1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 28
Текст из файла (страница 28)
д1 ' (6.4) Если потенциалы известны, то уравнения (6.1) и (6.4) позволяют найти поля Н и Е. 184 глхвх е Потенциалы можно в принципе определить из уравнений, получаемых в результате подстановки выражений (6.1) и (6.4) в оставшиеся уравнения Максвелла (1.2) н (1.3): Ч(Ч'А) Ч'А+ — — Чгр+ — д =ноЛ (65) 1 д 1 д'А — езЧ <р — аоЧ ° — — о. 2 дА ' д~ (6.6) 'Р= РО+ д, (6.8) где Š— произвольная функция координаты г и времени й Из уравнения (6.4) видно, что при калибровочном пребразовании поле Е не меняется.
Соответствующая инвариантность поля Н, получаемого из (6.1), следует из тождества (6,2), которое также справедливо для функции Е. Здесь были использованы формула (1.14) и тождество (1.15). Это полевые уравнения, которые определят поля, созданные данным распределением заряда о и тока 1. Поскольку в левых частях уравнений (6.5) и (6.6) имеются члены, содержащие как А, так и ~р, эта форма уравнений довольно сложна. Уравнения можно упростить, накладывая на потенциалы А и ~р некоторое дополнительное условие. Важно понимать, что выражения (6.1) и (6.3) для'потенциалов А и ~р не полностью определяют вид этих потенциалов. Потенциалы можно в некоторых пределах менять без изменения наблюдаемых полей Е и Н.
Преобразование потенциалов А и ~р, обладающее таким свойством, называется калибровочным преобразованием, Допустим, что Аэ и Ч, представляют собой решения уравнений поля для данных о и 1. Тогда электрическое и магнитное поля Е и Н определяются уравнениями (6.4) и (6.1). Рассмотрим калибровочное преобразование к новой паре потенциалов А и Ч, определяемых формулами А = А — ЧЕ (6.7) КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 185 Калибровка для электромагнитного поля определяется некоторым условием, налагаемым на А и ф, которое может быть реализовано посредством калибровочного преобразования произвольной пары решений полевых уравнений для данных о и 3.
Необходимо подчеркнуть, что практически измеряемые поля В и Н никоим образом не зависят от выбора калибровки для А и ф. Тем не менее свободу выбора, обусловленную калибровочной инвариантностью, часто можно использовать для значительного упрощения вычислений В и Н. Кулоновская калибровка Говорят, что электромагнитное поле имеет кулонов- скую калибровку, если векторный потенциал удовлетворяет условию Ч ° А =О. (6.9) Позднее будет видно, что кулоновская калибровка удобна для квантования электромагнитного поля. В случае поля, первоначально определяемого некоторой парой потенциалов АВ и ф, всегда можно совершить преобразование к кулоновской калибровке с помощью преобразования типа (6.7) и (6.8), где функция Е должна быть решением уравнения Ч'Е=Ч А,.
(6.10) Необходимо отметить, что даже при наложении условия кулоновской калибровки (уравнение (6.9)) потенциалы все еще не определены полностью. Дальнейшие преобразования потенциалов, удовлетворяющих кулоновской калибровке, возможны, если для Е выполняется уравнение ЧУЕ = О. (6.11) Кулоновская калибровка выбирается отчасти потому, что в результате уравнения поля (6.5) и (6.6) упрощаются и принимают вид — Ч А + с. дн +, дт Чф = рз) (6.12) 1 дА ! д ГЛАВА 6 112 р о В,' Теперь скалярный потенциал ~р удовлетворяет уравнению Пуассона из электростатики, формальное решение которого есть (1) (6.14) Здесь координатная зависимость о и у явно указана.
В общем случае эти величины зависят также от времени, однако в уравнение Пуассона ! явно не входит. Плотность зарядов, которую следует использовать в интеграле (6.14), соответствует тому же моменту времени, в который требуется определить гр. Скалярный потенциал в кулоновской калибровке ведет себя так, как будто он мгновенно «узнает» распределение плотности заряда во всем пространстве. Уравнение поля (6.12), определяющее А, все еще является сложным благодаря наличию члена, содержащего <р, однако этот член можно исключить следующим образом. Согласно теореме Гельмгольца (см., например, (2)), любое векторное поле может быть представлено в виде суммы двух компонент, одна из которых имеет равную нулю дивергенцию, а другая — равный нулю ротор.
В случае плотности тока 3 эту сумму можно записать как (6.15) 2 =зг+ 1с где (6.!6) (6.17) Здесь 5т называется поперечной, или соленоидальной, компонентой, а Яь — продольной, или безвихревой, компонентой. После разделения Я на две части уравнение непрерывности (!.6) можно переписать в виде КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ !вг Благодаря свойству (6.17) векторная полевая компонента Яь может быть выражена через некоторый скалярный потенциал, скажем Чо: 3,=Чф, (6.19) сравнение которого с (6.13) показывает, что функции ф и ф должны быть связаны соотношением дф $ — "— „ (6.2! ) Тогда из (6.19) получим зс=аоР— дф дг ' (6.22) Теперь, используя (6.15) и (6.22), уравнение поля (6.12) можно упростить и привести к виду (6.23) где скалярный потенциал уже исключен.
В учебниках по теории поля (1) показывается, что решение уравнения (6.23) имеет вид А (г!) = — ~ г г(зг' Но ог(г~) .(6.24) где (г — г'! (6.25) Таким образом, выражение для векторного потенциала в точке г в момент времени Г явно учитывает влияние конечной скорости света на запаздывание действия тока в удаленной точке г', приходящего в точку г. Наблюдателю в точке г может быть известно только то распределение тока в точке г', которое существовало в более раннее время Г', определяемое формулой (6.25). Формальные решения задачи вычисления поля, созданного плотностями заряда а и тока 3, описываются Подстановка выражения (6.19) в (6.!8) приводит к уравнению О222(о да дС ' (6.20) 1вв ГЛАВА В уравнениями (6.14) и (6.24) для ~р и А.
Данная форма этих уравнений является следствием предполагаемого условия калибровки (6.9), однако теория калибровочной инвариантности, кратко изложенная выше, показывает, что получаемые поля Е и Н не должны зависеть от условия калибровки. Не следует искать большого физического смысла в самих потенциалах ~р и А. Например, из простого анализа выражения (6.14) следует, что изменение знака плотности заряда в точке г' ведет к немедленному изменению скалярного потенциала ~р в точке г. Это противоречит требованию теории относительности, заключающемуся в том, что любая информация, содержащаяся в электромагнитном поле, может передаваться только с конечной скоростью с. Тем не менее можно показать (см., например, (3]), что измеряемые в точке г поля Е и Н в момент времени 1 зависят от плотностей заряда и тока, существовавших в точке г' в' более раннее время 1', определяемое формулой (6.25), и поэтому релятивистские принципы не нарушаются.
Выражение (6.14) для скалярного потенциала может противоречить постулату о конечной величине скорости света, поскольку р не является наблюдаемой величиной. Непосредственный физический смысл можно приписать только полям Е и Н. Электрический вектор Е также можно представить в виде поперечной и продольной частей: Е=ЕГ+Ес (6.26) где Ег = 17)( ЕА= О.
(6.27) Из (6.4) видно, что обе части вектора Е могут быть явно записаны следующим образом: Ег= дг дА (6,28) Ес = т%. (6.29) Тогда из тождества (6.2) и условия кулоновской калибровки (6.9) следует, что эти компоненты удовлетворяют уравнению (6.27), Согласно уравнению Максвелла (1.4), кВАнтОВАние пОля излучания 189 магнитный вектор Н является поперечным и не имеет продольной компоненты. Большое преимущество кулоновской калибровки для проблемы поля излучения и его взаимодействия с зарядами и токами заключается в разделении уравнений поля и уравнений Максвелла на две различные части.
Продольная часть связана со скалярным потенциалом у, как в уравнении (6.29), а соответствующее уравнение поля есть (6.13). Из уравнения Максвелла (1.3) 'р В= —, о ео (6.30) н плотность продольного тока, получаемая из (6.22) и ,(6.29), определяется выражением дп ас= д! (6.31) Последние два.уравнения описывают поля, созданные зарядами, согласно законам электростатики. С другой стороны, поперечная часть поля связана с векторным потенциалом А уравнением (6.28). Соответствующее уравнение поля (6.23) имеет форму волнового уравнения, а уравнения Максвелла (1.!) — (1.4) для поперечного поля принимают вид РХВТ= Пэ дГ дн (6.32) дпг тХН=В, д, +Зт, Ч ° Вт=о (6.33) (6.34) Ч Н=О.
(6.35) Уравнения (6.32) — (6.35) описывают электромагнитные волны. В соответствии с уравнениями (6.23) и (6.33) алектромагнитные волны определяются только поперечной частью плотности тока Зт. Необходимо подчеркнуть, что разделение уравнений на статическую часть, связанную с плотностью заряда, и динамическую часть, связанную с электромагнитными волнами, является формальным следствием условия ку.
190 ГЛАВА а лоновской калибровки. Это разделение служит примером тех преимуществ вычислений, которые могутбытьдостигнуты при выборе соответствующих условий калибровки. Свободное классическое поле В оставшейся части главы мы рассмотрим электромагнитное поле в области пространства, где зГ=О (6.36) и, следовательно, согласно (6.23), — 17зА+ —,, — =О. 1 д»А с. дп (6.37) Поле в такой области пространства называется свободным. В теории взаимодействия излучения с атомами требуется решение более сложной задачи, в которой 3Г описывает поперечный ток, созданный атомными электронами. Взаимодействие излучения с атомами анализируется в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
