1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В дальнейшем будет видно, что квантование обусловливает специфические квантовомеханические свойства электромагнитного поля. Например, нельзя рассматривать волну, амплитуда и фаза которой одновременно точно определены. Как обычно, в квантовой механике точность измерения ограничена соотношениями неопределенности. Операторы фазы фотонов В начале главы мы ограничимся рассмотрением отдельной моды электромагнитного поля (т, имеющей определенную поляризацию. Принимая это во внимание, ин- ГЛАВА 7 З>О декс й можно опустить у всех переменных, описывающих данную моду, а полевые величины А, Е и Н записывать как скаляры.
В классической теории световых волн комплексную амплитуду волны удобно записывать в виде произведения вещественной амплитуды на фазовый множитель, как в формуле (5.17). Если эту процедуру выполнить для классического векторного потенциала (6.46), то можно положить (7.1) Аы = Ао ехр(ор), поэтому вклад одной моды равен А = Ао(ехр( — ро>1+ й ° г+ ир) + + ехр()а1 — й г — йр)). (7.2) В квантовой механике также удобно провести разделение на амплитудный и фазовый множители аналогично выражению (7.1). Для этого в кваитовомеханическое описание поля необходимо ввести понятие фазы.
Квантовомеханический оператор векторного потенциала одной моды, получаемый из (6.105), имеет вид А=(з у ) (дехр( — рвр+й г)+ + оо ехр ()и1 — й г)). (7.3) Таким образом, аналогом выражения (7.1) является разделение оператора Й на произведение операторов амплитуды и фазы.
Точного способа, которым должно производиться такое разделение в квантовой механике, в действительности нет, и потому в определении квантовомеханического оператора фазы имеется соответствующая степень произвола. Основные сообра>кения заключаются в том, что в соответствующем пределе квантовомеханическая фаза должна иметь то же значение, что и классическая фаза, и должна быть связана с эрмитовымн операторами, чтобы являться (хотя бы в принципе) наблюдаемой величиной. Рассмотрим оператор фазы ф, определяемый соотношением (1) й=(й+ 1)~'ехр(йр), (7.4) СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 21! где й — оператор числа частиц, приведенный в (6.64).
Эрмитово сопряженное соотношение имеет вид йт =ехр( — !ф) (й+ 1) * ° (7.5) Определенный таким образом оператор ф будет принят в качестве квантовомеханической фазы электромагнитного поля, аналогичной классической фазе. Как будет показано позже, в соответствующем пределе свойства квантовомеханической фазы приближаются к свойствам классической фазы.
Основные свойства оператора фазы можно определить из известных свойств операторов рождения и уничтожения, а также оператора числа частиц. Согласно (7.4) и (7.5), ехр (!ф) = (й + 1) И а (7.6) ехр( — !ф) = й+(й+ 1) (7.7) Поскольку нз (6.62) и (6.64) следует ййт= й+ 1, (7.8) то из (7.6) и (7.7) получим ехр(!ф) ехр( — !ф) = 1. (7.9) Отметим, однако, что произведение с обратным поряд- ком эксйоненциальных операторов не равно единице. С помощью формул (6.81), (6.86) и (6.87) можно легко вычислить результаты действия операторов ехр (!ф) и ехр ( — !ф) на состояние ~ и) ехр(!ф)!п)=(й+ 1) Аи'~ъ/и —.1)= (7.10) 1и — 1) для ЛАЛО, 0 для и=О, ехр( — Еф) ( п) = йт(и+ 1) А! п) =! п+ 1). (7.11) Отсюда не равные нулю матричные элементы этих двух экспоненциальных операторов даются выражениями (и — 1 ! ехр (!ф) ! и) = 1 (7.12) (7,13) (и+! !ехр( — (ф)!п) = 1.
ГЛАВА Г 2!г Все остальные матричные элементы обращаются в нуль. Эти результаты сходны с матричными элементами (6.88) и (6.39) операторов уничтожения и рождения, но только выражения (7.12) и (7.!3) не включают нормировочные множители матричных элементов (6.88) и (6.89). Приведенные выше уравнения описывают формальные свойства операторов фазы, возникающих при разложении операторов а и йт на операторы амплитуды и фазы. Из (7.12) и (7.13) видно, что операторы ехр(!4) и ехр( — !ф) не удовлетворяют соотношению (6.90), а потому не являются эрмитовыми операторами и не описывают наблюдаемые свойства электромагнитного поля.
Однако их можно скомбинировать для получения другой пары операторов: сов ф= — (ехр(!ф)+ ехр( — (ф)) (7.14) ! и з1п ф = —, (ехр (Еф) — ехр( — (ф)), (7.15) 1 не равные нулю матричные элементы которых имеюташд (л — 1 [ соз ф [п) = (и ! соз ф [ и — 1) = — (7. 16) ! (и — 1 ! з!п ф [и) = — (л ! з(п ф [ и — 1) = —,. (7.17) ! Эти матричные элементы удовлетворяют соотношению (6.90), поэтому операторы сов ф и з!п ф являются эрмитовыми и будут приняты в качестве квантовомеханических операторов, описывающих наблюдаемые свойства фазы электромагнитного поля. Задача 7.1. Докажите коммутационное соотношение [созф, з!пф[= —.[аГ(й+!) 'й — 1).
(7.18) Отсюда покажите, что все матричные элементы этого коммутатора равны нулю, за иоключением диагонального матричного элемента для основного состояния (О ![сов ф, з!п ф)10) = — —.. (7.19) СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 213 [й, йЧ=а~ Отсюда покажите, что [й, ехр(1ф)] = — ехр(йр), [п, ехр( — 1ф)] = ехр( — 1ф) (7.2 1) (7.22) (7.23) и [й, созф]= — 1з!пф, (7.24) [й, з!пф] =1созф. (7.25) Приведенные выше коммутационные соотношения показывают, что операторы числа частиц и фазы не коммутируют. Следовательно, в принципе невозможно найти состояния поля излучения, являющиеся одновременно собственными состояниями этих двух операторов, а поэтому нельзя одновременно точно определить амплитуду электромагнитной волны, связанную с й, и фазу, связанную с созф или з)пф.
Результаты измерений амплитуды и фазы подчиняются соотношениям неопределенности, найденным обычным путем из (7.24) и (7.26) [2, 3]: ЛЛЛсозф) — ](юп<р)], (7.26) ЛпЛ з !п <р ) — ] (соз ~р) ]. 1 (7.27) Здесь Л обозначает среднеквадратичное отклонение следующей за Л величины, полученное в серии измерений для состояния поля, в котором операторы сов ф и зйпф имеют соответствующие ожидаемые значения (соз~р) и (з(п Ч~).
Некоторые примеры использования этих соотношений неопределенности для числа фотонов и фазы описываются ниже в этой главе. Мы показали, таким образом, что разделение операторов рождения и уничтожения на операторы амплитуды и фазы [формулы (7.4) и (7.5)] по аналогии с классическим результатом (7.1) приводит к фазовым операторам, не коммутирующим с оператором амплитуды.
Получающиеся в результате соотношения неопределенности характерны для квантованного поля излучения. Задача 7.2. Докажите коммутационные соотношения [й, й]= — й (7.20) ГЛАВА т Состояния с точно определенной фазой фотонов Состояния гармонического осцнллятора )и), являющиеся одновременно собственными состояниями энергии н оператора числа частиц >1, уже обсуждались. Теперь мы исследуем природу состояний !Ч~), которые являются собственными состояниями операторов фазы.
Для описания фазовых свойств поля излучения мы ввели два оператора: соз ф и з!п ф. В обычном представлении электромагнитной волны фаза является одной величиной, поэтому ее квантовомеханическое описание с помощью двух различных операторов некажется необходимым. Можно было бы выбрать один из операторов фазы, а другой оператор исключить из дальнейших вычислений. С другой стороны, эти два оператора образуют симметричную пару, и сохранение обоих операторов не связано с большими дополнительными трудностями. Удивительное свойство операторов фазы заключается в том, что они не коммутируют между собой, согласно соотношению (7.18).
Отсюда следует невозможность построения состояний, которые были бы одновременно собственными состояниями обоих операторов соз р и з(пф. Однако благодаря тому, что, как показано в (7.19), только один из бесконечного числа матричных элементов их коммутатора отличен от нуля, оказывается возмо>кным построение состояний, являющихся одновременно собственными состояниями как сов ф, так н з(пф в некотором предельном смысле. Рассмотрим состояние ~ф), определяемое рядом !ч>)=!пп(э+1) и ~ ехр(1вр)!п). (7.28) л=з Это состояние представляет собой линейную комбинацию всех собственных состояний оператора числа частиц (п), каждое из которых взято с весом, равным фазовому множителю ехр(1пч>).
Нормировка и ортогональность состояний ~п) обеспечивают нормировку состояния (Ч ! р)=1. (7.29) Отметим, что в сумме (7.28) каждое собственное состояние энергии (п) имеет одну и ту же амплитуду (з+!) ч*, сОстОяния квАнтОВАнного поэя излучения 21$ монотонно уменьшающуюся до нуля при бесконечном увеличении з. С помощью формул (7.10), (7.1!) и (7.!4) находим Ф)Ф- — 0 ) -)-1) '(т' )У е)) — О.)" 3 +Ф л=) .)-~е у)'М) +~))= °,М+-,' В ) .)-О-'Х ь=О Х (ехр(и)р) ] з+ 1) — ехр (|(з+ 1) Ч)) / з) — ехр( — ир) / О)].
(7.30) Следовательно, за счет членов, стоящих в квадратных скобках выражения (7.30), состояние ] р) не является точным собственным состоянием оператора соз)р. Однако в пределе з- ао эти члены стремятся к нулю и (7.30) становится уравнением для собственных значений. Диагональный матричный элемент оператора созф, полученный из (7.30), имеет внд (ф|созф]ср) =созф(! — !!гп (э+ 1) ~) =сов)р. (7.31) Таким же способом можно показать, что ()р] з!пф]ф) =з!п)р(! — !!ш (з+!) ~) =з!п)р.
(7.32) 8 ФО Матричные элементы квадратов операторов фазы также можно легко вычислить и получить в пределе з-~СО (Ч) ] созз ф ])р) = созз)р, (ф ] з! пз ф] )р) = з!п')р. (7.33) Последние результаты показывают, что во многих вычислениях состояние ]ч)), определенное в (7.28), можно рассматривать как собственное состояние сразу двух операторов созф и з|п ф с наблюдаемым фазовым углом )р. Строго математически правильнее было бы говорить не о том, что ])р) есть точное собственное состояние операторов фазы, а о том, что оно является состоянием, в котором, согласно результатам (7.31), (7.32) и (7.33), неопределенности измеряемых значений операторов сов ф и 2!6 ГЛАВА 7 Физические свойства одномодовых состояний с определенным числом фотонов Состояние с определенным числом фотонов !п) и фазовое состояние !ср) описывают возбуждения электромагнитного поля в одной моде оптической полости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
