1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 40
Текст из файла (страница 40)
8.1. Если учесть формулы (6.98), (6.99) и (8.62), то матричный элемент для поглощения фотона дается выражением (и„— 1, 2!уазов и„!)=ойу„ехр( — га !)и'„'*, (871) а для испускания — выражением (и„+ 1, ! ( Ж ! п„, 2) = — ой~„ехр (оа„!) (и„+ 1) '*. (8.72) При работе в представлении вторичного квантования существенно, чтобы волновая функция начального состояния системы находилась справа, а волновая функция конечного состояния — слева от всех матричных элементов.
Пользуясь приведенными выше матричными элементами, можно методом теории возмущений, зависящих от времени, вычислить скорости поглощения и испускания' фотонов. Рассмотрим сначала процесс поглощения. Пусть в момент ! = О атом находится в своем нижнем состоянии ~1) и на него падает пучок фотонов с волновым вектором й.
В обозначениях гл. 3 вероятность возбуждения атома в состояние )2) в более поздний момент времени ! равна !Со(!) (з Согласно (3.72), ~ Со (!) !о = (и ! У а Р !/2) б (ао — а), (8.73) где (8.74) ао ао а! Матричный элемент перехода, приводящий к этому результату, равен (ЛУ'!о/2) ехр ( — га1), (8.75) поскольку в обсуждении, следующем за формулой (3.41), было показано, что член с ехр(!а!) в разложении временнбго множителя соз а! дает пренебрежимо малый вклад. Эти результаты из гл. 3 можно использовать для вычисления скорости поглощения с учетом квантования поля. Матричный элемент, приведенный в (8.7!), имеет такую же временную зависимость, что и полуклассический матричный элемент в (8.75), а поэтому выражение ВзАимодепствие пОля излучения с АтОмОм 265 для скорости перехода (8.73) можно переписать, заменив ')ау'~а на а„лка и аа на аак, что дает ! С, (1) !' = 2лу',лк16 (ааа ааа).
Скорость перехода пропорциональна числу фотонов лк в пучке, т. е. энергии пучка д'„= п„даа„, (8.77) (8.76) Эти результаты применимы к пучку фотонов, начальное состоЯние котоРых есть 1ик) и число котоРых, следовательно, точно определено. В гл. 9 показано, что для пучка фотонов в некотором более общем состоянии уравнения для скоростей переходов обобщаются путем замены и„ средним числом фотонов пю а в остальном приведенные выше результаты остаются без изменения. Формулу для коэффициента Эйнштейна В можно получить из (8.78) способом, аналогичным использованному в гл.
3. Для излучения с частотой аак плотность энергии 1У" (аак) определяется выражением, аналогичным (3.40): д"„= 1У ~ 1(У (аа„) а(аа . (8.79) После усреднения по случайным ориентациям вектора 0м в соответствии с выведенным в полуклассическои теории выражением (3.57) получим В„= лез ~ Р|а 1'/Звайа. Аналогичным образом можно исследовать процесс испускания фотона.
Допустим, что в момент 1 = 0 атом находится в возбужденном состоянии 12), и вычислим вероятность нахождения атома в состоянии 11) в более поздний момент времени й В обозначениях гл. 3 эта вероятность равна ( С1(Г)1а и вычисления проводятся так же, как и для процесса поглощения, только вместо (8.71) определенной в (6.124); выражение (8.76) можно переписать в виде ) С (Г) /а/1 = (2луакд е/йаак) б (ааа аак)' (8.78) 266 ГЛАВА З должен быть использован матричный элемент испускания (8.72). В результате получим / С, (Е) !з = 2пу'„(пх+ 1) Гб(А>о ых) (8 81) Эта величина представляет собой вероятность перехода атома в состояние ~1) с испусканием фотона, обладающего определецным волновым вектором й.
Множитель пк+1 в формуле (88!) дает два слагаемых в выражении для скорости испускания фотона. Слагаемое, линейное по пю определяет скорость, пропорциональную числу уже имевшихся фотонов й, и соответствует вынужденному излучению. Этот член в формуле (8.81) идентичен правой части выражения (8.76) и приводит к скорости излучения, равной скорости поглощения фотона. Это равенство двух скоростей, доказанное здесь квантовомеханическим способом, эквивалентно равенству коэффициентов Эйнштейна Вм и Вм для двух невырожденных состояний, полученному в (1.59). Отметим, что прн вторичном квантовании гамильтониана взаимодействия вынужденное излучение появляется естественным образом.
Далее, из матричного элемента (8.72) видно, что при вынужденном излучении фотон имеет такой же волновой вектор й и такое же направление поляризации (обозначение которой, согласно договоренности, заключенной в гл. 6„ учтено в индексе й), как и у имевшихся до излучения фотонов и„.
Эти свойства вынужденного излучения были сформулированы без доказательства при обсуждении фиг. 2.1. Слагаемое в выражении (8.81), не зависящее от ью соответствует спонтанному излучению, так как здесь переходы происходят даже при полном отсутствии какого- либо излучения (и„= 0). Отметим, что множитель и„+ 1, который в (8.8!) определяет отношение скоростей вынужденного и спонтанного излучений для определенного фотона й, похож на множитель й+ 1, равный отношению двух скоростей в (1.62), когда среднее число тепловых фотонов в одной моде полости равно й. Спонтанно излученный фотон может иметь любую ориентацию волнового вектора, разрешенную геометрией полости, и в этом отношении он отличается от фотона вынужденного излучения, который всегда должен иметь такой ВзАимОденствие пОля излучения с АтОмОм Еб7 же волновой вектор и такую же поляризацию, как и у фотонов, вызывающих излучение. Следовательно, полная скорость спонтанного излучения получается суммированием выражения (8.81) для излучения в отдельную моду полости )г по всем модам полости.
Тогда излучательное время жизни т„дается выражением 1/т = ) С, (!) )>/! = 2п ~, Узьб (а> — ь>„). (8.82) Эта формула является частным случаем общего результата, известного под названием золотого правила Ферми, который дает скорость перехода 1/т из начального состояния (!) в совокупность конечных состояний )/) под действием возмущения увеее 1/т=(2и/й')~ ((/(Я /!)~б(а>,— ь>!). (883) Здесь 7>ь>; и Ьвт — энергии системы до и после перехода. Для рассматриваемой задачи в начальном состоянии фотоны отсутствуют и атом находится в состоянии !2), а конечные состояния соответствуют различным фотонам К, которые могут быть испущены при переходе атома в состояние )!).
Для рассматриваемого перехода золотое правило, которое в общем случае будет доказано в гл. 11, сводится к формуле (8.82). Для завершения оценки величины тл необходимо в выражении (8.82) от суммирования по к перейти к интегралу по а>е и результат усреднить по всем направлениям вектора К как это было сделано в (1.3!) и (3.56), Из (8.70) и (8,82) получаем !/т = ееь>з ~ 1> !з/Зпе йсз.' Согласно (2.27), величина 1/тн равна коэффициенту Эйнштейна А», а поэтому выражение (8.84) точно совпадает с результатом (3.58) полуклассической теории излучения для двух невырожденных уровней атома.
Проведенные выше вычисления показывают, как различные процессы, рассматриваемые в теории поглощения и излучения света Эйнштейна, автоматически появляются в вычислениях с квантованным полем излучения. Все ГЛАВА 8 268 скорости переходов могут быть непосредственно вычислены без каких-либо феноменологических рассуждений, характерных для полуклассического подхода. Хотя в настоящей главе все полученные до сих пор результаты просто подтверждают формулы, выведенные менее сложными методами, в последующих вычислениях будет видно, что при использовании кваитованного поля излучения анализ сложных процессов можно провести быстрее, чем при любом феноменологическом илн полуклассическом подходе.
Переход к представлению Шредингера Проведенные выше вычисления вероятностей переходов основаны на теории возмущений, зависящих от времени, развитой в гл. 3. Основным уравнением является зависящее от времени волновое уравнение (3.1), где гамильтониан М, как н в (3.7), представлен в виде суммы гамильтониана атома МВ и гамильтониана взаимодействия МГ. Гамильтопиан взаимодействия зависит от времени и рассматривается как причина переходов между собственными состояниями оператора Мя. В электрическом дипольном приближении можно записать волновое уравнение (Мл + Явр (1)) Ч' (1) = Й дЧ' (1)/дй (8.85) Здесь явно указаны зависящие от времени функции. Точные выражения для МВ и МВВ приведены в формулах (8.63) и (8.88), откуда можно видеть, что временная зависимость оператора ЖВВ(г) обусловлена электрическим вектором поля излучения Ет.
При рассмотрении взаимодействия между атомом н излучением на основе уравнения (8.85) используются зависящие от времени операторы для излучения и не зависящие от времени операторы для атома. Как показано в учебниках по квантовой механике (11], данная задача может быть рассмотрена в нескольких различных представлениях.
Представления отличаются характером временнбй зависимости квантовоме- Взхимодействие пОля излучения с АтОмОм йа9 хаиических уравнений. Предельными случаями являются шредингеровское представление, когда операторы не зависят от времени, а вся временная зависимость содержится в волновой функции, и гейзенберговское представление, когда волновые функции не зависят от времени, а вся временная зависимость заключена и операторах. Волновое уравнение (8.85) записано в смешанном представлении, в котором гамильтониан атома определен в шредингеровском представлении, а полевая часть гамильтониана — в гейзенберговском. представлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
