1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Задача 7.10. Рассмотрите квантовомеханические аналоги классических возбуждений ввиде пары мод полости, описанных в задачах 5.6 и 5.7. Пусть индексы 1 и 2 обозначают состояния двух мод. Покажите, что возбуждение, наи- сОстОяния квлнтовянного пОля излучения 243 более близкое к описываемому классическим выражением (6.81), представляет собой чистое состояние с оператором плотности р = ! а,) ! ая) (ая ! (а! !.
(7.116) Выведите соотношение между а!, аз и классическими полями Е, и Е,, при котором квантовое поле имеет своим классическим пределом выражение (5.81). Покажите, что для случайного возбуждения мод, описанного в задаче 5.7, квантовомеханический оператор плотности имеет вид Р ~~ ~~ ! 1)! 2)( 2 )( ! ! — 2+ш~-и и1=е иг=е (7.117) Здесь й — среднее число фотонов в каждой моде и предполагалось, что выражение (7.111) справедливо для лгобого случайного возбуждения. ЛИТЕРАТУРА 1.
Бияяй!ад У, 010уошег У, РЬу5!25, 1, 49 (1964). 2 Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, Фнзмятгнз, '965. 3. Бои!яе(! 57. Н., РЬуя, (.ен., 7, бо (!963). 4 Сг(аийег )7. У., РЬуя, гтен., 131, 2766 (!963). 5. Меяыай А., Гйияп!шп гпесйап!ся, то(. 1, ХогИИНонапд РиЬ. Со., Ашя1егдаш,!964, р. 442. 6. К!1151 С., ТЬегшз! рЬуя!ся, Тй!!еу, Хете Уог15, 1969, Аррепд!х Сг, р. 395. 7. Соггимегя Р„Н(е(о М. М„РЬуя. Нем 1.еИ., 14, 337 (1965). 6. Ртаяоа У.
Р., СоЬегепсе ор!щне, с!аяящие е1 цпап(щпе, )Запад, Ряг!я, 1969, Р1. 2, СЬ. 1. 9. Яииаи У. М., Е!ешеп15 о1 адтапсед Чияп1шп (Ьеогу, (Уп(тегяну Ргеяя, СяшЬг!дне, 1969, р. 94. !О. Бои(яе(1 нг. Н., мяд!вноп япд поые 1п цпап1шп е1ес!гоп!ся, Мсбгятч-Н111, Ыетг Уогк, 1964, СЬ. Б. (См.
перевод: У. Люиселл, Излучение н шумы в квантовой электронике, нзд-во «Наука», 1972.) 1!. 6(аиЬег )7. У., С)пяп!шп орнся (ед. Ьу Кау 5. М. апд Ма!Иапд А.) Асадеппс Ргеяя, 1.опдоп, !976, р. 53, Глава 8 Взаимодействие поля излучения с атомом В гл. 7 были рассмотрены свойства только свободного поля излучения, т. е, поля в пространстве, свободном от частиц, взаимодействующих с излучением.
В то же время все эксперименты по генерации и измерению световых пучков включают взаимодеиствие электромагнитных волн с атомами, и настоящая глава посвящена изучению теории этих взаимодействий. Классический гамильтониан для взаимодействующих полей и зарядов Как и в случае свободного поля излучения, рассмотрение удобно начать с классической теории.
Последующий переход к квантовой механике может быть выполнен обычным образом — путем замены классического гамильтониана квантовомеханическим гамильтонианом. Согласно формулам (6.13) и )6.23), уравнения электромагнитного поля в кулоновскои калибровке имеют вид — Р<р = о/аэ (8.1) (8.3) (8.4) (8.5) — РА + — А = р,3 1 (8.2) с' Здесь точки обозначают дифференцирование по времени. Электрическое и магнитное поля определяются из выра- жений (6.28), (6.2!) и (6.!): Ет= А Ег.
—— — 17ф, !г~Н = Ч Х А, ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 245 а условие кулоновской калибровки имеет вид 'р ° А = О. (8.6) Теория свободного поля, описанная в гл. 7 и в последнем разделе гл. 6, основана на решении уравнения (8.2) для нулевого поперечного тока Зт. Теперь мы должны решить задачу, определяемую приведенными выше уравнениями для отличных от нуля плотностей заряда о и тока 3. Мы выполняем обычный переход От классической механики к квантовой, при котором на промежуточных этапах классические уравнения движения (8.1) и (8.2) записываются сначала в лагранжевой форме, а затем в гамильтоновой.
Подробные вычисления отнимут довольно много времени, поэтому здесь мы приведем лишь схематический вывод, достаточный для того, чтобы указать основные преобразования, выполняемые в классической механике, однако без некоторых основных доказательств (1, 2].
Будем считать, что плотности зарядов и токов обусловлены электронами и ядрами некоторого модельного атома типа показанного на фнг. 3.1. Считается, что масса ядер достаточно велика, для того чтобы они в основном покоились в начале координат. Если вектор г; описывает положение 1'-го электрона и 2 есть полное число электронов, то плотности заряда и тока могут быть записаны следующим образом: О = — 2 еб(г — г~)+ Яеб(0), l 3 = — ~ ег;Ь(г — г;). (8.7) (8.8) Неподвижные ядра не создают тока. Модельный атом точно такой же, как в гл. 3, поэтому позже будет видно, что приближенный гамильтониан взаимодействия, полученный в (3.!8), является лишь соответствующим пределом более точного результата.
Вид лагранжиана Е для системы «атом+ излучение» мы сначала постулируем, а затем покажем, что этот лагранжиан дает правильные классические уравнения дви- ГЛАВА З 24б жения для электронов и полей. Рассмотрим'лагранжиан (3, 4) 1.= ~ — тг' + — ~ (В„ЕА — р Нз) а%'— ! — ~ о<рЮР'+ ~ 3 АЛ'. (8.9) Сначала выведем уравнение движения для 1-го элект- рона.
Координаты электрона можно явно ввести в (8.9) путем подстановки выражений (8.7) и (88) для о и 1: 1.=Х вЂ” тг;"+ — 1(в Е2 —. ОН )Д'+ ! + е ) (~р(г!) — г! А(г!)) — Лер(0). (8.10) ! Здесь аргументами функций ~р и А являются координаты точек, в которых эти функции должны вычисляться. Импульс„сопряженный гь равен р! —— —. — — тг! — ВА (г!), дб дг,. (8.11) а уравнения движения даются обычным выражением (8.12) Задача 8.1. Докажите, что уравнение движения электрона, полученное из (8.12), можно записать в виде тг! — — — еЕ(г;) — ерзг! Х Н (г!), (8.13) Выражение в правой части уравнения есть обычная сила Лоренца (8), действующая на электрон.
Таким образом, лагранжиан (8.9) дает правильное уравнение движения частицы. Рассмотрим теперь элек- ВЭАимОдейстВие пОля излучения с АтОмОм о47 тромагнитную часть системы. Заметим, что 1'. можно записать в виде 7.=~~1 — лтг'+ — ез ~ ((Чф)з+ А' — сз(ЧХ А)')Ог '— ! ' ! 1 — ~ Оф а)г + ~ Зт ' А Л' (8 14) Здесь были использованы формулы (8.3) — (8,5), а также соотношения ~ Е1 ' Ет Е1)г ~ Чф ° А с()г = — ~ 1рЧ ° А с5' = О (8.15) ~,1е А Л' = е, ~ Чф А п1(г = — е, ~ ф (Ч ° А) 1!)г = О, (8.16) 7.= Х 1 лтг2+ 1.е'Д', ! (8.17) где Ы= — ез((Чф)я+ Аз — сз(ЧХ А)') — вр+ )т ° А.
(8.18) Импульсы, сопряженные А и ф, определяются обычным образом из плотности лагранжиана д2' г = —.=е А А дА д2' г = —.=О. дф (8.20) Уравнения движения для полей находятся из плотности лагранжиана Ы' путем обобщения ') уравнения (8.!2), в ') Уравнение движения, связанное с плотностью лагранжиана, выводится в работе [41, вытекающие из кулоновской калибровки и (6.22). Зави- сящую от переменных поля часть лагранжиана удобно выразить через плотность лаграижиана Ю, поэтому поло- жим 248 ГЛАВА В котором учитывается замена Е на 'Г: где х; — декартовы координаты и Я может обозначать либо Гр, либо компоненту вектора А.
Задача 8.2. Докажите, что уравнения движения для я~ и А, полученные из (8.2!), совпадают с уравнениями поля (8.1) и (8.2). Следовательно, постулированный лагранжиан (8.9) содержит три правильных классических уравнения движения для гп ~р и А. Классический гамильтониан системы Ж теперь легко получить из классического лагранжиана Е и сопряженных импульсов обычным способом: Я=~ р, ° г,+ ~(ГА А+ ур)д)' — Ь. (8,22) Для последующего перехода к квантовой механике в описании движения частиц необходимо вместо г; использовать рл С помощью (8.11) плотность тока (8.8) можно записать следующим образом: 3 = — — ~~ (р;+ еА(г~)) 6(г — г!), (8.23) ! тогда формулы (8.11), (8.14), (8.19) вместе с (8.20) позволяют записать гамильтониан в виде ,АВ = — ~ рГ(р! + еА(ГГ)) + ВВ ~ А-'Г('г'— ! — — (рГ+еА (г;))' — —, ВВ ~((%р)'+ А' — с'(7 Х А)') ~Л/+ + ~слрНВ+ — '~~ (р;+еА(ГГ)) А(ГГ)= ! — (р, + ВА (г;))'+ ! + — е, ~ (А' — (Чр)'+ с'(7 Х А)') Г(Г+ ~ ар ГЬ'.
(8.24) ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 949 ее=в ~~ (р,+еА(г;))'+ 9 ~(В,Ег+РЗН')о("— ! — — в, ~ Е' е()г — е ) ~р(гг) +е,еф(0). г (8.25) В этой форме записи гамильтониана первый член представляет кинетические энергии электронов и энергию их взаимодействия с полем излучения А, второй член является энергией поля излучения, а три последних члена описывают статические потенциальные энергии электронов и ядер.
Мультипольное разложение гамильтониана Теперь классический гамильтониан (8.25) можно было бы преобразовать к квантовомеханическому аиду обычным способом, а члены, описывающие взаимодействие между полем излучения и атомными электронами, использовать для определения свойств различных процессов излучения. Однако, прежде чем перейти к расчетам процессов излучения, гамильтоииан (8.25) удобно преобразовать к другому эквивалентному виду. Для наших целей этот гамильтониан можно улучшить двумя способами.
В гамильтониане (8.25) взаимодействие между полем излучения и электронами полностью описывается векторным потенциалом А, а не имеющими более понятный физический смысл электрическими и магнитными полями излучения Ет и Н. Далее, векторный потенциал в (8.25) должен вычисляться в точках нахождения г, всех электронов, тогда как в связи с уравнением (3.16) было указано, что электромагнитные поля на расстоянии порядка размера атома меняются мало.
С помощью калибровочного преобразования, которое сейчас будет рассмотрено, часть гамильтопиана; описывающую взаимодействие, можно выразить через величины Ет и Н, а Гамильтониан связанной системы <атом+ излучение» может быть записан в различных .эквивалентных формах. Используя формулы (8.3) — (8.5) и (8.7), перепишем его в следующем виде: 250 ГЛАВА 8 также через их градиенты в точке нахождения ядер, выбранной за начало отсчета.
Отвлечемся пока от гамильтониана и рассмотрим потенциальную энергию У атома, изображенного на фиг. 3.1 во внешнем поле Ет(г). Согласно законам электростатики, величину У можно вычислить как рабату, требуемую для перемещения каждого из 3 отрицательных зарядов — е, первоначально расположенных в точке нахождения заряда ядра Зе, в соответствующее положение г;. Кулоновские взаимодействия между зарядами при вычислении, конечно, не учитываются, поскольку определяется вклад в потенциальную энергию только внешнего поля Ет(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
