1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из фиг. 1.7 видно, что свет, излучаемый нагретой полостью (излучение черного тела), имеет ширину частотного распределения, приблизительно равную средней частоте, и потому не попадает в эту категорию. Длина пути (5.31) 7., = ст„ связанная с временем когерентности, называется длиной когерентности. График зависимости усредненной по периоду интенсивности от времени в фиксированной точке пучка, приведенный на фиг.
5.7, можно было бы также рассматривать как график зависимости интенсивности от расстояния г вдоль пучка в фиксированный момент времени. В этом случае ось абсцисс была бы переобозна. чена как ось г, а среднее время та как 7, В данный момент времени усредненная по периоду интенсивность изменяется мало на расстояниях, малых по сравнению с 1,„ но на расстояниях порядка 1., или ббльших происходят значительные изменения интенсивности.
Временнбй и пространственный масштабы флуктуаций пучка связаны простым размерным множителем с. Для рассматриваемых пучков длина когерентностн всегда много больше длины волны света. ГЛАВА 5 !4б Флуктуации интенсивности хаотического света =! ехр[1Ч2,(1)[+ ехр [йр2(1)[+... + ехр[ир,(1)) ~2=т. (5.32) Здесь черта означает усреднение по большому промежутку времени.
Для времен, больших по сравнению с т„ средние значения кросс-членов от разных излучающих атомов равны нулю. То, что остается после усреднения, представляет единичный вклад каждого атома в значение а2(1). Средняя по большому промежутку времени интенсивность 1 находится с помощью подстановки выражения (5,32) в (5.30) 1 = — а2сЕоч. 1 2 2 (5.33) Это значение 1 равняется просто усредненной по периоду интенсивности света, излученного отдельным атомом, умноженной на т. Величина 1 для флуктуирующей интенсивности, изображенной на фиг. 5.7, указана пунктирной горизонтальной линией.
Здесь везде предполагается, что световой источник является стационарным, т. е, усредненная по большому интервалу времени интенсивность 1 фиксирована и не зависит от данного большого интервала времени, выбранного для измерения интенсивности. Любое измерение интенсивности пучка независимо от Флуктуации интенсивности, показанные на фиг. 5.7, можно измерить экспериментально только тогда, когда имеется детектор со временем отклика, меньшим времени когерентности т,. В большинстве случаев флуктуации интенсивности 1(г) происходят слишком быстро для прямого наблюдения, а потому измеряются флуктуации, усредненные по времени отклика детектора.
Пренебрегая этими экспериментальными трудностями, допустим, что существует некоторый способ мгновенных измерений усредненной по периоду интенсивности. Среднее значение большого числа измерений интенсивности 1(1), проведенных за период времени, большой по сравнению с т., легко вычислить. Согласно формуле (5.29), а2 2(г) = ТЕОРИЯ ХАОТИЧЕСКОГО СВЕТА И КОГЕРЕНТНОСТИ 147 времени отклика детектора должно приводить к одинаковому значению усредненной по большому интервалу времени интенсивности 7.
Эта средняя интенсивность обычно используется в теориях, описывающих прохождение света через поглощающие среды, как, например, в гл. 2 и 4. Теперь рассмотрим отдельные измерения мгновенной интенсивности. Из фиг. 5.7 видно, что результат измерения 7(1) нельзя предсказать точно. Можно точно определить только статистическое распределение результатов серии экспериментов. Статистические свойства интенсивности 7(г) могут быть определены из (5.30), если известно статистическое распределение значений а(1). Из (5.29) и фиг.
5.6 видно, что в любой момент времени 1 значение а(1) равно расстоянию, пройденному из центра диаграммы Эргенда за т шагов единичной длины в случайных направлениях, определяемых углами ф| (1), ф2(г), ..., ф,(1). Соответствующее вычисление является примером задачи о «случайном блуждании», хорошо известной в теории стохастических процессов [9]. Пусть р[а(()] есть вероятность того, что конечная точка случайного блуждания, состоящего из т шагов, лежит в единичНОй ПЛОГЦаДКЕ ОКОЛО ТОЧКИ С КООРДИНатаМИ а(1) И ф(1) на фиг.
5.6. Результат, определяемый теорией случайного блуждания, для данной задачи имеет вид [10] р [а (1)] = (1/пт) ехр [ — а (1)1т], (5.34) причем р[а(1)] не зависит от ф(1), как это и ожидалось из физической природы задачи, и нормирована следующим образом: 2а г(а(1) ~ а(1) р[а (1)] о~ф(1) = 1. (5 35) о о Распределение вероятностей (5.34) есть гауссова функция, вид которой показан на фиг. 5.9. Такое же распределение имеет место для любого хаотического светового пучка, поэтому свет от хаотического источника иногда называется гауссовым светом.
Важно не путать гауссово распределение амплитуды ]Е(1) ] с распределением частот пучка, которое может быть гауссовым, ло- 148 ГЛАВА В ренцевым или описываться промежуточной функцией. Здесь предполагается механизм ударного уширення, поэтому в действительности распределение частот лоренцево.
тф(п Фиг, 5.9. Распределение вероятностей для амплитуды и фазы элек- трического поля хаотического светового пучка. Плотность затемнения пропорциональна вероятности того, что и ()) и Е ()) имеют значения, определяемые соответствующей точкой комплексной плоскести. Отметим, что вероятность имеет наибольшее значение в начале координат и не зависит от фазы Ф Н).
С помощью выражения (5.30) распределение вероятностей для о(1) можно преобразовать в распределение вероятностей для интенсивности Х(1). Задача 5.З. Докажите, что при мгновенном измерении усредненной по периоду интенсивности вероятность получения ее значения в интер- теОРия хАОтического сВетА и когеиентности 14В вале от Х(1) до у(1) + пу(1) равна р[1 (1)1 Х Х Г(Т(1), где р [1 (1)[ = (1/Т) ехр [ — Т(1)Я, (5.36) а 7 определяется из (5.33).
Отметим, что наиболее вероятное значение 7(1) всегда равно нулю. Распределение вероятностей для случайных блужданий, строго говоря, относится к результатам большого числа блужданий, которые все начинаются из начала координат. Лля рассматриваемой задачи конечная точка каждого блуждания определяет амплитуду Р и фазу ф светового пучка. Теория случайного блуждания приписывает определенную вероятность каждому возможному значению Р и ф.
Набор световых пучков со всеми возможными амплитудами и фазами образует статистический ансамбль типа упомянутого в гл. 1. Каждый световой пучок ансамбля имеет фиксированные значения и ф, а распределение интенсивности, приведенное в (5.36), строго справедливо для такого ансамбля пучков с фиксированными значениями амплитуды и фазы.
Эта ситуация, конечно, является результатом теоретических построений и не соответствует типичному эксперименту с использованием хаотического света, где, возможно, имеется только один световой пучок, амплитуда и фаза которого флуктуируют так, как описано выше. Мы хотим использовать распределение вероятностей, приведенное в (5.36), для описания результатов серии измерений мгновенной интенсивности одного и того же пучка в разные моменты времени й Связь между двумя типами распределений находится с помощью эргодической теоремы, уже упоминавшейся в гл.
1, согласно которой средние по ансамблю и по времени могут быть эквивалентными. Очевидно, что в случае данного вычисления два измерения мгновенной интенсивности одного и того же пучка в одной и той же точке, но в разные моменты времени, разделенные промежутком, меньшим т„не могут быть статистически независимыми. В этом случае в течение промежутка времени между одним измерением и после- ГЛАВА З дующим изменяются только некоторые из фазовых углов р1(1), ~рг(1), ..., гр,(1), поэтому на диаграмме Эргенда между двумя соответствующими случайными траекториями имеется лишь небольшое различие.
Однако для двух разных измерений, разделенных промежутком времени, много ббльшнм времени когерентности, почти все фазовые углы различны. При этом случайные траектории определяются статистически независимыми случайнымн выборками т фазовых углов, и именно поэтому можно использовать распределение (5.36). Таким образом, для применения эргодической теоремы в настоящем вычислении необходимо выполнение следующих условий: 1) каждое измерение усредненной по периоду интенсивности должно проводиться за время, меньшее т,; 2) вся совокупность измерений должна занимать время, большее т„.
Рассмотрим эксперимент, удовлетворяющий этим условиям. Среднее значение п-й степени мгновенной интенсивности обозначим через (7"(1)). Теоретическое значение этого среднего может быть вычислено на основе распределения (5.36) О (Х (К)) =(1/1) ~ У (1)ехр[ — Т(Я() гйЯ = п11 . (5.37) о Следовательно, средние значения степеней мгновенной интенсивности просто связаны с соответствующими степенями 7. Среднеквадратичное отклонение усредненной по периоду интенсивности определяется выражением ((7~ (1)) (7 (1))2) ~1 (5.38) Таким образом, величина флуктуаций равняется средней интенсивности, что качественно видно на фнг.
5.7. Аналогичный результат был получен в (1.71) или (!.72) для флуктуаций числа тепловых фотонов в одной моде полости. Приведенные выше результаты для флуктуаций интенсивности справедливы для любого хаотического светового пучка, причем единственное изменение при переходе от одного источника к другому заключается в изме- ТЕОРИЯ ХАОТИЧЕСКОГО СВЕТА И КОГЕРЕНТНОСТИ 1З! ненни параметра 7 и временнбго масштаба т„ на котором происходят флуктуации.
Несмотря на большие флуктуации 7(Г), время когерентности т, обычно настолько мало, что наблюдать этн флуктуации экспериментально трудно, а их влияние на экспериментальные результаты часто мало. Обобщение уравнения (5.38), учитывающее конечное время отклика детектора, приводится ниже в (5.94). Прн помощи немного искусственного способа можно, однако, создать световой пучок, флуктуации интенсивности которого легко наблюдаются. Такой пучок может быть создан путем рассеивания лазерного света на маленьких полистироловых шариках, взвешенных в воде (11), Небольшие доплеровские сдвиги частоты рассеянного света обусловлены броуновским движением шариков. Взвесь представляет замедленную модель излучающего газа, причем точно определенная лазерная частота заменяет частоту атомного перехода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
