1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 24
Текст из файла (страница 24)
руется на нижней части фиг. 5.)2. Среднее значение по ансамблю (~)ЕА))а) является лоренцевой функцией частоты моды шй, поэтому можно положить у (1 й ) (ы ы )й ! уз (5.58) где У вЂ” константа пропорциональности. Интервал между нормальными модами Лго удовлетворяет неравенству у )) ььш/и, (5.57) теогия хаотического светл и когеоентности 1ЗВ Эту константу можно выразить через усредненную по большому промежутку времени интенсивность Е. По определению ! = — е с (! Е Ф) Р) = = — е„с ~~ (ЕоЕ„,) ехр ( — 1(й — й') а + 1(ооо — гоо,) Г). (5.59) Здесь было использовано разложение (5.48).
При А М й' амплитуды нормальных мод Ео и Ео являются случайными независимыми переменными, имеющими нулевые средние значения. В результате средние значения по ансамблю в правой части выражения (5.59) обращаются в нуль, если й Ф А': (Е:Ео.) = 0 (й чь Уг'). (5.60) В выражении (5.59) остаются только те члены, для которых й = А', поэтому 1 = — е,с ~~ ( ! Е, !').
В случае очень длинной полости, когда выполняется условие (5.57), распределение мод внутри линии можно приближенно рассматривать как континуум и заменить сумму по й интегралом. По аналогии с трехмерным результатом (1.31) в одномерном случае имеем ~-о(Ця) ~ йг-о(Цпс) ~ дгоо. (5.62) о о о Таким образом, из (5.58) и (5.6!) получим 1 = о ~~, с(гоо = — еЯЕ; (5.63) — еоЖЕ Г у 2 з (~ — ~~) +у' 2 (5.64) постоянную У можно исключить из выражения (5.58). В результате 27 у ооЕ (ооо о'о) + у ((Е 'Г) =— ГЛАВА Б Интенсивности спектральных компонент в нижней части фиг. 5.12 были изображены в соответствии с лоренцевой формой выражения (5.64). Интенсивность каждой нормальной моды флуктуирует около своего среднего значения по временнбму закону, определяемому прохождением светового пучка через полость.
Временной масштаб этих флуктуаций ту определяется скоростью, с которой изменяется распределение интенсивности при прохождении пучка. Для времен, меньших Е/с, распределение интенсивности смещается на расстояние, небольшое по сравнению с размером полости, поэтому фурье- амплитуды Е» меняются очень мало. Для времен порядка Е/с или больше часть пучка внутри полости полностью меняется, поэтому фурье-амплитуды соответственно испытывают большие изменения.
В этом случае временной масштаб флуктуаций Е» определяется величиной Ь/с и за время флуктуаций можно принять (5.65) т~ — — Ь/с. Эта величина играет роль, аналогичную роли т, в случае короткой полости. Следовательно, временной масштаб флуктуаций увеличивается с увеличением длины полости. Частотное ушнрение, связанное с временем тп является величиной такого же порядка, что и межмодовое расстояние Лв, определенное в (5.51).
Дальнейшее увеличение длины большой полости приводит к еще более плотно расположенным модам, но не увеличивает общую ширину 2у распределения возбужденных мод. Теперь можно приступить к вычислению корреляционной функции первого порядка. Предположим, что длина полости велика согласно условию (5.56). Корреляционная функция, определяющая интенсивность полос в (5.44), имеет вид (Е (а,У,) Е (г,Г,)) = ~ (Е*Е,) ехр (1( — йг, + + в»й + й'га — а» 1г)) = Х (! Е» Р) ехр (1м»т), (5.66) где = г, — гз — (г, — гз)/с. (5.67) ТЕОРИЯ ХАОТИЧЕСКОГО СВЕТА И КОГЕРЕНТНОСТИ 1Я Здесь были использованы формулы (5.48), (5.49) и (5 60).
Подставляя выражение (5.64) для () ЕА)х) в (5.66) и заменяя сумму интегралом, найдем 27т ехр (нолт) (Е' (г,1,) Е (гг(х)) = — „~ А, нсол. (5.68) В случае узкой линии излучения нижний предел.интегрирования можно без существенного изменения значения Фнг. 5.13. Контуры интегрирования о комплексной плоскости для интеграла (б.ба). интеграла заменить на — Оо, после чего интеграл вычисляется с помощью контурного интегрирования. Полюсы подынтегрального выражения и контуры интегрирования, соответствующие т ) 0 и т ( О, показаны на фиг.
5.13. В результате интегрирования получаем 1 (,— ')'+ -' у ехр (га,т) '„+ е с(сна =иехр(йаот — у~ т~). (5.69) ("о ыа) +т б зак. 888 162 гллвл з Г!одстановка выражения (5.69) в (5.68) приводит к требуемому результату для корреляционной функции (Е'(аг(г) Е (зг(г)) = (27(а,с) ехр ((агат — у 1 т 1).
(5.70) Следует подчеркнуть, что при нахождении корреляционной функции (5.70) были использованы два различных свойства светового источника: во-первых, независимость и случайный характер значений коэффициентов различных нормальных мод, что характерно для любого хаотического источника и выражено соотношением (5.70), и, во-вторых, распределение частот излучаемого света по большому числу мод полости, что является необходимым условием для замены суммы интегралом в (5.62). Интенсивность полос и когерентность первого порядка Интенсивность полос в эксперименте Юнга можно теперь определить, подставляя выражения (5.59) и (5.70) в (5.44). Два отверстия имеют одинаковую координату а, поэтому формула для интенсивности приводится к виду Т(г) =7( ~ иг !'+ ~ иг !'+ 2и!игехр( — у ! т !) соз агат).
(5 71) Здесь т определяется согласно (5.42) и (5.67): т = (зг зг)/с. (5,72) Видность полос в точке г на втором экране обычно определяется выражением ( (")макс ( (г)мии 2игиг схР ( т (и~ — иг (/с) — — (5.73) 1 (Г)макс+ г (Г)мнн (г (г 1!ц Р В центре второго экрана на фиг. 5,11, где иг = иг и з, = = зь видность полос равна единице, а вне оси, где г, Ф иг и з, Ф зг,— меньше единицы. Влияние хаотической природы светового источника на видность полос отражено экспоненциальным членом в выражении (5.73), который в принципе приводит к полному исчезновению интерференционных полос для значений зь достаточно сильно отличающихся от значения зв Однако из (5.71) видно, что для узкой линии излуче- теОРия хАОтическОГО сВГтА и кОГеРентнОсти 1ВЗ ниЯ с 4ээ )> У член, содеРжаЩий косинУс, Успевает очень много раз изменить знак, прежде чем величина т станет достаточно большой и уменьшение экспоненциального члена приведег к исчезновению интерференционных полос.
Для времени когерентности и частоты, определенных в (5.2!) и (5,22), на втором экране имеется около 104 четких интерференционных полос, расположенных симметрично вокруг оси экспериментальной установки. В реальном интерференционном эксперименте Юнга хаотическая природа света обычно не является самой важной причиной исчезновения полос. Конечная протяженность источника в направлении, перпендикулярном оси, которая не учитывалась в проведенном выше анализе, часто бывает наиболее важным ограничивающим фактором, и в действительности имеются методы определения угловых диаметров удаленных световых источников, например звезд, на основе наблюдения исчезновения интерференционных полос (см.
(13)). Таким образом, хаотические свойства светового источника, принятые при расчете интерференционных полос, оказывают очень малое воздействие на результат эксперимента. Правильное в основном теоретическое выражение можно было бы получить, полагая источник идеально стабильным и монохроматическим, с выходным излучением типа волны, изображенной на фиг. 5.!б. Действительно, именно такой подход к анализу интерференционных явлений описпн в большинстве учебников; сильные флуктуации интенсивности и фазы излучения от хаотического источника, изображенные на фнг.
5.7 н 5.8, оказывают небольшое влияние на типичный классический интерференционный эксперимент. Конечно, относительно небольшая роль хаотического характера источника является результатом допущения о малой ширине линии испускания источника. Экспоненциальные множители в (5.71) нлн (5.73) имели бы большое значение в случае хаотического источника, у которого ширина излучения сравнима со средней частотой, как, например, у теплового излучения полости.
В другом предельном случае настолько узкой линии излучения,что можно было бы прямо наблюдать флуктуации интенсивности, обычный анализ интерференции был бы недоста- 164 ГЛАВА 3 точным. Самое большое возможное для хаотического источника время когерентности обычно порядка 10 з с, поэтому можно, как правило, предполагать, что экспериментальное время разрешения много больше т,. Свойства светового пучка, существенные для интерференционного эксперимента, удобно выразить через понятие оптической когерентности. Говорят, что в двух пространственных или временных точках свет является когерентным, если при сложении он может в принципе создать интерференционные эффекты. Примером является свет из двух отверстий в интерференционном эксперименте Юнга.
В большинстве классических ннтерференционных экспериментов возможная величина интерференционных эффектов определяется когерентностью первого порядка используемого светового пучка. Степень когерентности первого порядка для полей в пространственно-временных точках (гА) и (гзгз) описывается функцией йЧП(гА; гз(з), которая для краткости обозначается как йчп. Эта величина определяется через корреляционную функцию первого порядка как 61Гг1 г11=— "'= ) *( ' ') (' '))), . (5.74) (() Е(гП1) )1)() Е (гьй) )')) Ь Здесь угловые скобки указывают на необходимость усреднения по ансамблю при статистическом определении поля Е(г1).
Говорят, что в точках (г111) и (гз(з) свет когерентен в первом порядке, если д(о=1, некогерентен, если дую = О, и частично когерентен при промежуточных значениях д(1',>. В качестве первого примера когерентности рассмотрим хаотический световой источник с лоренцевым частотным распределением, использованный выше для теории эксперимента Юнга. После подстановки выражений (5.59) и (5.70) в (5.74) степень когерентности первого порядка принимает вид а' ) (г1(п гз(з) = ехр ( — у ) 1, — 1, — (г, — г,Нс ~) = =ехр( — у)т)). (5.75) теОРия хАОтическОГО сВетА и кОГеРектности 1а5 Вид зависимости д1йо от т показан на фиг, 5.14.
Свет когерентен в первом порядке в двух точках, если 1, — 1й — (г, — г,)/с « т,. Здесь было использовано соотношение (5.52)'. В эксперименте !Онга, где г, = гм четкие полосы получаются в О 2 4 узт Фиг. о.14. Зависимость степени когерентности первого порядке хаотического света с параметром ширины линии у в двух пространственно-вРемеиных точках ггйг и а,г, от т = Π— Г, — (а, — «т)/с. Постоянное единичное значение когерентности первого порядка классической стационарной аоаггы показано пунктирной линнеи.
том случае, если промежуток времени между моментами прохождения через отверстия двух пакетов парциальных волн, встречающихся в некоторой точке второго экрана, много меньше времени когерентности. Согласно оценке (5.2!), величина т, обычно порядка 3 !О-и с. Соответствующая длина когерентности приблизительно равна 10-' м. В общем случае интерференционные полосы от параллельного светового пучка можно получить только при наложении света из двух точек, расстояние между которыми вдоль пучка меньше длины когерентностн. При этом свет, выходящий из двух рассматриваемых точек, должен быть разделен временным интервалом, меньшим времени когерентности. 166 ГЛАВА Н Задача 5.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
