1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Приведенный здесь более общий анализ показывает, что свет, генерируемый источником, в котором уровень возбуждения атомов поддерживается отличным от уровня, соответсгвующего тепловому равновесию, имеет точно такую . же хаотическую природу, что н тепловой свет. Временная зависимость когерентности фотонов Довольно трудно получить общие зависящие от времени решения бесконечной системы связанных дифференциальных уравнений, одно из которых есть (10.14).
Однако много полезной информации о временнбм раз. витии распределения фотонов можно извлечь из анализа первого и второго моментов распределения, определяемых соответственно как й= ~лр„ (10.21) л пг ~ лгр (10.22) Умножая уравнение (10.14) с обеих сторон на л или л' и суммируя по л, можно получить для гг и и' простые дифференциальные уравнения.
Если использовать (10.!8) и (10.21), то для й получим следующее уравнение: — У( — й(~п(л+!) Р„+ М,п(п+ 1) Р„~,— л — )Улгр +)У, гр = ~, У ( — й),п (л + 1) + г)), (л — 1) п— Л вЂ” Ж,лг+ ))гг(п+ 1)г) РР = (Фг й)1) Уй+ МгУ (10 23) Его решение имеет вид й— !нг (л — Гх'~) + мг) ехр 1(М, — )У,) зг) — Ф, (10.24) )уг — йг 346 ГЛАВА 1О где йΠ— начальное значение среднего числа фотонов й в момент ! = О.
Отметим, что величина (МΠ— !1'1)У, определяющая скорость изменения а, пропорциональна плотности атомов йг/Г Дифференциальное уравнение для среднего квадрата числа фотонов имеет внд 1(п'/Н = 2 (УΠ— 51 ) Ул'+ (Зл', + й!1) Уй+ МОУ. (10.25) Это уравнение можно решить непосредственно, подставляя значение й из (10.24), однако такой путь является довольно длинным. Результат может быть записан в более компактной форме с помощью комбинаций из н' ий: и' — 2й' — й =(пз — 2йОΠ— и,') ехр(2 (Л1Π— М1) У!), (10.26) где и,'— значение и' в момент (=О.
Уравнения (10.24) и (10.26) описывают временнбе развитие статистических свойств светового пупка, обусловленное его взаимодействием с атомами. Статистические свойства в момент ! = 0 определяются соотношением между и, 'н йО. Распределение фотонов когерентного света приведено в (10.9), и, согласно формулам (7.58) и (7.59), среднее число фотонов и средний квадрат числа фотонов удовлетворяют уравнению и' — и' — й = 0 (когерентный свет).
(10.27) Распределение фотонов хаотического света приведено в (10.10), и из (!.70) получим и' — 2а' — 8 = 0 (хаотический свет). (10.28) Общую картину влияния взаимодействия излучения с атомами на статистические свойства света можно лучше всего понять путем рассмотрения ряда частных случаев, определяемых начальными статистическими свойствами и относительными величинами й!1 и 7ть 1. йО = О, Ж1 ) Мь Если в момент ! = 0 не имеется фотонов в моде излучения, то выражения (10.24) и (10.26) принимают вид и =(Н~(И1 — Х,) ) [! — ехр ( — (йг1 — МО) У1) ) (10.29) теОРия ллзеРА з4т нз — 2нз — й = О. (10.30) Следовательно, при малых значениях ! число фотонов в моде резонатора возрастает линейно во времени со скоростью ЖгУ.
При болыних значениях т число фотонов приближается к равновесному значению Фз/(М, — Л',), полученному в (10.20). Сравнение формул (!0.28) и (!0.30) показывает, что распределение фотонов для всех ! является хаотическим. 2. и, = О, У1 ( Уь При инверсии населенностей верхнего и нижнего уровней результаты (10,29) и (10.30) по- прежнему применимы. Свет остается хаотическим, однако теперь среднее число фотонов и неограниченно возрастает. Инверсная населенность атомов является одним нз условий действия лазерной системы, однако для получения полной теории лазера требуются некоторые дополнительные детали, описанные позже в этой главе.
Более реалистичная теория предсказывает совершенно нные статистические свойства света, генерируемого в условиях инверсной населенности атомов. 3. йр хаотических фотонов. Первоначально имеющиеся фотоны удовлетворяют соотношению (10.28): нз — 2йз — йг = О. о о (10.31) Тогда из (10.26) следует, что свет-остается хаотическим во все последующие промежутки времени. После прохождения достаточно длительного времени среднее число фотонов снова приближается к равновесному значению (10.20), если М, ) Мм или неограниченно возрастает, если У~ ( Мь Временные зависимости величины й для случаев, когда фотоны первоначально отсутствуют и когда первоначально имеется йг хаотических фотонов, показаны на фиг.
!0.2. Кривые относятся к случаю нормальной населенности атомов, когда У1 ) Ль 4. йа когерентных фотонов, У1 Уь Теперь при 4= 0 фотоны удовлетворяют соотношению (10.27) (10.32) а' — йз — и, = О. о о ГЛАВА 1О 848 Величину й удобно разделить на два слагаемых и переписать выражение (10.24) в следующем виде: й=й,+йн (10.33) где й, = п„ехр ( — (У, — л(,) Ю) (10.34) и й~ = (Н ((л7, — !уз) )(! — ехр( — (йг, — йГз) У!) ). (1О 35) На основе этих определений уравнение (10.26) можно переписать в любой из двух форм: пз — 2йз — й = — йз (10.36) или (10.37) и' — йа — й = й' + 2п!й . с.
Два слагаемых в выражении для числа фотонов, имеющихся в моде резонатора в момент времени 1, объясняются следующим образом. Из (10.35) видно, что составляющая й, совпадает с выражением (10.29) для числа фотонов в момент времени г, если первоначально фотоны отсутствуют. Фотоны й; являются хаотическими, или некогерентными; если в (10.36) или (10.37) пренебречь величиной й„то эти уравнения переходят в условие (10.28) для хаотического света. Хаотическая составляющая й; присутствует всегда, независимо от начальных условий.
С другой стороны, фотоны и, являются когерентными; если пренебречь йь то видно, что уравнения (10.36) и (10.37) становятся иден|ичными условию (10.27) для когерентного света. Действительно, в общем случае можно показать [2, 3], что выражения (10.33) и (10.36) или (10.37) дают первый и второй моменты для смеси когерентного света (со средним числом фотонов и,) и некогерентного, или хаотического света (со средним числом фотонов й;).
Следовательно, первоначально имевшийся когерентный свет остается когерентным, однако его вклад уменьшается, согласно (10.34), и полностью исчезает при больших временах, когда остается только стационарная хаотическая сосгавляющая, определенная в (10,20). Временная зависимость хаотической составляю. ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА щей иллюстрируется кривой, отмеченной ло = 0 на фиг. 10.2. Разность ординат этой кривой и кривой для конечного значения по характеризует когерентную составляющую й, в полном среднем числе фотонов.
~ 1,0 0,0 0 1 2 Х 4 Х (й1»-11г) ~й лриг. 10.2. Временная зависимость среднего числа фотонов в одной моде резонатора, взаимодействующей с атомами, большинство ко- тоРмх находитсЯ в основном состоЯнии (А»» > »Уа). трв кРивые соотиетствуют различнмм начальным значениям средиесо числа татское й,. Для всех значений я, среднее число фотонов ири больших временах стремится к Фздяз — Ман 5. й, когерентных фотонов, М» ( Уз. Решения '(10.32) — (10.37) остаются справедливыми для случая инверсии населенностей атомов; при этом формулы (10.34), (10.35) можно переписать таким образом, чтобы подчеркнуть экспоненциальный рост как йш так и»»»." л, = йо ехр ((Л»т — Л1») У1) (10.38) и й» = (1»7у1(1»1з — Ф»)) (ехР ((Уз — 1Ч») 31) — 11. (10.39) Величина некогерентной, нли хаотической, составляющей и; остается независимой от начальной величины когерентной составля»ощей.
Временная зависимость хао- ГЛАВА )О тической составляющей иллюстрируется кривой и! на фнг. 10.3. При больших временах статистические свойства света зависят от относительных величин йо и жйl(д)2— ~ УО ! 20 с) 1 2 2 4 (ДГа-Му) гзб Фнг. 10.3. Рост среднего числа фотонов в случае инверсии атом- ных населенностей (А)а ) М!). Кривая й! отражает временную зависимость хаотичееиой комвонеиты. дзе остальные кривые характеризуют временную зависимость когерентной конно. кенты я для двух значений начального числа аа когерентных аштонов, боль. шаго )верхняя кривая) или меньшего )нижняя кривая) величины №)№-№). — Л)!).
Б случае слабого начального возбуждения когерентного света, когда ЙО (( тг)2/(М2 Л !)г (10ЛО) т. е. ЛО ()" 2 )т !) (( )т 2г (1О. 41) спонтанное непускание фотонов, происходящее со скоростью, пропорциональной ))2, преобладает над суммарным эффектом процессов поглощения и вынужденного ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА 35! испускания, протекающих с общей скоростью, пропорциональной й2(й/2 — Ж~). В результате при больших временах доминирует хаотический свет.
С другой стороны, при сильном начальном возбуждении когерентного света, когда йч(Н2 /У!)» /У2 (10.42) доминирует вынужденное испускание, которое при больших временах приводит к преобладанию когерентного света. На фиг. 10.3 показаны типичные кривые для двух случаев, когда 62 больше нлн меньше Ж2/(У2 — /У,). Для больших времен отношение когерентных фотонов к числу хаотических фотонов имеет вид — (У,— /У,)й»1. (10АЗ) Здесь были использованы формулы (!0.38) и (!0.39).
Эти результаты показывают, что вынужденное испускание стремится сохранить когерентные свойства стимулирующего излучения. Следовательно, экспоненцнальные члены в (!0.38) и (!0.39) описывают соответственно генерацию более когерентного света при действии когерентного стимулирующего излучения и генерацию более хаотического света при действии хаотического стимулирующего излучения. В то же время спонтанное излучение всегда дает хаотический свет. Эти свойства вынужденного и спонтанного испускания проводились без доказательства в гл. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
