1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 48
Текст из файла (страница 48)
5.10 некоторой неопределенностью. Различие обусловлено использованием в уравнениях, приводящих к фиг. 7.3, полного оператора электрического поля Е и соответствующего учета вклада нулевых колебаний. Замена в (7.73) оператора Ез на Е-Ее сводит неопределен- З14 ГЛАВА 9 ность электрического поля к нулю и приводит к полному согласию между фнг. 7.3 и фиг. 5.10. Такие же замены могут быть сделаны в гл. 7 при рассмотрении состояний 1и) и (~р). Однако исключение эффектов нулевых колебаний дает лишь незначительное изменение свойств этих состояний, а потому качественные выводы о природе состояний 1п) и 1р) остаются справедливыми.
Счет фотонов Квантование поля излучения н существование фото. нов не только сохраняют общую интерпретацию классических интерференцнонных экспериментов, но тахже дают новый тип эксперимента, в котором измеряются те же параметры светового пучка, что и в обычной интерференции и в спектроскопии. Этот экспериментальный метод называется счетом фотонов и в простейшем варианте производится следующим образом. Исследуемый световой пучок направляется на фотодетектор, соединенный соответствующей электронной схемой со счетчиком, который регистрирует число фотонов, создающих фотоэлектронную эмиссию в фотодетекторе. Затвор перед фотодетектором контролирует промежуток времени, в течение которого свет падает на детектор. При счетчике, установленном на нуль, затвор открывается на время Т.
Затем затвор закрывается и записывается число сосчитанных фотонов т. Через отрезок времени, больший времени когерентности, затвор снова открывается и повторяется прежний эксперимент с записью второго числа сосчитанных фотонов. Эксперимент повторяется в третий раз и т.д.,пока не накопится большое количество данных, относящихся к числу фотонов, сосчитанных в течение одинакового промежутка времени Т. Полное число данных за все время эксперимента может быть, например, порядка !О'. Результаты можно выразить в виде распределения вероятностей Р (Т) для отсчета п9 фотонов за время наблюдения Т.
Постоянно предполагается, что все измеряемые световые пучки стационарны. Измеренное статистическое распределение Р,„(Т) содержит информацию о статистических свойствах светового источника. Мы проаналнзи- ОПТИКА ФОТОНОВ руем эту информацию, а также способ извлечения этой информации из результатов эксперимента по счету фотонов. Скорость фотоэлектронной эмиссии пропорциональна интенсивности пучка, которая, согласно (9.42), определяется средним значением произведения операторов Е-Еь. Уже упоминалось, что наблюдаемая квантовомеханическая интенсивность аналогична усредненной за период классической интенсивности Т(1), определенной в (5.30).
Детальное вычисление распределения счета фотонов проще всего провести, используя классическую световую интенсивность пучка Х(1). Соответствующий квантовомеханическнй результат будет приведен позже без детального вывода. Пусть р(1)Ж есть вероятность того, что под действием светового пучка некоторый атом в фотодетекторе испустит электрон, регистрируемый счетчиком в виде одиночного отсчета в течение времепнбго интервала между 1 и 1+И. Тогда в соответствии с (9.14) и (9.26) можно записать р (1) (1 = ~Т(1] (1, (9.49) где величина Л предполагается достаточно большой для применимости теории вероятностей перехода (см.
дискуссию, предшествующую формуле (3.51)], но достаточно малой, для того чтобы вероятность испускания электронов более чем одним атомом за время Ж была пренебрежимо мала. Константа пропорциональности ~ характеризует эффективность фотодетектора. Она содержит матричные элементы для фотоэлектрических процессов, обсуждавшихся в этой главе ранее, и множители, зависящие от плотности и положений ионизуемых атомов в фотодетекторе. Рассмотрим определенный период счета, длящийся от 1 до 1 + Т. Пусть Р, (1, Т) есть вероятность отсчета т фотонов за этот период. Искомое распределение Р (Т) определяется путем последующего усреднения по большому числу различных начальных моментов времени 1.
Пусть 1+ 1' есть момент времени, лежащий в интервале между 1 и 1+ Т, как показано на фиг. 9.3, и пусть а(1' есть короткий промежуток времени, подобный исполь. 3!6 ГЛАВА З зованному в (9.49). По определению, вероятность отсчета т фотонов в интервале времени между ! и !+ !'+' + с(!' равна Р (1, !' + г(!'). (9.50) Существуют, однако, две различные возможности отсчета и фотонов за данный временной интервал: 1) в ин- р+й у!' 2+Т Фиг. 9.3.
Временные интервалы, используемые при вычислении Ры(б У), показывающие две возможности отсчета лз фотонов за период между ! и Г+ Н+ г!Р. тервале между ! и !+ !' отсчитывается пг фотонов и ни одного фотона — за время с(!', с обшей вероятностью Р (1, !') [ 1 — и (!') с(!']; (9.51) 2) в интервале между ! и !+ !' отсчитывается пт — ! фотонов и один фотон — за время Ж', с общей вероятностью Р -1 (1, ! ) Р (1~) и!~. (9.52) Согласно нашему допущению, вероятность отсчета более одного фотона за время Ж' пренебрежимо мала. Эти два способа вычисления вероятности отсчета пт фотонов в интервале времени между ! и 1+ !'+ Ж' должны быть эквивалентны, поэтому из формул (9.50)— (9.52) получим Р (1, !'+ (!')=Р (1, !')[! — Р(!')(!']+ + Р, (1, !') Р (!') И.
(9.53) Используя (9.49) и определение дифференцирования,выражение (9.53) можно преобразовать к виду =~! Я [Раз-1 ((, !') — Рм(1, !') ]. (9.54) ОПТИКА ФОТОНОВ З17 Таким образом, вероятности Р (1, 1') для разных значений т связаны цепочкой дифференциальных уравнений. Первое уравнение цепочки для т = 0 отличается от общего результата тем, что в нем, конечно, отсутствует член, содержащий Р (9,55) Цепочку уравнений для Р (1, 1') можно решить ме тодом последовательных исключений, начиная с т = О. Вероятность Р,(1, 1') подчиняется граничному условию, заключающемуся в том, что вероятность отсчета фотона за нулевой интервал времени, конечно, равна нулю: Р0 (1 О) = ( (9.
56), Используя это граничное условие, уравнение (9.55) можно проинтегрировать и получить Удобно определить среднюю за время счета интенсив- ность света Т(1, Т), падаюшего на фотодетектор, как 1(1, Т) = — ', ~ 1(1') 11', С (9.58) Рэ(1, Т)=ехр[ — ьХ(1, Т) Т1 (9,59) Остальные вероятности Р (1, Т) можно определить из (9.54), начиная с П1 =! и переходя к более высоким значениям т. Дополнительное к (9.56) граничное условие имеет вид Р (1, 0) =О, лт Ф О. (9.60) и на основе этого определения переписать (9,57) следующим образом: ГЛАВА 9 з)в Задача 9.14.
Докажите, что общее решение уравнения (9.54) с граничным условием (9.60) дается выражением Р (1, Т)= ехр ( — Г((1, Т) Т*) (9.6!) Вероятность Р (1, Т) описывает распределение показаний счетчика фотонов, полученных в серии экспериментов, каждый из которых начинается в одно и то же время й На практике обычно возможно одновременное проведение лишь одного измерения по счету фотонов. Последующие периоды счета протекают прследовательно, а не одновременно.
Интенсивность 1(1, Т), вообще говоря, флуктуирует от периода к периоду, как это описывалось в гл. 5 для случая хаотического света. Измеряемое распределение отсчетов фотонов Р (Т) является средним по большому числу различных начальных моментов времени 1, а поэтому мы можем записать1) Р,„(Т) =(Р (1, Т)) = = ( ', ехр [ — ~1 (1, Т) Т) )~. (9.62) Здесь в соответствии с обозначениями, принятыми в гл. 5, чгловые скобки означают усреднение по 1.
распределения фотонов для когерентного и хаотического света Распределение, приведенное в (9.62) для Р (Т), применимо к любому стационарному световому источнику. Эно содержит усреднение по времени, которое можно .-очно вычислить в некоторых специальных случаях. Рассмотрим сначала простейший случай, когда Х(1, Т) не зависит ни от 1, ни от Т, и мы можем положить 1(1, Т)=1. (9.63) ') Распределение Рв(Т) было впервые получено в работах [5).
оптикл фотонов Следовательно, величина, которую следует усреднить в (9.62), не зависит от параметра усреднения ( и угловые скобки можно спустить: Р (Т) = —, ехр ( — т). (9.64) Здесь была введена величина т =9Т, (9.65) Распределение фотонов Р (Т) для постоянной интенсивности является, таким образом, пуассоновскнм распределением, аналогичным распределению (7.62), причем среднее число сосчитанных фотонов т определено в (9.65).
Статистика отсчетов подобна статистике падения дождевых капель при «стационарном> дождевом потоке или статистике поступления частиц, испускаемых в процессе радиактнвного распада долгоживущего изотопа. Вид пуассоновского распределения для трех значений среднего числа отсчетов гп приведен на фиг. 9.4. Величина флуктуаций счета фотонов около среднего значения фотонов определяется корнем квадратным из среднеквадратичного отклонения распределения Ьт. Алгебраически вычисление Лги точно такое же, как в (7.58) — (7.60), только (а~х заменяется на ги, и потому (Лги)з = п1. (9.66) Флуктуации в пучке постоянной интенсивности называются флуктуациями частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
