1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Соответствующий контур интегрирования показан на фиг. 8.3, а результат интегрирования может быть записан в виде суммы двух слагаемых: г е'-а'„1еем ~' две . г е'м'„1пм1 (8. 134) Здесь интеграл в смысле главного значения получается при интегрировании вдоль прямой контура, а интеграл, ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 233 Фиг. 8.3. Контур интегрироаанин длн нираженин (8.133), Результат суммирования выражений (8.133) и (8.134) может быть записан следующим образом: !!Пт ~ е . =Л(в) + !у(в), (8.135) еее где Вычисляя интеграл, входящий в мнимую часть выражения (8.!34), получим етва!!т бнеааее В тех же обозначениях сумма, входящая во второй знаменатель выражения (8.132), имеет вид 2 1!гп ~ .
= Ь ( — в) — уу ( — в). (8.138) (8. 137) Для любой положительной частоты в имеем т( — в)=0, в)0, (8.139) поскольку интегрирование в формуле (8.134) производится только по положительным частотам вн и особенность функции б(вн+в) исключена. Однако восприим- содержащий б-функцию, является вкладом от полуобхода полюса. Отметим, что последний интеграл согласуется с б-образным представлением уравнения (3.68).
284 ГЛАВА 8 пвость также определена и для отрицательных частот , на что было обращено внимание при обсуждении выражения (4.б). Для этих частот функция у(в) равна "улю, а у( — в) Ф О. Вещественная часть Л(в) в общем случае не равна нулю как для отрицательных, так и для . оложительных частот. После подстановки выражений (8.135) и (8.138) в формулу для восприимчивости (8.132) получим Зеао)г о во — в — А (в) — )у (в) + во+ — ( — )+1~( — )) ' 1. (8.140) Легко проверить, что это выражение удовлетворяет общему требованию, сформулированному в (4.7).
Наиболее интересным экспериментально наблюдаемым эффектом, связанным с атомным переходом на частоте во, является поглощение, или, точнее, рассеяние, имеющее место для света с частотой в, близкой к во. Для положительной частоты в только первый член в скобках формулы (8.140) имеет мнимую часть, поэтому форма линии поглощения определяется выражением 1 Г ) А'е'!)' )о т( ) (814П ЗеойУ [во в — го (в)1'+ то (в) ' Функциональная форма !гп)((в) похожа на лоренцеву форму линии (4.19), но является более сложной, поскольку обладает сдвигом частоты ц и параметром ширины линии у, зависящими от частоты в.
Рассмотрим сначала член б(в) в знаменателе выражения (8.141). Интегрирование в (8.136) выполнить нетрудно, однако подынтегральное выражение при больших частотах вк пропорционально в'„, и, следовательно, интеграл на верхнем пределе расходится, приводя к бесконечному значению ГА(в). Бесконечное значение Ь(в) делает мнимую часть !гп)!(в) в (8.141) равной нулю для всех конечных частот, что не согласуется с наблюдением атомных линий поглощения на конечных частотах. В течение многих лет расходимость Ь(оо) была неразрешимым противоречием между квантовой теорией излучения и экспериментальной спектроскопией.
Это проти- ВЗАИМОДЕИСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 885 воречие преодолел Бете (!3]') в 1947 г. с помощью метода, известного под названием перенормировки масс. Бете указал, что расходимость может быть в основном связана с массой электрона. Обнаружено, что энергия свободного электрона имеет бесконечное слагаемое, обусловленное взаимодействием электрона с полем излучения. Иначе говоря, кажущаяся масса электрона увеличена на бесконечную величину по сравнению с массой электрона, не взаимодействующего с полем излучения. Поскольку электрон невозможно изолировать от поля излучения, то экспериментально измеряется именно первая масса.
Отождествление измеряемой массы электрона с теоретической массой после перенормировки, произведенной для учета энергии взаимодействия с полем излучения, в основном устраняет расходимость Л(оз). Мы не воспроизводим здесь детального вычисления Л(оз); найдено, что для устранения остаточной логарифмической расходимости (после перенормировки масс) в области релятивистских частот должно быть введено обрезание интервала интегрирования в (8.136). Эти рассмотрения лежат за пределами настоящей книги, а интересующийся читатель сможет найти хорошее изложение вычисления в других книгах (15]з).
Расчеты для атома водорода показывают, что величина б(м) равна нулю, если только одно из состояний, участвующих в переходе, не является 5-состоянием. Даже при б(оз) ~ 0 перенормированный сдвиг Л(оз) всегда очень мал по сравнению с частотой возбуждения и слабо зависит от ы. Например, сдвиг б(оз) для состояния водорода 2 '5м приблизительно равен 1Оз Гц, что почти на шесть порядков меньше частоты возбуждения состояния с п = 2. Таким образом, влияние величины Л(оз) состоит в очень малых кажущихся сдвигах частот атомных линий поглощения. На частоте соа основного возбужденного уровня этот сдвиг может быть вычислен с пренебрежимо малой ошибкой. Существование сдвигов уровней было ') Эта статья перепечатана в 1)4].
') В анализах, проводимых в этой и предыдущей работах, взаимодействие между электроном и полем измерения записывается в виде А р, нак и в (825), Анализ, основанный на записи взаимодействия в виде о г, иак и в (8Л8), см. в (!6]. 286 ГЛАВА В впервые показано Лэмбом и Резерфордом в экспериментах по излучательным переходам между состоянием водорода 2>5А и несмещенным состоянием 2>Р~„. Расщепление >>(В>) между этими уровнями известно под названием лэмбовского сдвига.
Благодаря малой величине и слабой зависимости от В> влияние Ь(В>) сводится к небольшому сдвигу максимума линии поглощения без существенного изменения формы линии. В последующих формулах сдвиг Л(В>В) будет включен в величину В>В, которую мы переопределим как частоту возбуждения верхнего атомного состояния с учетом всех излучательных сдвигов уровней. Как следует из (8.137), параметр ширины линии у пропорционален В>В и не является постоянным, как это предполагалось в феноменологической теории затухания, изложенной в гл. 4.
Частотная зависимость параметра у приводит к небольшому отклонению зависимости (8.41) от лоренцевой кривой и вызывает слабый сдвиг максимума в !шт(В>) относительно В>В. Однако для узких линий поглощения, обычно встречающихся в атомной спектроскопии, эти искажения чрезвычайно малы. Сдвиг пика поглощения очень мал даже по сравнению с обсуждавшимся выше малым. сдвигом й(а>). Для большинства целей параметр т(В>) можйо положить постоянным и равным его значению при В> = о>В. Сравнение формул (8.84) и (8.137) показывает, что 2'т' (В>В) = — = А>п (8. 142) Я Это равенство согласуется с соотношением (4.91) для феноменологической константы затухания.
Таким образом, в соответствии с выводами, полученными ранее с использованием менее строгих методов, излучательная ширина линии 1т т(В>), определяемая формулой (8.141), равна коэффициенту Эйнштейна А для перехода между уровнями. В результате описанных выше приближений выра>кение (8.14!) принимает вид ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ хат Это выражение имеет лоренцеву форму и согласуется с мнимой частью первого члена феноменологической формулы для восприимчивости (4.89).
Различие с теорией, изложенной в гл. 4, обусловлено вкладом в 1гп т(ы) второго члена выражения (4.89). В более точной теории соответствующий вклад равен нулю, поскольку параметр у( — Вз) для положительных частот обращается в нуль, как и в (8.139), Однако для частот Вз, близких к Вгм второй член выражения (4.89) очень мал по сравнению с первым членом, поэтому феноменологический результат близок к выражению (8.!43). Основной вывод из более точного рассмотрения заключается в том, что для узких линий поглощения (т.
е. у « ыз) учет затухания, обусловленного спонтанным излучением, посредством добавления мнимой части гу к частоте Вз в выражение для восприимчивости без затухания является очень хорошим приближением, если величина у определяется соответствующим коэффициентом Эйнштейна А, как в формуле (8.137) .
В случае точного резонанса (ы = мз) выражение (8.143) принимает вид 1т х (ьз) — " — —, — —,. (8.144) жег ) Пи !г Елхгез Агхз ЗВВИ'т (ззо) $'гзо чя'$' Здесь была использована формула (8.137), а Х = 2пс/Взз есть длина волны излучения при резонансе. Этот замечательный результат показывает, что мнимая часть восприимчивости в максимуме линии поглощения зависит только от концентрации атомов и длины волны излучения и не зависит от всех микроскопических параметров, связанных с атомным переходом. Восприимчивость многоуровневых атомов, зависящая от частоты Восприимчивость, полученная выше на основе диагоналнзации матрицы, относится к одному атомному переходу между основным состоянием )!) и возбужденным состоянием )2).
Рассмотрим теперь более реальный случай газа, состоящего из атомов, обладающих набором возбужденных состояний, переход в которые из основ- язв ГЛАВА 8 е/ ( в Ме' (8/ — /8/)' ! О/ !! П// ! 1гп (/8) = Х( )= х 8й88 (8. 145) где И/ ( й 82) П/ )8(8/ — /8 )8 У/ (/8) = ~~', а,з ° (8.146) l Восприимчивость многоуровневого атома переходит в выражение (8.!43) в случае двухуровневого атома, где накладываемые на матричные элементы О// и Р,/ ограничения по четносТи приводят к тому, что индекс ! может относиться только к состоянию 2, а индекс ! — только к состоянию !.
Аналогично в (8.146) индекс 1 может обозначать только состояние 1, а индекс / — только состояние ного состояния разрешен в электрическом дипольном приближении. Восприимчивость без учета затухания, обусловленного спонтанным излучением, была получена в (4.79). Электрический дипольный гамильтониан взаимодействия для многоуровневого атома приводится в (8.93). Как и в случае гамильтониана (8.103) для двухуровневого атома, он снова может быть упрощен путем сохранения только тех членов взаимодействия, для которых поглощение фотона сопровождается переходом атома на более высокий уровень, а испускание фотона — переходом атома на более низкий уровень.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
