1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В этом случае время когерентности т. порядка 10-' с, поэтому флуктуации интенсивности видны невооруженным глазом. Описанный выше хаотический световой пучок можно сравнить с классической волной (обладающей стабильной амплитудой и фазой), которая часто используется в теоретическом анализе оптических экспериментов. Предполагая, что волна распространяется вдоль оси г, запишем ее электрическое поле как Е(е() = Езехр(йз — (аВГ+ гф), где в противоположность хаотическому полю (5.29) значения амплитуды и фазы фиксированы.
На фиг. 5.10 показано изменение электрического поля со временем в фиксированной точке наблюдения. Применять статистику к классической стационарной волне нет необходимости, поскольку усредненная по периоду интенсивность постоянна и не испытывает флуктуаций.
Результат, аналогичный соотношению (5.37), имеет вид (7 (()) =! (5. 40) а среднеквадратичное отклонение равно нулю. Степень зависимости результата оптического измерения от статистических свойств используемого светового гллвл а !52 пучка различна для разных экспериментов. Некоторые примеры описаны ниже. Результат многих экспериментов один и тот же независимо от того, применяется ли хаотический пучок или стабильная волна.
В других случаях результат полностью зависит от величины флуктуаций или шума в пучке. Как будет показано в гл. 7 и 10, пучок от лазера аппроксимирует классическую стационарную волну без шума типа изображенной на фнг.5.10. Е!в! Фнг. 5.10. Изменение злектрнческого поля классической стационар- ной волны со временем н фиксированной точке наблюдения. Таким образом, определение влияния статистических свойств света на результаты оптических экспериментов представляет практический интерес. Интерференционные полосы в эксперименте Юнга Интерференционный эксперимент Юнга является примером измерения, результат которого зависит от флуктуаций интенсивности.
Этот эксперимент будет проанализирован весьма детально, с тем чтобы понять условия, при которых хаотическая природа светового источника влияет на видность интерференционных полос. Экспери- ' мент довольно прост, однако его анализ иллюстрирует .некоторые общие принципы, присущие целому классу оптических экспериментов. На фиг. 5.!1 показан упрощенный вариант эксперимента Юнга. Хаотический свет от точечного источника, сформированный линзой в параллельный пучок, падает ТЕОРИЯ ХАОТИЧЕСКОГО СВЕТА И КОГЕРЕНТНОСТИ 1В3 на экран, содержащий две щели или два отверстия, как мы будем предполагать для простоты.
Интерференционные полосы наблюдаются на втором экране, помещенном справа от первого. В этом модельном эксперименте усложнения, вызываемые конечным диаметром источника и соответствующей непараллельностью пучка, освещающего первый экран, не учитываются. При строгом анализе их необходимо принимать во внимание, однако Экран г Экран 2 Исто Фиг. 5.11.
Схема идеализированного эксперимента Юнга. здесь они опущены, с тем чтобы внимание было сфокусировано только на эффектах случайных флуктуаций интенсивности. Пусть Е(гг) есть полное электрическое поле излуче. ния в точке г экрана наблюдения в момент времени Г, являющееся линейной суперпозицией электрических полей в двух отверстиях (с координатами г1 и г,) в более ранние моменты времени 1з и га, определяемые скоростью света с. Тогда формально Е(гг) =и,Е(гА)+ изЕ(гага), (5.41) где 11=1 — (э~/с), Ге=1 — (за/с), (5.42) 154 ГЛАВА В а коэффициенты и, и иг обратно пропорциональны расстояниям з, и з, соответственно, которые определены на фиг. 5.11.
Коэффициенты и, и и, зависят от геометрии эксперимента, например от размера отверстий, однако в данном вычислении их точный вид неважен; эти коэффициенты чисто мнимые, поскольку вторичные волны, излучаемые отверстиями, сдвинуты на фазе на и/2 относительно исходного светового пучка (12, 13].
Дифракционные.эффекты на самих отверстиях не учитываются. Интенсивность света в точке г, усредненная по периоду колебаний, имеет вид ((г1) = — ВВс1Е(гг) Р= 2 = — е,с (~ и, 1' ~ Е (г А) Р + ~ и, Р ~ Е (г,г,) Р + ! + 2и(и, Рте 1Е'(ГА) Е (ГВгг))). (5.43) Здесь был использован тот факт, что и, и иг являются чисто мнимыми величинами.
Интенсивность 7(Г1) сходна с интенсивностью, определенной в (5.30). Полосы в интерференционном эксперименте Юнга обычно записываются на фотографическую пластинку или наблюдаются невооруженным глазом. В каждом случае время записи больше времени когерентности т. хаотического света, поэтому для сравнения теории с экспериментом Т(г1) необходимо усреднить по временнбму промежутку, большему т,. Обозначая по аналогии с (5.33) это среднее значение !(Г() через 7(г) и усредняя выражение (5,43), получаем Т(г) = (1 (гг)) =. — ВВс Ц и, Р (~ Е (гА) Р) + ! и, Р (~ Е (гА) 1г! + + 2и(иг ЙЕ(Е*(ГА) Е(ГВГВ))). (5.44) Угловые скобки в (5.44) обозначают средние значения по временам, много большим т,. Считая световой источник стационарным, эти средние значения можно вычислить на основе эргодической теоремы как средние по ансамблю для статистического распределения, описывающего поле, созданное источником. Точное значе- ТЕОРИЯ ХАОТИЧЕСКОГО СВЕТА И КОГЕРЕНТНОСТИ !55 ние последнего в выражении (5.44) члена, усредненного по времени, определяется формулой г (Е*(гА) Е(г212)) = 1~гп — Е'(г212) Е(г„1, +1Д гй, (5.45) где ~2! ~2 ~Р (5.46) Среднее (5.45) называется корреляционной функцией первого порядка для полей в пространственно-временных точках (гА) и (г212).
Оно явно зависит только от комбинации времен 12ь равной разности между временами измерения полей. Из (5.44) видно, что интенсивность на втором экране состоит из трех слагаемых. Первые два описывают интенсивности света, пропускаемые каждым отверстием в отсутствие другого отверстия. Эти два члена не приводят к каким-либо интерференционным эффектам.
Интерференционные полосы возникают благодаря члену, содержащему корреляционную функцию полей от двух отверстий. Вычисление корреляционной функции первого порядка Сущность корреляционной функции можно лучше всего понять на примере подробного вычисления для определенного светового источника. Рассмотрим важный случай стационарного хаотического светового источника, излучающего свет с лоренцевым частотным распределением, как в случае линии испускания с ударным уширением. Предположим, что свет, падающий на первый экран в эксперименте Юнга, распространяется вдоль оси г, а его плоский волновой фронт перпендикулярен оси г.
Оптическая полость для данной задачи является одномерной„и нормальные моды — это плоские волны с волновым вектором й, параллельным оси г. Интервал Лй между значениями волновых векторов соседних мод определяется по аналогии с выражением для трехмерного случая, рассмотренного в гл. 1: бй = 2'Е, (5 47) ГЛАВА В где Š— длина полости. Такое одномерное описание эксперимента Юнга является идеализацией практической ситуации, однако оно достаточно реально, чтобы показать наиболее существенные свойства корреляционной функпии.
Сначала рассмотрим математическое описание хаотического светового пучка типа показанного на фиг. 5.7, где только часть пучка внутри полости длины Ь представляет интерес. Предположим, что полость имеет идеально прозрачные стенки, поэтому пучок проходит сквозь них без поглощения или отражения. Роль полости заключается в выделении определенной области пучка; часть пучка вне полости не учитывается. Электрическое поле света в полости испытывает случайные флуктуации, рассмотренные ранее, величину которых можно описать так же, как в (5.29). Электрическое поле в полости Е(з() в произвольный момент времени ( удобнее выразить в виде фурье-суммы по нормальным модам Е(г~) = 2, ЕАехр(кйг — яви, ' (5.48) где (5.49) Комялексные коэффициенты Фурье ЕА имеют амплитуду и фазу, которые можно определить только статистически в соответствии со случайными свойствами хаотического света.
В принципе амплитуды и фазы можно измерить экспериментально, причем их величины различны в разные моменты времени, так как свет проходит через полость, и измеряются характеристики различных частей распространяющегося пучка. Число вкладов заметной величины от различных нормальных мод в разложении (5.48) зависит от длины полости Е и длины когерентности света Х;, определенной в (5.31). Допустим сначала, что полость очень коротка: Е « А,. (5.50) В соответствии с проведенным ранее рассмотрением усредненная по периоду интенсивность пучка в каждый момент времени почти постоянна на всей длине полости, ТЕОРИЯ ХАОТИЧЕСКОГО СВЕТА И КОГЕРЕИТНОСТИ 157 Не зависящая от координат интенсивность флуктуирует во времени так же, как показано на фиг. 5.7.
Интервал Лы между частотами соседних мод полости определяется из (5.47) и (5.49) Ле = ис/Е. (к51) С другой стороны, за ширину предполагаемой лоренцевой линии излучения можно взять 27, где величина у связана со временем когерентности т, так же, как в случае линии с ударным уширением, форма которой описана в (5.20): у = 1/т,.
(5.52) С помощью формул (5.31), (5.51) и (5.52) условие (5.50) для короткой полости может быть преобразЬвано к виду (5.53) у « Лм/и Следовательно, спектральная ширина светового пучка много меньше частотного интервала между нормальными модами очень короткой полости. В этом случае с помощью пучка можно значительно возбудить только одну моду полости. Пусть полость имеет такую длину Е, что частота одной из ее мод совпадает с центральной частотой сакэ линии испускания.
Тогда величина волнового вектора возбужденной моды определяется выражением й, = а,/с. (5.54) Случай короткой полости проиллюстрирован в верхней части фнг. 5.12. Интенсивность одной возбужденной моды флуктуирует с временным масштабом порядка т,. Интенсивность, средняя за период наблюдения, большой по сравнению с т„равна среднему значению за большой громежуток времени интенсивности 7, определенному в (5.33).
Отсюда следует, что (1 ЕА, 1Г7 = 2//еос. (5.55) Теперь рассмотрим противоположный предельный случай очень длинной полости: Е» й,. (5,55) !ба ГЛАВА В поэтому внутри ширины линии излучения лежит большое число мод полости. Случай длинной полости иллюстри- Фиг. 5Л2. Частотный спектр хаотического светового пучка в полости, длина которой 7. много меньше длины когерентности Ас(а) и много больше Хс (6). а — частотный интервал между нормальными модами так велик, что только одна мода падает в частотную область, изображенную на графике; б — частотный интервал между модами полости показан много большим, чем зто еле" дует нз условия е и й . На обвил частях фигуры высота спектральной компос' нентм указывает ее интенсивность, усрелненную по промежутку времеви, много большему времени когерентностн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
