1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Действительно, члены степенного разложения (9.77) пропорциональны последовательным степеням когерентности (9.46), включая интегрирование по времени, вытекающее из определения 7(1). Таким образом, распределение фотоотсчетов определяется бесконечным числом степеней когерентности. Нормальное упорядочение операторов поля обеспечивает правильное описание процесса детектирования на основе понятия уничтожения фотонов. Использование оператора нормального упорядочения Л' позволяет записать распределение в компактной форме (9.77), однако при разложении экспоненты операторы Е- и Еь, входящие в 7((), становятся разделенными. Квантовомеханическое распределение слишком сложно для вычисления, и поэтому мы не приводим результатов, полученных для общей формы распределения.
Можно показать (7), что квантовомеханическне результаты подтверждают полукласснческне вычисления для когерентного и хаотического света, описанные раньше в этой главе. В действительности вычислить распределение для чистого когерентного состояния ~(ак)) весьма просто. Когерентное состояние есть собственное состояние оператора Е(г() с собственным значением, определенным ОПТИКА ФОТОНОВ в (9.47). Следовательно, каждый оператор Е+ в (9.77) можно заменить его собственным значением, а каждый оператор Е- — комплексно сопряженным собственным значением.
В результате распределение упрощается и сводится к пуассоновскому распределению, сходному с (9.64). Главная цель записи квантовомеханического распределения, приведенного.в (9.77), помимо сделанных выше замечаний о подтверждении некоторых полуклассических результатов, заключается в демонстрации связи между оператором плотности и распределением фотоотсчетов, которое в принципе можно определить экспериментально. Пусть фотоны принадлежат одной моде к, которая, по нашему предположению, возбуждена в некоторое стационарное состояние. Все произведения операторов Е- и Е+ упрощаются, как и в (9.!9), а распределение фотоотсчетов можно записать следующим образом: Р (Т) = Зр( рА™ ехр( — ва й) ~. (9.79) Здесь оператор Л' располагает операторы йт слева от операторов й, которые являются операторами рождения и уничтожения фотонов одной рассматриваемой моды и (9.80) 5 = ~сйгь/У есть мера эффективности детектора, сходная с ~, но имеющая дополнительный множитель.
Величину 5 мы назовем квантовой эффективностью детектора. Распределение фотоотсчетов, приведенное в (9.79), справедливо только для эксперимента, в котором регистрируются фотоны одной моды резонатора и где р есть одномодовый оператор плотности.
В гл. 7 уже было доказано, что стационарный оператор плотности для инди. видуальной моды не дает никакой информации о временнбй зависимости возбужденной моды. Следовательно, распределение Р (Т) в (9.79) относится к вероятности отсчета т фотонов за время Т, короткое по сравнению с характерным временем флуктуации числа фотонов. Оператор, среднее значение по ансамблю которого необходимо вычислить в (9.79), имеет для состояний ГЛАВА В 328 Р„= (а ~ р ! и). (9.8! ) Тогда этот элемент Р, определяег (полностью или частично в зависимости от того, диагональна или не диагональна матрица плотности р для состояний )л)) вероятностное распределение одномодовых возбуждений среди различных состояний )л). Связь между Р„и распределением фотоотсчетов, созданных этим возбуждением, определяется ниже. Если экспоненту в (9.79) разложить в ряд и для вычисления следа использовать состояния с определенным числом фотонов, то получим Э Р (Т)=~Х~ Р,— (л(~(-1)' — )(!) ) !2 ~ 1л).
(9.82) Вычисление матричного элемента по обычным правилам (6.86) и (6.87) дает л-т Р.(Т)=') Р, ~", ~'( 1)! —,', "',, (9.88) Суммирование по 1 эквивалентно биномиальному разло- жению и потому может быть записано в следующей замкнутой форме: Ю Р (Т)=~ Р„( )~ (1 — $)", (9.84) где ()= лХ л! т) т! (л — т)! ' Эта форма ') распределения фотоотсчетов эквивалентна выражению (9.77) для одномодового возбуждения, время флуктуаций которого велико по сравнению с време- (9.85) ') Выражение (9.8а) было впервые выведено в работе 181.
с определенным числом фотонов )л) только диагональ- ные матричные элементы. Пусть диагональный матрич- ный элемент оператора плотности фотонного возбужде- 'ния есть 899 ОПТИКА ФОТОНОВ Р (Т) = —,ехр( — $й). (йа) (9.88) ') Выражение (9.80) для квантовой эффективности Ь справедливо только тогда, когда ее величина много меньше единицы. Более точное выражение, приведенное в [8], показывает, что, как только правая часть выражения (9.80) становится большой, Ь стремится к максимальному значению, равному единице, тем Т. Распределение (9.84) называется распределением Бернулли и интерпретируется просто как вероятность гого, что т фотонов сосчитаны, а п — пт фотонов не зарегистрированы, причем вероятность регистрации од('п1 ного фотона за период счета равна $.
Множитель 1 / 1,т,[ обусловлен тем, что нам безразлично, какие именно т фотонов сосчитаны, а сумма по и учитывает возможные числа фотонов, возбужденных в одну моду. Из (9.84) следует, что распределение фотоотсчетов Р (Т) совпадает с распределением фотонов Р„, определяемым диагональными матричными элементами оператора плотности, только в том случае, когда квантовая эффективность равна единице и Р (Т) = Р„Ь„К = 1). (9.86) В случае квантовых эффективностей, меньших единицы '), распределения Р (Т) и Р„(Т) различны и экспериментальное распределение фотоотсчетов дает лишь косвенную информацию о фотонном возбуждении. Реальные 'квантовые эффективности имеют порядок 10-т, поэтому экспериментальная ситуация обычно далека от идеальной, описываемой соотношением (9.86).
Существуют два важных случая, когда распределение Р (Т) легко вычисляется по данному фотонному распределению Р,. Эадача 9.15. Рассмотрите одномодовый т(огерентный свет, где, согласно формулам (7.68) и (7.97), Р„= —, ехр( — й); (9.87) и„используя выражение (9.84), докажите, что ГЛАВА 9 азо Задана У.!б. Как и в задаче 9.10, рассмотрите фильтрованный одномодовый хаотический свет, где, согласно формуле (7.107), ял Р„= (!+ я) е" и докажите, что Р (Т)= и1 ~ (! 4 )~+щ Эти результаты согласуются с выражениями (9.64) и (9.68), полученными полуклассическим методом. В обоих примерах среднее число сосчитанных фотонов т связано со средним числом фотонов в моде й соотношением ПГ = $П, (9.91) а распределения Р„и Р (Т) имеют одинаковую математическую форму.
Однако это не является общим свойством распределения фотоотсчетов, которое по форме может отличаться от распределения фотонов Р,. Эксперименты с фотонами Из фиг. 9.5 видно, что распределение фотоотсчетов чувствительно к времени когерентности т,, в том случае, когда время счета Т сравнимо с т,. Следовательно, измерение Р (Т) для хаотического света можно использовать для определения времени когерентности на основе согласования экспериментального распределения с теоретическим. Этот метод определения т, называется спектроскопией флуктуаиий интенсивности Для хаотического света он дает в принципе ту же информацию, что и измерение методом обычной спектроскопии параметра ширины линии у, связанного с т„. соотношением (9.73).
Минимальное время счета Т в спектроскопии флуктуаций интенсивности ограничено временем разрешения фотодетектора, Самые быстродействующие из имеющихся фотодетекторов обладают временем разрешения порядка !Π— 9с. Время когерентности такой величины соответствует ширине 2у порядка !О' Гц в единицах часто- ОПТИКА ФОТОНОВ зз! ты (но не угловой частоты). Таким образом, спектроскопия флуктуаций интенсивности пригодна для хаогического света с шириной частотного распределения, меньшей 10' Гц. Практически таким способом можно исследовать интервал от 1 до 1О' Гц. С другой стороны, обычная спектроскопия, использующая дифракционные решетки, способна разрешать спектральные линии с шириной 10" Гц и больше, в то время как ннтерференционная спектроскопия Фабри— Перо пригодна для спектральных линий, ширина которых лежит в интервале от 10' до 10м Гц.
Отсюда видно, что спектроскопня флуктуаций интенсивности превосходно дополняет область частотных ширин, перекрываемую более привычными методами. Спектральные линии, слишком узкие для разрешения методами спектроскопии, измеряющей частоту, можно легко изучать методами временнбго разрешения, применяемыми в спектроскопии флуктуаций интенсивности. На фиг.
9.7 изображено экспериментальное распределение фотоотсчетов, использованное для определения ширины линии хаотического света на основе спектроскопии флуктуаций интенсивности [9]. Эксперимент проводился с помощью лазерного пучка, рассеянного на суспензии из сферических частиц в воде при комнатной температуре. Теория броуновского движения показывает, что такой рассеянный свет имеет лоренцево частотное распределение [10]. Случайное движение частиц обусловливает временные свойства рассеянного света, характерные для хаотического источника, а потому экспериментальное распределение на фиг. 9.7 сходно с распределением на фиг.
9.5. Весь эксперимент включает серию времен счета от 10-з до 2 !О-' с. Время когерентности т„полученное из сравнения теории с экспериментом, составляет 10-' с. Соответствующая частотная ширина линии в 20 Гц, конечно, не могла быть измерена методом обычной спектроскопии. В экспериментах по счету фотонов другого типа величины т, или у для хаотического счета измеряются посредством определения степени когерентности второго порядка падающего света. При падении света на фотодетектор измеряется корреляция между числами фото- ГЛАВА В 332 нов гп~ и птт, сосчитанных за два коротких временнйх интервала 81г и б1з, разделенных временем т.
Если оба временных интервала имеют одинаковую длительность, меньшую т и времени когерентности т„то корреляция (тзгпт) определяет введенную в (9.38) степень когерент- От 6' 8 10 12 Фиг . 9 .7. Экспериментальное распределение фотоотсчетов для лазерного света, рассеянного на суспензнн сферических частиц в воде. Время счета Г равно !О е, а среднее число отсчетов нт ЗЯ. ности второго порядка дЯ для света В одной и той же точке, но в разные моменты времени. Выражение (9.38) можно переписать через числа сосчитанных фотонов: йт~в (ттзлгт)глг (9.92) где т — среднее число отсчетов за короткий интервал 81, = б1а.
Следовательно, для хаотического света с лоренцевым частотным распределением выполняется соотношение (лт,лте) та (ехр ( — 2у ! т ~) + 1). (9 93) Здесь были использованы формулы (9.37) и (9.45). С помощью классического результата (5.77), справедливого оптика фотонов ззз также при квантовомеханическом рассмотрении, корре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
