1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для исследования нижней части лестницы уровней умножим уравнения на собственные значения энергии (6.65) слева на а. Тогда пре образования, подобные тем, на основе которых совершен переход от (6.66) к (6.68), приводят к уравнению КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 197 Поскольку, согласно гипотезе, нет собственных состояний с энергией, меньшей энергии основного состояния, то единственное решение уравнения (6.76), согласующееся с такой физической интерпретацией, определяется выра- жением й~ 0) =О. Условие основного состояния (6.77) можно использовать для определения Е,, поскольку уравнение на собственные значения (6.65) для основного состояния принимает вид Я ~ 0) = — йе! 0) = ЕВ ~ 0) (6.78) (6.77) Поэтому 1 Ео= М 2 (6.70) и из (6.70) следует обычный результат для гармониче- ского осциллятора Е„=(п+ 9) йв, а=О, 1, 2, ....
(6.80) На фиг. 6.1 показана схема энергетических уровней и указаны роли операторов й и йт соответственно в уничтожении или рождении кванта йо в энергии возбуждения осциллятора и, следовательно, в совершении перехода на одну ступеньку лестницы вверх или вниз. Состояния ~л) являются собственными состояниями одновременно операторов М и й: й ~ л) = атд ! и) = и ! п).
(6.81) Собственное значение оператора й указывает число квантов Ььз, возбужденных выше основного состояния осциллятора. должна быть ограничена снизу, так как кинетическая и потенциальная энергии осциллятора являются положительными величинами и собственные значения не могут быть отрицательными. Пусть (0) есть основное состояние с энергией ЕВ. Для основного состояния уравнение (6.72) дает Яй~ 0) =(Е, — йы) 6~ 0). (6.76) 198 ГЛАВА 6 В проведенном анализе нормировка собственных функций !п) не рассматривалась.
Если эти функции нормировать, то в уравнениях, связывающих разные собственные состояния, появляются дополнительные множители. Записывая условия нормировки как (и — 1 ! п — 1) = (п ~ и) = (и + 1 ~ и + 1) = — 1, (6.82) рассмотрим влияние этих условий на уравнение (6.73). Чтобы функции !и) и !и — 1) были нормированными, в уравнение (6.73) необходимо ввести численный множитель Ж: $'„! п — ! ) = б ! и). (6.83) Умножая обе части уравнения (6.83) слева на их эрмитово-сопряженные выражения (п — 1 !У'„%'„!п — 1) = (п ! й~'й |п) (6.84) и учитывая формулы (6.81) и (6.82), получаем ! $'„!з = п. (6.85) Как обычно, примем фазу нормировочной константы равной нулю, тогда уравнение (6.83) принимает вид а ! и) = п'~* ! п — 1).
(6.86) Такой же анализ уравнения (6.69) приводит к результату йэ! п) = (и+ 1)'*! п+ 1). (6.87) В последующем мы будем отдавать предпочтение уравнениям (6.86) и (6.87), а не (6.69) и (6.73), поскольку желательно работать с нормированными собственными функциями. Отметим, что условие основного состояния (6.77) входит в общий результат (6.86) как частный случай.
Собственные состояния гармонического осциллятора с разными энергиями, конечно, ортогональны, поэтому из (6.86) и (6.87) следует, что единственные отличные от нуля матричные элементы операторов й и ат имеют вид (и — 1 ! д ! и) = и'А, (6.88) (п+ 1!й+!и) =(и+!) '. (6.89) 19Э КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Матричные элементы каждого эрмитова оператора д удовлетворяют условию (5] (4'] О ]/) = (1 ] О ] 4)'. (6.90) Очевидно, что й и йт не являются эрмитовыми операторами, а потому, согласно общим принципам квантовой механики (4], они не могут описывать наблюдаемые величины. Однако их свойство уничтожения или рождения кванта энергии при действии на собственное состояние энергии осциллятора легко понять с физической точки зрения.
Простые свойства матричных элементов [формулы (6.88) и (6.89Ц операторов уничтожения и рождения делают их более удобными для использования по сравнению с операторами координаты и импульса, с которыми они связаны соотношениями (6.58) и (6.59). Задача б.1. Докажите, что и-е возбужденное состояние осциллятора можно выразить через основное состояние согласно формуле ] п) = (л!) м (й+)" ] О). (6.91) Задача 6.2. Выражая й и р через й и й", докажите, что (п]4]'] й) = — (и+ — ) (6.92) (л ],дз] л) = т4вт (и + — ) .
Задача 6.3. Докажите, что (а -]- 3) (а -]- 2) (п ] (й4)а йзй4 ] л) = (и — 1) (л — 2) (и ] йз (йг)4 й ] п). (6.94) Задана б.4. Проверьте правильность соЬтношений [й, (й')з] =2й4, [й', й4] =2й (6.95) и в общем случае, когда и — целое положительное число, ]й, (йт)") =и(йг)" и [й" йе] =пй" '. (6.96) Отсюда докажите равенство [й, ехр фй~)] = рехр(рй~). (6.97) ГЛАВА 6 200 Квантование поля Электромагнитное поле квантуется путем связывания квантовомеханического осциллятора с каждой модой к поля излучения.
Мода, к которой относится квантовомеханический оператор, обозначается индексом; следовательно, й„" и й„ вЂ операто рождения и уничтожения кванта энергии Ьык моды электромагнитного поля полости с волновым вектором й. Эти кванты представляют собой фотоны с волновым вектором к; число фотонов к, возбужденных в полости, определяется собственным зяачением иь соответствующего оператора числа частиц йь — — а"„й„ и может иметь значения О, 1, 2, .... Уровень возбуждения моды к определяется собственным состоянием ~пк) оператора йю При действии на состояние '1ик) опеРатоРы РождениЯ и УничтожениЯ длЯ моды подчиняются найденным выше правилам (6.86) и (6.87): д ~и„) =и'„~* ~и„— 1) (6.98) а»А)п„)=(п +!)")п„+1).
(6.99) Состояния полного поля излучения в полости можно определить, задавая числа фотонов пм, пм, пм, ..., возбужденных в полный набор мод полости Еь й,, кз,.... При подсчете нормальных мод необходимо помнить, что для каждого волнового вектора к существуют два независимых направления вектора поляризации моды ею Однако удобно не вводить явное обозначение поляризации моды, поскольку оно значительно усложнило бы обозначения. Поэтому мы примем, что один символ к обозначает как волновой вектор, так и поляризацию моды. В соответствии с этим условием фраза «дайная нормальная мода Е» означает, что волновой вектор и поляризация этой моды определены. Состояние полного поля можно записать как 1 им, пм, им, ...), тогда при условии определенного упорядочения мод полости, как, например, на фиг.
1.5, состояние полного поля определяется набором чисел. Поскольку различные моды полости независимы, то состояние пол- КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 20! ного поля можно записать в виде произведения отдельных мод: ~ п п и ...) = / п„) ~ п„) ! и„,) ° ° (6 100) Будем всегда предполагать, что состояния отдельных мод полости нормированы. Отсюда следует, что полное состояние поля (6.100) также будет нормировано. Оператор, относящийся к данной моде к, действует только на фотоны данной моды. Например, а+ ~П„, ПА, И„, ..., П„, ...) = =(пм + 1У2!п„, пь, пь, ° ° °, пи + 1, ° ° .), (6.101! что является просто результатом применения правила (6.99) к произведению состояний (6.!00).
Обозначение (6.100) имеет довольно сложный вид, поэтому иногда состояние полного поля будет кратко обозначаться следующим образом: / (пь) ) = ~ и„) ! и„) / п„).... (6.102) Здесь символ ((пх!) обозначает полный набор чисел, определяющих уровни возбуждения всех гармонических осцилляторов, связанных с модами полости. Разумеется, число этих осцилляторов бесконечно. Состояния ((пх!) образуют полный набор состояний электромагнитного поля в полости, если каждый член пь, из набора (ик! может принимать как нулевое значение, так и все целые положительные значения.
О базисных состояниях поля сказано достаточно. Теперь, используя формулы (6.51) и (6.52), классические векторные потенциалы АА и АА для моды к, выраженные через РВ и !',!ю можно превратить в квантовомеханические операторы, выраженные через рь и дю с помощью непосредственных подстановок; А„=(4В(та!) А(мя,+!Р„)еь-ь А' = (4В (ТАЗ'„) А(оз„߄— !Р„) Е„ у 2С2 гллвы в На последних этапах вывода этих выражений были использованы соотношения (6.56) и (6.57). Таким образом, переход от классической к квантовой механике заключается в замене классических коэффициентов Фурье А„ н Аы оператором уничтожения аы и оператором рождения й~т, умноженными на численный коэффициент и единичный вектор. Квантовомеханическое выражение для полного векторного потенциала получается путем подстановки выражений (6.103) и (6.104) в (6.46); А=~~ (2 ~К ) еы(Дыехр~ — гаы1+Й г)+ + аты ехр (1аы1 — й г)).
(6.105) Отметим, что теперь векторный потенциал является оператором, поэтому обращаться с ним необходимо в соответствии со свойствами операторов оы и йы„. Соответствующие результаты для операторов электрического и магнитного полей Еы и Йы моды й получаются с помощью сходных подстановок в формулы (6.48) и (6.49): Еы =1( ~ к) аы (йы ехр( — юаы1+ Й ° Г)— — атыехр((аы1 — й г)), (6.106) Йы=1( ' ) *к Хе (йыехр( — 1аы1+й ° г)— 2НО1'аЫ вЂ” й"„ехр(саы1 — й г)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
