то из приведенного выше рассмотрения следует равенство нулю вещественной амплитуды поля Е сов ф, усредненной по ансамблю. Тогда, согласно эргодической теореме, среднее по времени от Е сов ф для одного лазера также равно нулю.
На языке квантовой механики это означает, что все недиагональные матричные элементы оператора плотности фотонов для лазерного света равны нулю'), а потому ожидаемое значение электрического поля также равно нулю согласно (7.99). Напротив, оператор плотности когерентного состояния имеет отличные от нуля не- диагональные матричные элементы, определенные в (7.100).
Распределение лазерных фотонов Р„, соответствующее диагональным матричным элементам оператора плотности, приближается к распределению когерентного света при высоких скоростях накачки, однако недиагональные элементы матрицы плотности остаются весьма различными. Несмотря на эти основные различия между лазерным светом и когерентным светом, свойства световых пучков обоих типов часто почти неразличимы. Именно небольшая скорость, с которой происходит изменение фазы электрического поля лазерного пучка относительно ее значения в некоторый момент времени, делает выходной лазерный пучок очень похожим на когерентный фотон- ') Это свойство оператора плотности стационарного состояния здесь не доказано. См. [6], где имеется вычисление недиагональных матричных элементов фотонного оператора плотности. ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА зт9 ный пучок.
Ниже мы покажем, что характерное время изменения фазы порядка 100 с и больше. Следовательно, для достаточно больших периодов времени лазерйый пучок имеет. стационарную фазу и изменение его электрического поля сходно с изменением электрического поля когерентного света. Скорость обусловленного спонтанным излучением изменения фазового угла ~р электрического поля можно определить с помощью простого вычисления, основанного на фиг.
10.10. Скорость, с которой фотоны покидают резонатор, есть йС, в стационарном состоянии она должна равняться скорости испускания фотонов атомами. Г!оскольку вынужденное непускание должно относиться к спонтанному как й: 1, то скорость испускания фотонов можно разделить на спонтанную и вынужденную составляющую следующим образом; йС = ( + + + ) йС. (10.109) Отсюда скорость спонтанного испускания фотонов описывается выражением я С для й))1, (10.110) Эта спонтанная составляющая не зависит от й и ее относительное значение уменьшается с увеличением й.
Рассмотрим влияние спонтанного испускания на вектор поля Е на фиг. 10.!О. Изменение О фазового угла <р за время ! можно связать с расстоянием Г, которое проходит конец вектора поля, ЕО= Г. (10. 111) — 1 ~з = — (йа/2Е„У). 2 (10.112) Здесь величина Е определяется из (!0.107). Поскольку вклад каждого спонтанного фотона описывается небольшим вектором длиной (ла!2ЕЯУ)ч1, ориентированным в произвольном направлении, то среднеквадратичный вклад в расстояние ~ имеет вид зво ГЛАВА !а Среднее изменение фазового угла, обусловленное одним спонтанным фотоном, можно получить из (10,111) и (10.112), причем изменение ~р может быть положительным или отрицательным с равной вероятностью.
Нам необходимо найти изменение фазового угла, обусловленное С! спонтанными испусканиями, происходящими за время й Вычисление эквивалентно расчету случайного блуждания конца вектора поля около окружности радиуса Е. Согласно стандартной теории одномерного случайного блуждания (21) '), нормированная вероятность того, что расстояние г пройдено за С! шагов, среднеквадратичная длина которых равна гт, дается выражением р(г) =(2иттС/) Иехр( — та)/2ттС!).
(10.113) С помощью формул (10.107), (10.111) и (10.112) это распределение вероятностей можно преобразовать в эквивалентное распределение для изменения фазового угла О за время й р(О) = (и/ЛСт)и ехр( — Оти/С!). (10.! !4) Распределение вероятностей для фазового угла удовлетворяет одномерному диффузионному уравнению др/д! = Ы (д'р/дО-'). (10.115) Чтобы функция р(О) из (10.114) была решением уравнения (10.115), постоянная диффузии Ы должна быть определена следующим образом: Ы = С/4и.
Таким образом, фазовый угол диффундирует от своего начального значения со скоростью, обратно пропорциональной среднему числу лазерных фотонов. Влияниедиффузии фазы на электрическое поле можно лучше всего продемонстрировать путем вычисления средней проекции поля в момент времени ! на поле при ! = 0 Е(!) Е(0) =ЕасозО. (10.117) ') Статья 12Ц перепечатана в сб.
122). ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА 381 Здесь черта означает усреднение по фазовому распределению. Используя стандартный интеграл [23), получим О созй = ~ р(9)созОг(0=ехр( — СТ/4й). (10.118) Определяя время диффузии фазы тр по формуле 1/тр = С/2И, (!0.119) выражение (10.117) можно переписать в виде Е(1) Е(0) =Е'ехр( — Т/2т ). (10.120) Точно такое же выражение (10.119) для времени диффузии фазы может быть получено на основе более строгого расчета (5, 24], в котором решается уравнение движения для оператора плотности фотонов. Наиболее замечательным свойством времени т„ является его большая величина; если значение С взять из (10.54), а среднее число фотонов й положить равным р из (10.69), то время диффузии фазы равно 60 с. Времена, большие этого, легко достижимы при больших значениях и, соответствующих большим скоростям накачки.
Следовательно, скорость диффузии фазы примерно на семь порядков меньше скорости потерь резонатора С, которая в свою очередь меньше скорости атомных излучательных переходов. В промежутках времени, меньших ТР, фаза лазерного пучка почти постоянна, поэтому для таких промежутков изменение электрического поля пучка сходно с изменением электрического поля классической стабильной волны. Экспериментально период устойчивости лазерного пучка может быть на несколько порядков меньше тр вследствие эффектов, которые здесь не рассмотрены, например механических колебаний резонатора.
Однако теоретический предел устойчивости пучка определяется временем диффузии фазы. Диффузия фазы вызывает эффективный разброс частоты лазерного пучка около его центральной частоты ь,. Частотный профиль линии определяется фурье-преобразованием электрического поля, обладающего синусоидальным изменением на частоте ыр и диффузией фазы.
Вычисление аналогично расчету ударного уширения, приведенному в гл. 5, и ведет к лоренцеву частотному 382 ГЛАВА Ю спектру с центром при частоте Газ и шириной 1/тр. Для лазера, работающего при значительном превышении порога, ширина линии, связанная с диффузией фазы, чрезвычайно мала. Порог лазера имеет близкую аналогию с фазовым переходом второго рода [15], например с ферромагнитным фазовым переходом в магнитном кристалле (25].
В последнем случае при охлаждении кристалла до температуры ниже точки Кюри магнитные моменты пара- магнитных ионов в кристалле ориентируются параллельно друг другу. Для нзотропного гейзенберговского ферромагнетика направление ориентаций магнитных моментов не определяется гамильтонианом системы, а потому все направления равновероятны. Однако, несмотря на эквивалентность различных направлений, скорость перехода кристалла из некоторого состояния, где полная намагниченность ориентирована определенным образом, в состояние с другой ориентацией намагниченности очень мала.
В реальном ферромагнитном кристалле в действительности всегда существует некоторая поверхностная или объемная неоднородность, ориентирующая намагниченность в фиксированном направлении. Электрическое поле лазерного пучка обладает свойством, делающим его похожим на намагниченность в ферромагнетике. Это свойство заключается в очень медленной диффузии от данного фазового угла, даже если все фазы в принципе эквивалентны. Проводя аналогию с фазовым переходом, можно считать, что скорость лазерной накачки играет роль температуры, а пороговое значение скорости накачки является аналогом температуры перехода. Эту аналогию между двумя системами можно провести достаточно далеко (15].
Приложение Здесь мы приведем этапы вывода формулы (10.91). ' Согласно формуле (3.!.2) из (14], конфлюэнтная гипергеометрическая функция может быть записана в виде интеграла, Определяя Х = С(1+ 8) ' (10.А 1) звз ТГОРИЯ ЛАЗЕРА из интегрального представления получим ,Р, (1, 1 + р; ай/С) =,Р, (1, 1 + (1; Д+ йх) = 1 =р) ен+а1к'(1 — 1)а Л. а (1О.А2) Произведем замену переменной интегрирования 1 1 — 1 (10.АЗ) тогда ,Р,(1; 1+6; ар/С)=р('~ ) ~ (,+„~ Нг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
