1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поэтому поглощение распределено по некоторому интервалу частот, а функциональная зависимость поглощения от частоты по определению является естественной формой линии поглощения рассматриваемого атомного перехода, Взаимодействие падающего света с атомом в полости после диагонализации изображено графически в нижней части фиг. 8.2.
Конечно, мы получим, что только смешанные состояния 11) с энергией Юь близкой к лгэм достаточно сильно взаимодействуют с пучком. В общем случае восприимчивость атома в полости можно найти, суммируя вклады переходов между основным состоянием системы (где атом находится в состоянии 11) и в поле излучения нет возбужденных фотонов)', и всеми смешанными возбужденными состояниями ~1). Эти состояния по определению являются точными собственными состояниями гамильтониана (8.103), и поэтому они не обладают каким-либо излучательным затуханием и взаимодействуют только с падающим световым пучком.
Точное выражение для воспрнимчивостл такого набора состояний определяется формулой (4.79), глхвл в 2?6 ое (г, гу,... Гул (У1 %~ — Ю'у, О, а, М е и т д е д У = а" + (г» + у) а, (8. 106) где ат — строка, составленная из операторов рождения, а — столбец, составленный из операторов уничтожения, которая для данного случая может быть записана в виде Х(ы)= з„ак ~!опГЬк — ы) +(дг+м) Э (8)Ю где разложение знаменателя на слагаемые удобно для дальнейшего использования. В феноменологическом подходе, описанном в гл.
4, влияние квазиконтинуума мод полости, изображенного в верхней части фиг. 8.2, было учтено введением скорости излучательного распада возбужденного состояния атома, а падающий световой пучок взаимодействовал с этим единственным затухающим возбужденным состоянием. В данном методе вычисления падающий световой пучок взаимодействует с большим числом близко расположенных незатухающих состояний, каждое из которых является суперпозицией возбужденного состояния атома и одной моды полости.
Несмотря на большие различия между двумя методами вычислений, как будет видно из сходства полученных результатов, феноменологический подход часто является очень хорошим приближением. Число мод полости удобно ограничить большим, но конечным ~иолом Х, чтобы можно было использовать конечные матрицы. Разумеется, в действительности число У бесконечно, поэтому в конце вычисления должен быть сделан переход от конечного У к бесконечному, Волновые векторы мод полости можно записать как Кь йь ..., ..., йм, а соответствуюшие операторы рождения и уничтожения — как й;, ап дз, а,; ... а,, й„. Гамильтониан (8.!3) можно представить в виде матричного произве- дения взхимодкиствие поля излгчения с Атомом 277 квадратные г» и у †диагональн и недиагональная матрицы. Квадратная матрица эрмитова, поэтому лизация в принципе возможна с помощью преобразования (12) 13 (гв + у) $3 ' = Х, ее диагона- унитарного (8.107) являются операторами рождения для смешанных состояний; состояние )!) получается из основного состояния, где атом находится в состоянии (!) и нет возбужденных фотонов, с помощью оператора рождения р',: ! !) = ~а'~(!).
Элементами одностолбцовой матрицы р= 0а (8.1 10) являются соответствующие операторы уничтожения рь Формула для восприимчивости (8.105) может быть выражена через элементы матрицы Ь. Согласно формуле (8.!00), матричный элемент О, входящий в 7(в), определяется выражением 0 и —— . Ю и (! ! пэ + 8 ! 1) = Р и (! ! йэ ! 1). (8. 111) Из формулы (8.108) следует а =гг $), (8.112) и первые элементы однорядовых матриц, стоящих в правой и левой частях уравнения (8.!12), дают й~=~„-~(7 (8.113) Если это выражение для йт подставить в формулу (8.!11), то из ортогональности смешанных возбуждений Здесь !l — унитарная матрица, которую следует определить, Х вЂ” диагональная матрица, элементами которой являются У+ 1 собственных значений для смешанных возбуждений, определяемых уравнением (8.104).
Операторы в однострочной матрице р~ = а~(.! (8.108) ГЛАВА 3 278 )с) и формулы (8.109) видно, что в выражении (8.113) только член с 1 = 1 дает ненулевой вклад, а потому Оп — — 1>сг(ссс. (8.114) Тогда зависящая от частоты восприимчивость (8.105) может быть записана в виде 71 (е>) = — '1 Р (г ~ / (7 Р ((Л, — е>) ' + (Л; + о>) '). с (8.115) и (е> + у) = Хи, (8.116) которое можно тождественно переписать в матричной форме: з>о сус суг ° ° ° скм — с>сс 'уг з>г (см+и Л,ии Л,(7„Л,(7„...
Л,(7„„- Л,и„Л,(7„Л,(7„... Л,и,„„ Лз('зс Лз(7зг Лзс7зз ° ° Лз(7зм+ с 1 Лм+Рмс и (8.117) Записанное через неизвестные величины (ссс и Лс выражение для т(з>) необходимо преобразовать в эквивалент'- ное выражение, определяемое через известные элементы матриц е> и з уравнения (8.!06).
Формулы для некоторых комбинаций элементов (7сс и Ль содержащихся в (8.115), найти относительно просто. Нет необходимости определять всю матрицу 13, поскольку требуется знание только некоторых сумм ее матричных элементов. Умножение уравнения (8.107) справа на () дает новое уравнение ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 279 Если стоящие слева матрицы перемножить, то сравнение соответствующих элементов с обеих сторон матричного уравнения приводит к следующему уравнению: ииез —.
К и„„„=7.,(7И (8.118) для элементов ПЕРвого столбца и к уравнению Ыпу, + У, еэм =7,УИ, 1~1 (8.119) для всех остальных элементов. Из уравнения (8.119) следует и,,у,, А! — е! (8. 120) 1Ф1, и в результате все элементы унитарной матрицы могут быть выражены через элементы первого столбца; ии им (8. 121) 777 „,р , — ел Е73!+ и Оставшиеся матричные элементы Ун входят в выражение для восприимчивости (8.115); согласно формуле (8.114), сила дипольного электрического взаимодействия в 1-м смешанном состоянии пропорциональна Уи. Столбцы любой унитарной матрицы удовлетворяют соотношениям нормировки и ортогональности (12) Х и,";и„= биь (8. 122) поэтому нормировка первого столбца приводит к равенству Е!и„Р=1, (8.123) 1УИ Я! Х вЂ” 3! ! ! и„р, — е 2 ! !пуз! т! А — е 3 ! г!7ияг — е, 3 2!~2 Х вЂ” е 2 2 3!~2 А — е З 2 Иуи ЯА! А — е ! Рl и„р, Аг егз и А — Е з и 280 глава з а из ортогональиости первого столбца ко всем остальным столбцам следует = о.
(8. 124) Л! — о!ь Здесь гав — частота произвольной моды из й! мод полости. После умножения уравнения (8.124) на произведение величин ык — Ль где каждый сомножитель соответствует одному из Л'+ 1 собственных значений Хь после изменения знака получим П ( „— Л!) = б. (8. 125) 1 ! Это уравнение есть полином порядка й! относительно ыю Его решением является каждая из У частот ак собственных мод полости. Следовательно, частоты ык являются собственными корнями уравнения (8.125), в котором частоты !эк заменены на ы, поэтому левая часть уравнения (8.125) может быть записана в виде произведения сомножителей ы — !ва.' Из (8.123) видно, что коэффициенты при вн в обеих частях уравнения равны единице, поэтому в правой части уравнения (8.125) не требуется постоянного множителя.
Из (8.126) следует, что П(.— ) и ! ~ и„1э (8.!27) — П(л,— ) ' ! и восприимчивость (8.1!5) можно записать в виде П( — ) П( + ) у (гв) = '„! О!э !' " + " . (8.128) Ц (л! — 1 П (л1+ ) ! ! Неизвестные элементы унитарной матрицы из восприимчивости исключены, и последний шаг заключается в исключении неизвестных собственных значений Х;. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 28! Из (8.118) и (8.120) получим уравнение 2 ооо+~ Л „'=Ли Ры ы (8. 129) Умножим обе стороны этого уравнения на произведение сомножителей Л2 — вю где каждый сомножитель соответ- ствует одной из У частот <оы собственных мод полости. После перегруппировки получим ооо Х вЂ” 12 П(Л' — мы) =0 (8 !30) 2 Этому уравнению порядка У+1 по Л; удовлетворяет каждое из Л! + 1 собственных значений Ль Используя метод, подобный примененному для преобразования формулы (8.!25) в (8.126), можно найти го — ыо — ~ 1 П (со — ооы) = Ц (оо — Л2).
(8.! 31) 2 Чтобы получить искомое выражение для восприимчивости, записанное через известные величины, произведения сомножителей Л; — оо и Л;+ го можно исключить из (8.128) с помощью уравнения (8.!31); ( ) ЛГго!012 Р ( ! + зоооы ) "о оо — д, уы/(ооы ") ! + ' 2 (.."-е..й..')~ (8. 132) Этот результат для восприимчивости двухуровневого атома является точным в рамках гамп.тьтониана (8.!03), однако необходимо помнить, что этот гамильтониан сам является приближением полного гамильтониана (8.102).
В гл. 1! будет видно, что члены, опущенные в приближении (8.103), играют важную роль в описании рассеяния света. Несмотря на это, при вычислении восприимчивости они дают пренебрежимо малый вклад. Излучательная ширина линии н частотный сдвиг Сравнение выражения (8.132) с полуклассическим результатом (4.89) показывает, что эти два выражения похожи, но феноменологический параметр у полуклассической восприимчивости заменен в (8.132) двумя различными членами, зависящими от частоты ы, на которой измеряется восприимчивость.
Два знаменателя в выражении (8.132) удобно разделить на мнимую и вещественную части. При проведении суммирования по й необходимо соблюдать некоторую осторожность. Теперь ограничение на конечное число Л' мод полости к будет снято, а суммирование по к заменено интегрированием.
Из требований причинности, аналогичных обсуждавшимся в гл. 4, следует, что полюса функции у(оо) должны лежать в нижней полуплоскостн го. Этому условию можно удовлетворить путем добавления к го бесконечно малой мнимой части ее, величина которой впоследствии принимается равной нулю. Тогда, используя формулы (1.131) и (8.70), сумму в первом знаменателе выражения (8.132) можно записать в виде г г е е 11гп е+о „е -ч яе е еое10м1 1 е з ~(гое ео — м — Ге о „,бпее все озе — в — ье е.+о - о (8. 133) Здесь множитель 3 в знаменателе получается в результате усреднения по углам, как и в формуле (3.56). Интеграл берется по положительной оси ыю и знаменатель как функция гок имеет полюс в верхней полуплоскостн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
