1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Определим физическую природу таких возбуждений и сравним их с видами возбуждений, рассмотренных в классической электромагнитной теории. Сначала изучим одномодовое состояние, где возбуждено точно п фотенов. Для такого состояния !п) неопределенность числа фотонов равна нулю Ьп= О. (7.34) Используя (7.!4) и (7.!5), получим для операторов фазы (и ! соз ф ! п) = (и ! з!п ф ! п) = О (7.35) и ! 2 (п !соззф ~п) =(и! з!пзф !и) = 4 для п~О, (7.36) для п=О. Таким образом, если исключить из рассмотрения состояние с п = О, неопределенности фазы принимают вид Л соз !р = Л з!п <р = 2 ь. (7.37) '! Строгое рассмотрение свойств различных состояний, которые могут быть определены в связи с фазовыми операторами, см.
в работе !!!. в!п ф одновременно обращаются в нуль 7). Отсутствие точных собственных состояний, общих для операторов сов ф и з1пф, является следствием того, что коммутатор (7.18) не равен нулю. Задача 7.3. Рассмотрите интеграл перекрытия (О~ср) двух различных фазовых состояний !О) и ~<р), определенных по формуле (7.28). Дока>ките, что величина (О!ср) стремится к нулю при з-васо, если 0 Ф р. 217' СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Ожидаемые значения Е и Е' для состояния (п) определяются формулами (п!Е!п) =0 (7.39) (п ) Ез ! п) = — (и + — ), (7.40) которые согласуются с выражением (6.1! 1).
Следовательно, среднеквадратичное отклонение электрического поля есть (7.4!) Графическое представление одномодового возбуждения для состояния !п) приведено на фиг. 7.1, где показана зависимость электрического поля в некоторой фиксированной точке полости от времени. Поле осциллирует как синусоидальная волна с известной частотой е>.
Приведенный выше анализ показывает, что амплитуда электромагнитной волны может быть описана величиной (7.42) Отметим, что выражения (7.34), (7.35) и (7.37) согласуются с соотношениями неопределенности (7.26) и (7.27). Полученные выше результаты показывают, что с физической точки зрения электромагнитная волна, соответствующая состоянию !п), имеет определенную амплитуду, однако ее фазовый угол ~Г, определяемый выражениями (7.35) и (7.36), с равной вероятностью принимает любое случайное значение, лежащее между 0 и 2п. Эти свойства можно проиллюстрировать графически, изображая распределение электрического поля, связанного с возбужденным состоянием 1п).
Оператор электрического поля для Одной моды, согласно (6.106), дается выражением Е=!( — ) (дехр( — ив!+й г)— — й> ехр (!в! — й г)). (7.36) ГЛАВА 7 2!8 Можно показать, что ее дисперсия мала при и )) 1. Положение волны вдоль горизонтальной оси полностью неопределенно вследствие полной неопределенности фазового угла. На фиг. 7.1 это обстоятельство учтено путем изображения нескольких волн с одинаковыми амплитудой и частотой, узлы которых сдвинуты относительно чм Фиг. 7.!. Графическое описание изменения электрического поля со временем в фиксированной точке для моды полости, возбужденной в состояние ! и ). Более точно сикусоидальныв волны должны образовывать нонтинуум в виде ГОРИЗОНтаЛЬНОЛ ПОЛОСЫ.
АиипнтУДа Ль ОПРЕДЕЛЕНа В тЕКСтЕ. друг друга вдоль горизонтальной оси. В действительности возможные горизонтальные положения волны образуют континуум, а поле в любой момент времени может принимать непрерывный спектр значений от — Е, до Е,. Любое графическое представление квантовомеханического состояния следует рассматривать с осторожностью. Тем не менее можно видеть, что фиг. 7.1 дает правильное описание состояния !и) по крайней мере в отношении передачи различных неопределенностей, приведенных в (7.34), (7.37) и (7.41).
Кроме того, это описание дает нулевые значения ожидаемых величин (7.35) и (7.39) . Физические свойства одномодовых состояний с определенной фазой Теперь рассмотрим одномодовое состояние, представляющее волну с точно определенной фазой гр. Для такого состояния !Чт), описанного выше, неопределенности зна- СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 2!9 чений Операторов фазы обращаются в нуль в пределе 3 «ОО Лсоз р=ЛЗ1пф = О. (7.43) Однако число фотонов в моде полости теперь неопределенно. Согласно выражению (?.28), определяющему состояния !ф) через состояния )и), получим (ф!й!ф) =!Ип (з+ 1) ~ п = 1нп — з (7.44) в-в .. 2 в=О (ф!йх! р)= !!гп (з+!) " пз= 1!ш .
(7.45) в -в в+ и Следовательно, ожидаемые числа фотонов, а также их неопределенность пи обращаются в бесконечность. Тем не менее отношение этой неопределенности к среднему числу фотонов конечно: <ф !'д ! М 3-9 (7.46) Найдено также, что левые части соотношений неопределенности (7.26) и (7.27) для состояния .!ф) обращаются в бесконечность, если предельный переход з-в. ОО осуществляется после вычисления произведения неопределенностей.
Ожидаемое значение электрического поля, полученное с помощью выражения (7.38), равно (ф! е/ф) = = — 2( — ) ейп(1с г — в(+ф)!Пп(з+!) ~ (и+1) '. вс а (7.47) При больших значениях з сумма расходится как ач и приводит к расходящемуся ожидаемому значению электрического поля. Неопределенность электрического поля также оказывается бесконечной. Однако колебания электрического поля имеют определенную фазу, как это ожидалось для состояния ~ф). ГЛАЫА 7 220 На фиг. 7.2 приведено графическое представление одномодового состояния )ср).
По оси ординат снова отложено электрическое поле в некоторой фиксированной точке внутри полости. Волна представляет собой супер- позицию бесконечного числа волн с различными амплитудами, соответствующими различным значениям и. Фиг. 7.2. Графическое описание изменения электрического поля со временем в фиксированной точке для моды полости, возбужденной в состояние ) гр ). В резулнтате сложения есех показанных состаеляющих получается злектрическое поле, ожидаемое значегие которого рез о меняется от .~. до — за каждыа полупериод.
Каждая вспомогательная волна имеет одну и ту же частоту аз и фазу тр, поэтому узлы суммарной волны располагаются в строго определенных точках оси абсцисс. В соответствии с (7.44) и (7.4б) число фотонов в моде полости полностью не определено, поэтому изображение волны полностью размазано в вертикальном направлении. Фазовое состояние ) гр) обладает несколько стран- ными свойствами. Из выражения (7.44) видно, что сред- СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 221 няя энергия возбуждения этого состояния должна быть бесконечной, поэтому в реальном эксперименте возбуждение моды полости в состояние !Ер) было бы невозможно. Основание для рассмотрения состояния ~Ч~) заключается в том, что оно реализует один из предельных случаев для значений связанных неопределенностей числа фотонов и фазы. Фиг. 7.1 и 7.2 иллюстрируют противоположные предельные случаи в областях значений би и Л соз ~р или эквивалентно б э!и гр.
Выбор состояния с точным значением одного из параметров приводит к полной неопределенности значения другого параметра. Ситуация аналогична той, которая связана с известным соотношением неопределенностей для координаты и импульса в квантовой механике частиц, где собственные состояния операторов координат и импульсов обладают соответственно полными неопределенностями импульса и координат частиц. Когерентные фотонные состояния Ни одно из одномодовых состояний !П) или ~Ч~), показанных на фиг. 7.1 и 7.2, не имеет сходства с изображенной на фиг. 5.10 временнбй зависимостью классической электромагнитной волны со стабильной амплитудой и фиксированной фазой.
Интересно исследовать такие состояния квантованного поля излучения, свойства которых в пределе больших амплитуд аналогичны свойствам классической электромагнитной волны. Эти состояния, обозначаемые в дальнейшем через ~а), по причинам, которые будут понятными нз рассмотрения квантовой теории когерентности в гл. 9, называются когерентными состояниями поля излучения !41 Когерентные состояния-!а) важны не только потому, что из всех квантовомеханических состояний они наиболее близки к классической электромагнитной волне, но также и потому, что лазер (описанный в гл.
10), работающий при значительном превышении порога, генерирует излучение, находящееся в когерентном возбужденном состоянии. Когерентное состояние !и) является промежуточным между состояниями !и) и ~~р) в том смысле, что ни амплитуда, ни фаза этого состояния точно не определены, 222 ГЛАВА Г однако обе эти величины имеют распределение с наименьшим среднеквадратичным отклонением. В механике частиц квантовым состоянием, наиболее соответствующим классической частице, является волновой пакет, имеющий аналогичное распределение для своих координат и импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
