1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 29
Текст из файла (страница 29)
8. Квантование электромагнитного поля осуществляется на основе замены классического векторного потенциала А квантовомеханическим оператором А. Последнее преобразование, которое будет проделано над классическим полем, приводит к форме классических уравнений, позволяющей непосредственно перейти к квантовомеханическому описанию электромагнитного поля. Рассмотрим область пространства, имеющую форму куба со стороной Е, аналогичную кубической полости, изображенной на фиг.
1.2. Однако теперь «полость» рассматривается просто как область пространства без каких-либо реальных границ. Вместо решений в виде стоячих волн, приведенных в (1.23) и (1.24), выберем решения для поля в виде бегущих волн, как в (1.17) и (1.18), и наложим на них периодические граничные условия. Кроме того, в отличие от вычисления, проведенного в гл, 1, мы будем использовать векторный потенциал А, а не поля Е и Н. 191 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ Учитывая эти предварительные замечания, векторный потенциал в полости можно разложить в ряд Фурье: А = ~ (АА(1)ехр(Й ° г) + Ак(1) ехр( — (и ° г)). (6.38) Здесь компоненты волнового вектора к принимают значения У» УУ У» й» вЂ” — 2П вЂ”, йу — — 2п —, й,=2п д, (6.39) где (6.40) ъ„, У„, У,= О, -!-1, ~2, ~3, ....
Плотность определенных таким образом мод равна плотности мод, определяемых формулами (1.24) и (1.26). Условие кулоновской калибровки (6.9) удовлетворяется, если К . Ах (1) = )г А А (1) = 0 (6.4 1) Для каждого волнового вектора й существуют два независимых направления вектора Ак((). Различные фурье-компоненты векторного потенциала А независимы и должны по отдельности удовлетворять уравнению поля (6.37), поэтому ! д»АА (!) й'Ае(1) + — ", = О (6.42) и Ах(1) удовлетворяет точно такому же уравнению.
Следовательно, фурье-коэффициенты являются решениями простого гармонического уравнения д'АВ (!) + а'„А (г) =О, (6.43) где ОА = Сй. (6.44) Электромагнитное поле квантуется путем преобразования уравнения (6.43) в квантовомеханнческое уравнение гармонического .осциллятора. Чтобы показать, как можно осуществить такое преобразование, полезно перейти к описанию осциллятора с помощью эффективных координаты и импульса, связанных с модой полости. 199 ГЛАВА 6 С этой целью мы вычислим классическую энергию нормальной моды полости, определяемой волновым вектором к.
В качестве решения уравнения (6.42) можно взять Аы(1) =Аы ехр( — 1выг), (6.45) тогда полный векторный потенциал (6.38) принимает вид А = ~(А»ехр ( — 1в 1+ й г) + Аыехр((в»1 — й ° г)). (6.46) Усредненная по периоду энергия одной моды и равна д'ы = — ~ (ВВР,' + и Н'„) Н)Г, (6.47) где черточки обозначают среднее значение за период, Е» и Н» — электрическое и магнитное поля моды, Из формулы (6.!), (6.4) и (6.46) получим Е„= 1аы (А» ехр ( — (а»Г + й ° г) — А„' ехр (1в»1 — й ° г)), (6.
48) Ны = — '1с Х (Аы ехр( — 1аы(+ й ° г)— но — А"„ехр ((в»1 — й ° г)). (6.49) Из (6.41) и (6.44) следует, что величины Е» и Н» связаны соотношением (1.21), как это и ожидалось для свободной электромагнитной волны. Подстановка формул (6.48) и (6.49) в (6.47) и вычисление средних по времени значений приводит к выражению а'ы = 2В,Ра'А» Аы, (6.50) где ь 7з Модовые переменные Аы и Аы можно заменить обобщенной «пространственной» координатой моды Щ» и обобщенным «импульсом» моды Р» согласно преобразованиям А„= (4а„)Газы) м (а»Я» + (Р») е„(6.51) и А„' = (4В„Ь'а'ы) '* (в»Л» — (Р, ) е,, (6,52) КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 19Э Координаты Ок и Ри являются скалярными величинами, поскольку векторные свойства величин Аг и А[ были выделены путем введения для моды единичных векторов поляризации ек.
На основе формул (6.51) и (6.52) энергия одной моды [выражение (6.50)] преобразуется к виду 2( А " "г' (6.53) Последнее выражение точно совпадает с выражением для энергии классического гармонического осциллятора с единичной массой, или, что то же самое, это выражение представляет собой обычный гамильтониан для классического гармонического осциллятора. Таким образом, проблема векторного потенциала, связанного с модой полости, была сделана формально эквивалентной проблеме классического гармонического осциллятора. Полный классический гамильтониан для излучения в полости получается простым суммированием выражения для одной моды (6.53) по всем к и двум независимым направлениям ек.
Квантовомеханический гармонический осциллятор Теперь электромагнитное поле квантуется посредством преобразования О» н Рк в квантовомеханические операторы координаты 4к и импульса рк. Прежде чем перейти к такому преобразованю, теорию квантовомеханического осциллятора удобно представить в форме, которая наиболее пригодна для квантования поля. Квантовомеханический гамильтониан для одномерного гармонического осциллятора с единичной массой имеет вид ф 1уг ) г-г) 2 где р и 4 подчиняются обычному коммутационному со.
отношению [д, р) =г'й. (6.55) Определим пару операторов а и йт для замены 4 и 1) г) = (2йаг) А (сод + гф) (6.56) т з..ввз ГЛАВА 6 йт = (2йа) А (а~) — ц), (6.57) нли, совершая обратный переход, (6.58) (6.59) Операторы а и ат называются соответственно операторами уничтожения и рождения для гармонического осциллятора. Как станет ясно в дальнейшем, эти операторы чрезвычайно полезны благодаря их простым свойствам. Однако они не описывают наблюдаемые величины гармонического осциллятора.
Из формул (6.56) и (6.57) получим йтй = (2йа) (аз+ а'йз+ (аЯ вЂ” тК) = = (йа) (тв — — ла) . (6.60) Здесь были использованы выражения (6.54) и (6.55). Аналогично ( +2 )' (6.61) М=йа(й й+ — ') (6.63) Часто встречающаяся комбинация операторов йат называется оператором числа частиц для гармонического осциллятора.
Мы обозначим его как й = йтй. (6.64) При выводе формулы Планка в гл. 1 мы уже использовали известный результат (1.37), заключающийся в том, Коммутатор для новых операторов легко находится из этих результатов: [й, ат) =ййт — йтй= 1. (6.62) Используя (6.60), гамильтониан можно переписать в виде КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 195 что собственными значениями оператора й являются нуль и положительные целые числа.
Теперь этот результат будет строго получен в процессе исследования свойств операторов й и й'". Пусть 1л) есть собственное состояние гамнльтониана гармонического осцнллятора с собственным значением Е„, Уравнение для собственных значений имеет вид Ж ~а) = йа '1 йтй + — ) ! и) Е„~ и). (6.65) Умножая обе части этого уравнения слева на ат Дм '( й~атй+ — йт) ) и) = Е„ае( п) (6.66) и используя для преобразования первого члена в правой части уравнения (6.66) коммутатор (6.62), получаем уравнение йа (йтйй~ — йт+ — йт) ! п) = Епй"'( п), (6.67) которое можно преобразовать к виду Ьв(й~й + — ) й~! Л) =Ма~~ и) =(Е„+ Да) йт! и). (6.68) Это последнее выражение снова имеет вид уравнения на собственные значения энергии. Отсюда следует, что состояние йт ~ п) есть собственное состояние энергии гармонического осциллятора с собственным значением Е„+ Ьы.
Если определить новые собственное состояние и собственное значение как ! и + 1) = йе ~ и) (6.69) и Е„.„= Е„+ йв, (6.70) то уравнение (6.68) можно переписать следующим образом; 7й ~ и + 1) = Еа.ы ~ л + 1). (6.71) Эти результаты показывают, что если имеется некоторый энергетический уровень гармонического осциллятора Е„, то существует другой уровень, расположенный выше пер- ГЛАВА а 196 Еп Е,=айвз Яа | и) = (ń— йсо) а ! и).
(6.72) Ео = г иоз Следовательно, состояние а1и) есть собственное энергетическое состояние с собственным значением Е„ — йгн. Если мы введем определения ! и — 1) = й ~ и) (6.73) Фиг. 6.1. Схема энергетических уровнеа для квантовомеханнческого гармонического осниллятора, показывающая роли операторов рождения а и уничтожения о в кобавлении кванта энергии йы к энергии возбуждения или его вычитании. и Е„, = ń— йв, (6.74) то уравнение (6.72) преобразуется к виду М ~ и — 1) = Е„, ) и — 1).
(6.75) Таким образом, лестница энергетических уровней простирается вниз с равными шагами Лго. Однако эта лестница вого на величину лсо. Таким образом, энергетические уровни располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга, образуя лестницу. Как и в классической механике, здесь не существует Е ограничения на максималь. ат и+с ную энергию гармонического осциллятора, а поэтому лестница из уровней простираетл ся вверх до бесконечности. Ъ Схема уровней гармониче- Е' т ского осцил.тятора приведена на фиг. 6.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
