1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 39
Текст из файла (страница 39)
четности. Координаты электрона г, являются нечетными функциями, поэтому при инверсии г, величины 0 и каеп меняют знак. Отсюда следует, что матричный элемент (Ча1|'каеп1фз) может быть отличен от нуля только тогда, когда функции 591 и арз имеют противоположную четность, как указывалось в гл. 3. В то же время величины 0 и М четны, поэтому матричные элементы операторов каео и Жмл могут быть отличны от нуля только для волновых функций ф1 и ф, одинаковой четности.
Во всех последующих вычислениях мы будем рассматривать только электрические дипольные переходы, хотя в большинстве случаев не составило бы труда заменить увеп на Муч или Я~а. Как показывают строгие вычисления, приведенные в настоящей главе, в диполь- 9 Зак. 555 глбвл в иа ном электрическом приближении гамильтониан взаимодействия поля излучения с атомом имеет такой же вид, как и гамильтониан, полученный в гл. 3 на основе простого энергетического рассмотрения. Вторичное квантование гамнльтониана атома Если для определения полевых операторов Ет(0) и Н (О) использовать результаты гл. 6, то члены гамильтониана (8.44), относящиеся к излучению, можно выразить через операторы рождения и уничтожения.
Операторы рождения и уничтожения удобно также ввести для атомных членов гамильтониана. Тогда полный гамильтониан можно записать в виде произведения алгебраических величин и операторов рождения и уничтожения. Такая форма особенно удобна при применении теории к сложным излучательным процессам, в которых происходят многократные взаимодействия света с атомами. Рассмотрим гамильтониан атома М (8.46); пусть 11) есть его стационарное состояние с энергией Ьыь Мл ~ 1) = йв, ~ 1). (8.55) Согласно условию полноты (4.100), ~, ( 1) (1 ~ = 1. (8.56) Здесь суммирование производится по всем собственным функциям Жв как дискретного, так и непрерывного спектра.
Повторное использование условия полноты приводит к тождеству Як=2 (1)(1!Мл ~,())()'!. (8,57) ! Из (8.55) и условия ортонормированности собственных функций оператора Мв следует, что (1 Фв! 1) = йм бп, (8.58) поэтому формула (8.57) преобразуется к виду Яа — — ~ йв~!1)(1(. (8.59) ВЭАимОдеистаие пОля излучения с Атомом 959 Рассмотрим теперь действие произвольной комбинации 11)(1) на некоторое состояние атома (к). В силу ортонормированности собственных функций ! '>(1~~>=!1>бдм (8.60) Следовательно, применение оператора /1)(1~ к состоянию атома (Г) дает состояние !1), если исходное состояние атома есть ~1), и нуль во всех остальных случаях.
Другими словами, ~1)(1! есть такой оператор, который, действуя на атомное состояние )1), преобразует его в состояние (1). Можно сказать, что оператор 11)(у! уничтожает состояние атома (1) и рождает состояние атома )1). В соответствии с этим языком оператор )1)(1! принято обозначать аналогично с операторами рождения и уничтожения фотонов. Определим Ь» и Ь| как операторы рождения и уничтожения атомного состояния 11) и введем новое обозначение Ь~Ь! = — ~ '> О 1; (8.61) при этом уравнение (8.60) запишется в виде ь';ьу ~ г) = ( ю') б,г (8.62) Отметим, что поскольку при взаимодействии атома с фотонами видимого диапазона новые электроны не могут родиться, а старые электроны уничтожиться и возможен лишь переход электрона из одного состояния в другое, то атомные операторы должны всегда записываться в виде пары операторов рождения и уничтожения.
Теперь гамильтониан атома (8.69) можно записать следующим образом: 9эе = ~, йа;Ь»ЬО (8.63) Такое преобразование известно как вторичное квантование гамильтониана. Согласно этой терминологии, обыч'ная квантовомеханическая процедура определения стационарных состояний и нх энергии рассматривается как первое квантование движения электронов атома. Во вторичном квантовании гамильтониан записывается через ГЛАВА 8 260 стационарные решения, которые считаются уже известными. Гамильтониан в форме вторичного квантования удобен для расчета взаимодействия атома с некоторой другой физической системой, такой, как, например, поле излучения. Атомный гамильтониан (8.63), форма записи которого похожа на форму записи излучательной части гамильтониана Ма, приведенной в (8.46), принимает точно такой же вид, как выражение (6.!13): я =,) йа„(ать, + — ). (8.64) 0 = ~„ ! !) (Ю' ! 0 Х ! /) (У ! = ~ 0 гт ! !) (7' !, (8 .65) ! ! к ! где (8.66) Подстановка обозначений, определенных в (8.61), при- водит к записи 0 в форме вторичного квантования: 0= Х 0,,ЬХЬ,.
ь / (8.67) Результат (8.63) для гамильтониана, записанного в форме вторичного квантования, является частным случаем более общего выражения (8.67), справедливого тогда, когда оператор недиагонален в представлении стационарных состояний. Теперь электрическое дипольное взаимодействие (8.48) вторично квантуется путем подстановки 0 из Здесь электрическое и магнитное поля выражены через операторы рождения и уничтожения фотонов. Остается выразить гамильтониан взаимодействия Мвп через электронные операторы рождения и уничтожения, Согласно формуле (848), электронные координаты входят в Мап только через вектор О, определяемый как сумма радиусов-векторов всех электронов атома.
Двукратное использование условия полноты (8.56) приводит к тождеству ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 26! где у ЬИ„~1а Ьг — — е(,З У) еь ' ! (8.70) и вектор Ом был положен равным 0~м что справедливо для вещественных волновых функций ф1 и фь Все члены в (8.68), у которых 1= /, обращаются в нуль, поскольку, как указывалось в связи с обсуждением выражения (3.!9), они определяются диагональными матричными элементами нечетного оператора О.
Преимущество формализма вторичного квантования заключается в простоте, с которой различные типы процессов взаимодействия, разрешенные гамильтонианом (8.67) и Йт(0) из (6.106) и (6.!08), где величина г принимается равной нулю: ®ео = ге,)„~, ( 2«у ) еь Рн Х ы е! Х ! ае ехр ( — !Мь!) — ах ехр ((вх!)1 Ь, Ьм (8.68) Электрическое квадрупольное и магнитное дипольное взаимодействия могут быть вторично проквантованы таким же способом, однако здесь не'приводится каких-либо точных формул для этих членов гамильтониана и рассмотрение ограничено только случаем разрешенных электрических дипольных переходов.
Теперь полный гамильтониан системы «атом + излучение» записан в форме вторичного квантования. Все свойства гамильтониана как оператора содержатся в операторах рождения и уничтожения фотонов, а остальные коэффициенты являются обычными числами, переменными или векторными величинами. Часто необходимо рассматривать часть электрического дипольного гамильтониана, относящуюся к паре выделенных состояний атома, скажем (!) и 12), с энергиями ЬМ1 и Ьыь Поскольку в (8.68) либо 1, либо 1 может быть равно 1 или 2, то соответствующая часть уаеа имеет вид Е 2 ЬУА(йкехр( — Ьмк!) йаехр(ивы!))(Ь, Ь, + Ъ,'Ьд* (8 69) ГЛАВА а 262 Ввв, могут быть представлены графически.
Если перемножить члены, находяшиеся в скобках в выражении (8.89), то получим четыре разных члена, каждый из ко- от а ай ьу ьг н а„ь ь 2 1 й лт лтл Ю а„ь 1 1ч лт,з. л г а„ь ь, 1 Фиг. 8.1. Диаграммы, иллюстрирующие четыре типа электрического дипольиого Взаимодействия.
Волнистме линии описывают фотоны, прямые линни в состояния атома. Все четыре диаграммы рассматриваются в тексте, Линия, стрелна которой направлена к точке взаимодействия, соответствует фотону или состоянию атомз, уннчтотксиному в пропессе взаимодействия; линия, стрелка которой направлена из точки взаимодействия, соответствует рожденным фотонам илн атомным состояниям. В каждой диаграмме начальное состояние накодится справа, в конечное состоянне — слева от точки взаимодействия. торых при действии на соответствуюнйее начальное состояние дает некоторое конечное состояние системы «атом+излучение». Эти четыре члена могут быть описаны диаграммами фиг.
8.1. Начальное состояние соответствует правой части каждой диаграммы, а конечное ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ ЗЕЗ состояние, в которое система переходит под действием зпеРатоРа Уэеш соответствУет левой части диагРаммы. Допустим, что состояние ~2) имеет большую энергию, чем состолние ~1), т. е. Вве ) Ьыь На фиг. 8.1 поглощение фотона й, сопровождающееся возбуждением атома нз состояния 11) в состояние !2), описывается диаграммой б, а обратный процесс испускания фотона — диаграммои в.
Процессы, представленные первой и четвертой диаграммами, не соответствуют разрешенным процессам поглощения и испускания, поскольку в этом случае равенство энергий начального и конечного состояний невозможно. Однако такие члены, не сохраняющие энергию, имеются в Яеш и, как будет видно в гл. 11 и 12, онн могут давать определенный вклад в излучательные процессы более высокого порядка, когда энергия сохраняется в конечном состоянии, но не сохраняется в некоторых промежуточных состояниях. Вычисление скоростей поглощения и испускания фотонов В качестве первого применения вторично проквантованного гамильтониана взаимодействия вычислим скорости поглощения и испускания фотонов атомом, который может совершать переходы между состояниями !1) и !2). Это точно та же задача, которая была рассмотрена в гл.
3 на основе полуклассической теории излучения. Однако полуклассическая теория не может строго учесть спонтанное излучение, а поэтому в (3.58) излучательное время жизни атома было найдено из соотношений между коэффициентами Эйнштейна А и В. Прямое вычисление, проводимое ниже, автоматически учитывает спонтанное излучение и дает строгое обоснование феноменологической теории Эйнштейна. Обозначим через (и„, 1) состояние объединенной системы «атом+ излучение>, где атом находится в состоянии !1) и в моде и имеется лк фотонов. Такое же обозначение может быть использовано для других комбинированных состояний. Весьма просто записать матричные элементы оператора мэев для процессов поглощения и ГЛАВА а 264 испускания фотонов, описываемых диаграммами б и в на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
