1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Иногда всю систему удобно описывать в шредингеровском представлении, как это сделано, например, в конце настоящей главы при вычислении восприимчивости атома. Временная зависимость исключается из полевой части гамильтониана простым преобразованием волновой функции. Определим новую функцию Ф(1), связанную с Ч'(~) соотношением Ф(1) =ехр( — ИВЛ1~л) Ч'(~), (8.86) где Жв — гамильтоннан поля излучения (8.46). Подста- вим функцию (8.86) в волновое уравнение (8.85) (уев + 7вео И)) ехр (',л ) Ф (~) = =Иехр(( Я )~г' — „'~ Ф(() + —,~ (8,87) и умножим полученное уравнение (8.87) с обеих сторон слева на ехр( — АМвт)в) Же+ Яа+ маг х л схъ дФ(г) + ехр( — К вЂ” а ),7вер (~) ехр( с' й ) ) Ф(~)=(А (8.88) Здесь была использована коммутация операторов Же и Мв.
Зависящий от времени член гамильтониана, стоящий в левой части уравнения, может быть сильно упрощен. 270 ГЛАВА В Задача 8.3. Используя коммутационные соотношения (7.20) и (7.21), доказать, что й ехр (иой~йТ) = ехр (Тв (йей + 1) 1) й (8.89) и йе ехр (пай "а1) = ехр (Та (йтй — 1) 1) йт, (8.90) где йт и й — операторы рождения и уничтожения для произвольного гармонического осциллятора, и, следовательно, показать, что ехр ( — ТМлТ/й) Жар (1) ехр (17йаг/й) = Фар (0).
(8. 91) '1'аким образом, волновое уравнение (8.88) преобразуется к виду (Ма+ Ма+ ало) Ф(1) =18 ~ . (8.92) Здесь записанный без временнбй зависимости оператор Таво будет обозначать электрический дипольный гамильтониан (8.68), где время Т принято равным нулю: Жар — — (е ~~ ~~ ( 2 ~, ) В„Рп (й„— й„) 0,5р (8.93) к с г Гамнльтониан в (8.92) совсем не зависит от времени, так как преобразование (8.86) перенесло временную зависимость с поля излучения на волновую функцию Ф(Т).
Такое же преобразование можно провести для полного гамильтониана взаимодействия МГ (8.47); в результате получается точно такое же волновое уравнение, как уравнение (8.92) при замене Жко на Ж~ при Т = О. Физические выводы, которые можно сделать из нового волнового уравнения (8.92), идентичны получающимся из исходного уравнения (8.85). Преобразованное уравнение симметрично относительно атомных и полевых членов полного гамнльтоннана и часто является более удобным при вычислениях, в которых как атом, так и излучение рассматриваются квантовомеханически. В то же время иногда удобнее сохранить гейзенберговское представление операторов поля излучения с учетом ВЗАИМОДЕПСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 27! их явной временнбй зависимости.
Выбор представления определяется удобством вычислений. Развитие основанной на уравнении (8.92) теории возмущений, зависящих от времени, описано в гл, 11, и в первом приближении оно приводит к тому же результату, который был получен в гл. 3 на основе волнового уравнения (8.85). Теперь рассмотрим часть гамильтониана в шредингеровском представлении, относящуюся к одной паре энергетических уровней атома. Двухуровневый атом подробно изучен в предыдущих главах, где подчеркивалось, что экспериментальные условия часто выделяют определенную пару атомных состояний; поэтому двухуровневый атом является очень хорошим теоретическим приближением, Снова рассмотрим два состояния атома !1) и !2), разделенные по энергии на ЬООО.
Если энергию нижнего состояния !1) принять за нуль, то гамильтониан атома (8.63) преобразуется к виду ~бЕ ЬОООЬ2 Ь2 .(8.94) Операторы, входящие в гамильтониан, можно упростить введением операторов перехода, определяемых следующим образом: й = Ьг Ь| = ! 2) (1 ! (8.95) (8.96) й = Ь! Ь2 = ( 1) (2 ), Следовательно, оператор йт переводит атом из его основного состояния в возбужденное состояние, а оператор Й вызывает обратный переход. Свойства операторов йт и й легко получаются из их определения. Например, если учесть (8.61) и предположить, что состояния нормированы, то й~й = ! 2)(1 ! 1) (2 ! = ЬЗЬ2 (8.97) и аналогично йй' = Ь'Ь" .
(8.98) Следовательно, гамильтониан атома (8.94) можно переписать в виде ~бе йгООЛ и (8.99) ГЛАВА З 272 Электрический дипольный гамильтониан можно преобразовать аналогично. Согласно формуле (8.65), вектор О, записанный в форме вторичного квантования, имеет вид !у=!у, (й +0). (3.100) Здесь учитываются только состояния /1) и /2). Тогда соответствующая часть электрического дипольного гамильтониана из (8.68), где время ! положено равным нулю, равна ®ер = ! 2, Йуа (ЙА — Й~А) (й + и); (8,101) величина йяк определена в (8.70). Члены, получающиеся при перемножении выражений в скобках, описываются четырьмя диаграммами на фиг.
8.1. Полный гамильтониан для двухуровневого атома, взаимодействующего с полем излучения, полученный из (8.64), (8.99) и (8.101), имеет вид ® 'убе + ®а + ~бар =Ье й'й+ ~ Ьа„й„'а + 1~ йуь(д„— а'„')(й" +и). (8.102) Здесь в Мв была опущена энергия нулевых колебаний в соответствии с замечанием в конце гл. 6. Этот гамильтониан простого вида приводит к результатам, совпадающим с полученными в начале главы для скоростей поглощения и излучения в случае переходов между уровнями !1) и !2), он особенно удобен для определения более сложных свойств взаимодействия излучения с двумя уровнями. Диагонализация гамильтониана системы «атом + излучение» Одним из проявлений взаимодействия излучения с парой атомных уровней, которое можно рассчитать при помощи гамильтониана (8.102), является вклад переходов между двумя уровнями в зависящую от частоты восприимчивость газа, состоящего из одинаковых атомов.
Классические и полуклассические выражения для восприимчивости получены в гл. 4, где было подчеркнуто, что ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 273 спонтанное излучение учтено лишь феноменологически. Теперь мы в состоянии дать более строгий расчет восприимчивости без какого-либо произвола в учете затухания, обусловленного спонтанным излучением. Будет показано, что более точный результат в основном совпадает с результатами более ранних приближений, хотя и отличается от них в деталях.
Сначала рассмотрим систему, состоящую из одного атома в полости, который описывается гамильтонианом (8.102). Если бы в гамильтопиане отсутствовало взаимо- ДЕйСтВИЕ Уяев, тО НаШа СИСтЕМа (атОМ В ПОЛОСТИ) ИМЕЛа бы энергетический спектр, изображенный в верхней части фиг. 8.2, где ые — частота возбуждения атома, ык— частота квазннепрерывного спектра собственных мод полости. В отсутствие уевв падающий световой пучок не взаимодействовал бы с атомом и проходил через полость без рассеяния и соответствующего поглощения. Если теперь учесть взаимодействие уяев, в котором оставлены только сохраняющие энергию члены, соответствующие диаграммам б и в на фиг. 8.1, то гамильтониан принимает вид Я = йы йеп+ ~ Ьгза~~й„+ ю~ йу (й~й, — б~~л). (8.!03) Введение взаимодействиЯ Уввв пРиводит к двУм следствиям: во-первых, к установлению связи между атомным возбуждением и падающим светом, а во-вторых, к установлению связи между атомным возбуждением и всеми модами полости.
Если мы учтем первое следствие, то получим поглощение светового пучка только при условии точного равенства его частоты в частоте ым как и в случае результата (3.72), содержащего 6-функцию. Именно второе следствие приводит к затуханию,которое обусловлено спонтанным излучением и должно быть включено в вычисления, чтобы получить правильное квантовомеханическое выражение для восприимчивости.
Метод, используемый ниже, служит прежде всего для исследования задачи об атоме, помещенном в замкнутую полость, в отсутствие падающего светового пучка. Поскольку в выражении (8.!03) содержатся члены взаимо- л — — — — -- — СВязь оВал Фиг.
8.2. В верхней части фигуры по вертикали отложены частоты трех основных компонент взаимодействия внешнего падающего светового пучка с атомом, помещенным в полость с квазииепрерывным спектром электромагнитных мод. Пунктирные линви соединяют возбужденное состояние атома с состояниями излучения,'с которыми оно связано электрическии дипольным вззимодействием. В нижней части фигуры изображена та же система, после того как была проведена диагонализация взаииодействия возбужденного состояния атома с модами полости для получения смешанных атомно-полевых возбуждений ! г т.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 275 действия, то собственные состояния (1) связанной системы «атом+ излучение» являются суперпозициями атомного возбуждения и моды полости. В принципе каждая мода полости получает некоторую долю атомного возбуждения, однако в действительности эта доля существенна только для тех мод, частота которых МВ близка к ым Состояния )1) диагонализуют гамильтониан (8.103), поэтому можно записать ,Ув(1) = йХ;~1), (8. 104) где й4 — соответствующее собственное значение энергии. Теперь внешний световой пучок, падающий на атом в полости, взаимодействует через гбао не с одним узким атомным переходом на частоте мм а с набором смешанных возбуждений 11), занимающих область частот Сила взаимодействия пучка с возбужденным состоянием 11) пропорциональна величине его атомной составляющей, и каждое возбуждение дает соответствующий вклад в поглощение падающего пучка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
