1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В этом случае кинетическая энергия свободного электрона намного больше кулоновской энергии связи лсзэ, и в хорошем приближении можно пренебречь влиянием кулоновского потенциала на волновую функцию свободного электрона. Тогда в качестве волновой функции конечного состояния можно взять плоскую волну ф,=У '*ехр(йу г). (9. 4) Отметим, что из неравенства (9.3) и формул (9.!) и (9.2) следует д » 1/а„ (9.5) и длина волны свободного электрона много меньше боровского радиуса. Предполагается, однако, что длина волны падающего фотона намного больше аФ Например, если величина Лак порядка !00 Лоя, то простая оценка дает, что длина волны фотона Л = 2п/й ж 10 э м (9.6) гва ГЛАВА 9 намного больше боровского радиуса, равного 5 1О-и м.
Поэтому взаимодействие между излучением и атомом можно рассматривать в электрическом дипольном пряближении, в котором координата электрона, входящая в оператор электрического поля, заменена координатой атомного ядра. Для последующего обсуждения когереитности удобно принять, что ядро расположено не в начале системы координат, как это считалось раньше, а в некоторой точке, определяемой вектором гь Тогда оператор электрического дипольного взаимодействия (8.48) запишется в виде ,Жл~ = ег Е„(г,), (9.7) где г — вектор, определяющий положение единственного электрона относительно ядра водорода.
В вычислениях настоящей главы используется смешанное представление, в котором операторы электромагнитного поля зависят от времени. Оператор электрического поля, определенный в (6.106) и (6.!08), удобно разделить на две части. Для момента времени Г1 положим ЕГ(гА)=Е" (гА)+ Е (ГА), (9.8) где Е+ (Г11,) = ! 2„(8999/2В9)г)меха 9 ехр ( — !мкй + Й г,) (9.9) и Е (ГА) = — ! ~ (Доз„/2В9)г)' е„899 ехр(199„Г, — 1(г ° г,). (9.10) Процесс поглощения фотона, сопровождаемый возбуждением фотоэлектрона в момент Гь описывается диаграммой, сходной с диаграммой фиг. 8.1,б, а соответствующий матричный элемент похож на матричный элемент (8.71).
Прежде всего мы предположим, что фотоны первоначально находятся в состоянии ~пк) с точно определенным числом фотонов. Если ~Р~) есть фотонное состояние после фотоэлектронной эмиссии, то матричный элемент процесса определяется выражением ()~мвр)1)=()тп й~ег (е" (Г,Г,)+е (ГА)11л„, 15) (9.! 1) ОПТИКА ФОТОНОВ 297 Очевидно, что конечное электронное состояние обладает большей энергией, чем начальное, поэтому реальные переходы возможны только для процессов, в которых происходит поглощение энергии электромагнитного поля. Следовательно, только компонента электрического поля, содержащая операторы уничтожения фотонов, дает фиг.
9.1. Система координат, используемая при вычислении ско- рости фотоэлектронной эмиссии. вклад, отличный от нуля, и матричный элемент после факторизации принимает вид (1!Ялр ~Е) =е(1с< ! Е+(гу)~ла) ° (с() г)13). (9.!2) Исследуем сначала атомную часть матричного эле' мента, для которой необходимые волновые функции приведены в (9.4) и (3.25). Рассмотрим систему координат, в которой волновые векторы падающих фотонов параллельны оси г, а их векторы поляризации параллельны оси х, как показано на фиг. 9.1. Направление волнового вектора эмиттированного фотоэлектрона определяется сферическими полярными углами 0 и ср, причем направ- ГЛАВА О 293 ление оси г выбрано в качестве полярной оси, а азиму- тальный угол ср измеряется от оси х. Задача 9.1.
Докажите, что . 32пьд, Мп В со! я! (с(~ ек ° г !15) = — Š—, уч!ап! (чо+ а-о)о !32п ! 5гв В соо !э учрч 5 (9.13) Здесь на последнем этапе было использовано неравенство (9.5). Теперь скорость перехода для фотоэффекта можно получить с помощью золотого правила Ферми (8.83). Вычислим полную скорость перехода 1/т для всех процессов, в которых фотоны с частотой сок поглощаются атомами и вызывают эмиссию электрона.
В соответствии с (8.83) мы должны просуммировать по всем конечным фотонным состояниям 11с!) и учесть все конечные волновые векторы электрона с1. Тогда из (9.12) и (9.13) ~Я1 ~Е (г!Г!)!па)~ о !о Х Я! а 3 Вдох Х б (сох — —, — — ) . (9.14) 2псаоо 2п! ) Измерение фотонной интенсивности Рассмотрим зависимость скорости фотоэлектронных переходов от поля излучения. Согласно (9.!4), электромагнитное поле входит в выражение для скорости перехода через множитель ~ ~ фг | Е+ (г! 1!) ~ па) !' = я! (па ~ Е (гс1!) ~ Ц) (К1 !Е+ (гс(!)! па). (9.15) я! Суммирование в принципе производится по всем возможным состояниям поля излучения, причем любые ограничения на конечное состояние обусловлены свойствами оптике еотонов матричных элементов Е+ и Е-, а не ограничением на суммирование по Ль Следовательно, к состояниям поля излучения можно применить условие полноты (4.100) Х ! й!) ()!! ! = 1.
(9.16) А'! На основе соотношения (9.!6) уравнение (9.15) преобразуется к виду ~. ! (Ц!Е+ (г16)! пы) !'=! (пы !Е (г16) Е (гА)! иы) (9 17) л! Скорость, с которой атом под действием поля излучения в состоянии !пы) испускает фотоэлектроны, пропорциональна, таким образом, ожидаемому значению оператора Е-(гА)Е+(г1!1) в состоянии !иы). Если интенсивность светового пучка определяется по измерению тока, созданного пучком в фотодетекторе, то оператор, соответствующий наблюдаемой интенсивности, есть Е-(гА)Е+(гА) с некоторым численным коэффициентом. Для одномодового светового пучка, где все фотоны имеют одинаковый волновой вектор К наблюдаемую интенсивность светового пучка ! можно определить следующим образом: ! = 1,2еос к(ооы) (пы 1Е (гА) Е+ (г16) ~ пы).
(9.18) В одномодовом случае из (9.9) и (9.10) следует, что Е (г,(,) Е (г~(,) = (йооы/2еоы') й~ыйы =(йооы(2еоГ) йы. (9!9) Здесь йы — оператор числа фотонов. Тогда (пы !Е (гнй) Е+ (г10) ! пы) =(йоыы/2ео~') пы. (9.20) Отсюда наблюдаемая интенсивность пучка (9.18) дается выражением (9.2!) которое полностью аналогично (6.117), но только вклад нулевых колебаний исключен. Отметим, что в одномодовом случае интенсивность ! не зависит от г, и !ь Квантовомеханическая интенсивность пучка, введенная в (9.18), аналогична усредненной ГЛАВА 9 по большому промежутку времени классической интенсивности 1, введенной в гл.
5. Из (9.20) видно, что отклик фотодетектора пропорционален средней плотности фотонов в световом пучке. До сих пор вычисление 1(т относилось к полю излуче- ниЯ, находЯщемУсЯ в некотоРом чистом состоЯнии 1пк), однако результаты легко обобщить на случай статистически смешанного состояния.
Пусть вероятность нахож- дениЯ пУчка в начальном состоинии 1пк) опРеделЯетсЯ вероятностью Р„„. Формула (9.14) для скорости перехода по-прежнему справедлива, но только различные компоненты 1пк) начального состояния должны быть просуммированы с весом Р„„. Обобщение формулы (9.17) можно записать следуюшим образом: Р,„(пь(Е (гА) Е (гА) ~ пк) = Зр ) рЕ (гА) Е" (ГА)), л~ (9.22) где р — оператор плотности, определенный в (7.81). Здесь было использовано равенство выражений (7.81) и (7.77). В случае одномодового пучка обобщение формулы (9.!8) имеет вид ! = (2а„с (г/вх) Зр [ре (гА) е+ (ГА)~. (9.23) Наблюдаемая интенсивность по-прежнему не зависит от г, и 1ь поэтому выражения (9.21) и (9.22) также справедливы, если величину пк заменить средним числом фотонов п в статистической смеси й= х„Р„,,пи (9.24) пх Если возбуждено больше одной моды, то при условии параллельности волновых векторов различных фотонов интенсивность, наблюдаемая с помошью фотодетектора, дается выражением 1(гА) = 2еьс Зр1рЕ (гА) Е (ГА)], (9.25) которое теперь зависит от г, и 1ь Однако для пучка с узким частотным распределением произведение операторов Е Е+ не содержит слагаемых, осциллирующих со средней частотой пучка.
Квантовомеханическая интенсивность оптика фотонов ЗО! (9.25) аналогична усредненной по периоду классической ' интенсивности Х(!), определенной в (5.30). В этом случае для получения аналога классической интенсивности 7 необходимо усреднение интенсивности 7(гА) по большому промежутку времени. Интенсивность, измеряемая фотодетектором, пропорциональна ожидаемому значению произведения операторов Е-Е~. Этот отклик не пропорционален ожидаемой величине оператора ЕВ, вычисленной в (6.111) и содержащей вклад нулевых колебаний от каждой моды й поля излучения независимо от того, содержатся в пучке фотоны данной моды й или нет.
Следовательно, можно утверждать, что энергия нулевых колебаний не дает никакого вклада в наблюдаемую энергию поля, которая всегда определяется величиной Ю' из (6.123), а не 8 из (6.114). Теперь мы вернемся к вычислению скорости фотоэлектронного перехода (9.14), которая принимает вид з~юпч.'е я маг всрп т г' ляг ~ ~ РзЫд'" 2м Здесь были использованы формулы (9.17) и (9.21), а в б-функции опущен член й'/2таоз в соответствии с неравенством (9.5).
Суммирование по 9 можно заменить интегрированием таким же образом, как в (1.31). Пусть п(1 — элемент телесного угла, внутри которого лежит вектор ц. Тогда +1 „~з ~~ Ч~й9с!й. (9.27) Здесь множитель 2, введенный в (1.31) и учитывающий две независимые поляризации фотона, должен быть опущен, поскольку фотоэлектрон не имеет поляризации. Вычисляя интеграл по 9 на основе свойства б-функции (3.70), получаем следующее выражение для скорости перехода (9.26): (' ~~"''1ч' 4а "д ми'й~~~'Ф (() (9 26) ~ т.
л / пеорт'а'„о>и' Экспериментальные и теоретические результаты по величине фотоэффекта обычно приводятся в виде попе- 302 ГЛАВА 9 речного сечения о, а не скорости перехода !/т. Поперечное сечение имеет размерность площади и определяется как отношение скорости потерь энергии светового пучка, обусловленных фотоэффектом, к скорости потока энергии пучка фотонов через единичную площадь, перпендикулярную к направлению его распространения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
