1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Следовательно, в пеРвом порядке теории возмущений по У'м необходимо положить С,(() =1. (4.87) Дипольный момент о((() одного атома находится с помощью подстановки формул (4.85) и (4.87) и (4.69): е')Хв 8 Ео ) ехр((в!) + ехр ( — (в() + 2д 1 во+в — (у ао — а — (у ехр ( — (вй 1 ехр (га!) )1 (4 88) \.
Здесь было использовано выражение (4.73). Определяя теперь поляризацию газа, состоящего из одинаковых атомов, по формуле (4.76), где произведена замена (3.56), учитывающая случайные ориентации атомов, и сравнивая полученный результат с (4.64), получаем следующие выражения для восприимчивости: — 4.89 Зе,ар 'х в, — в — (у в, + в+ (у / Л'ео ))Зн р Г 1 1 Зеол)' х во+ а — гу ао а+ (у ) ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 119 Это квантовомеханическая форма восприимчивости, найденная для случая одной частоты перехода при учете затухания на основе приближения (4.81).
Результаты данного приближения подтверждаются более строгим расчетом в гл. 8. Нетрудно видеть, что восприимчивость, определенная а (4.89), удовлетворяет общему условию вещественности (4.7) и имеет два полюса, лежащие в нижней половине комплексной плоскости в точках в — 1у и — Ы — (у, как показано на правой части фиг. 4.4. Если скомбинировать два слагаемых в выражении (4.89), то при больших частотах ы восприимчивость уменьшается как ь1-'.
Г1оэтому соотношения Крамерса — Кронига (4.51), (4.52) выполняются и их нетрудно доказать точно. Отметим, что введение затухания, обусловленного спонтанным испусканием, с помощью уравнения (4.81) приводит к выражению' для восприимчивости у(ьт), похожему на результат (4.77) без учета затухания, но только частота в заменяется на ы + (у. Эта замена пригодна для преобразования квантовомеханических выражений с целью учета затухания в довольно общем случае.
Она будет использована в гл. 11 и 12 для учета затухания и эффектов ширины линии в выражениях, полученных для нулевого затухания. Задача 4.6. Докажите, что если классическое значение т", определяется формулой (4.78) и скорости затухания из (4.84) связаны с классическим параметром затухания Г соотношением Г=2у=л ь (4.91) то классическое выражение (4.14) для восприимчивости совпадает с квантовомеханическим результатом (4.89), но только в' в знаменателе классического результата заменяется в квантовомеханическом выражении на ы, '+ у'.
Эквивалентность классического параметра Г и коэффициента Эйнштейна Л следует с очевидностью из результатов, полученных ранее. В теории Эйнштейна показывается, что скорость затухания определенного числа возбужденных атомов, а следовательно, и энергии, запа- глава а сенной атомами, равна, как вытекает из (2.26), коэффициенту А.
Сравнение с аналогичным классическим результатом (4.37) показывает, что параметр Г играет в классической теории осциллятора точно такую же роль, что и коэффициент Эйнштейна Аз~ в квантовой теории. В случае спонтанного перехода атома водорода из состояния 2Р в состояние 1о параметры Г и Аеь согласно формуле (3.59), имеют величину 6 10' с-'.
Таким образом, благодаря спонтанному испусканию соответствующая линия поглощения атома водорода обладает шириной порядка 10' Гц в единицах частоты (но не круговой частоты). Эта ширина чрезвычайно мала, поэтому в большинстве экспериментов наблюдаемые ширины атомных линий поглощения определяются другими механизмами, например эффектом Доплера или атомными столкновениями, которые будут рассмотрены в гл.
5. Однако в принципе эти дополнительные процессы уширения всегда можно уменьшить каким-либо способом, например охлаждая газ или уменьшая его давление. С другой стороны, невозможно уменьшить скорость спонтанного испускания, поэтому ширина Ат~ является наименьшей шириной, которую можно достичь для данного перехода'). Эта ширина линии спонтанного испускания называется естественной шириной спектральной линии. Сдвиг центральной резонансной частоты к значению (со~~+ у')и, упомянутый в задаче 4.6, приводит к тому, что полюсы квантовомеханического выражения для восприимчивости всегда располагаются так, как показано в правой части фиг.
4.4, и никогда — как показано в левой части этой фигуры. Однако для оптических частот перехода величина у/тоо обычно мала, поэтому различиями между классическими и квантовомеханическими результатами можно пренебречь. Все квантовомеханические выражения для т[, н и К получаются из (4.89) и имеют частотные зависимости, подобные частотным зависимостям их классических аналогов и рассмотрение, проведенное для классического расчета, по-прежнему применимо. ') Это утверждение справедливо, если возбужденный атом наиодитсн в свободном пространстве [1о, 111. — прим.
ред. ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ !2! Чтобы учесть затухание в квантовомеханическом результате (4.79) для восприимчивости атомов, обладающих многими переходами, необходимо произвести замену в на м+!у; в йм члене суммы. Здесь 2у; — полная скорость спонтанного испускания 1-го возбужденного уровня.
В действительности выраэкение для восприимчивости, учитывающее затухание в случае многих переходов, содержит некоторые тонкости, поэтому подробное рассмотрение Отложено до гл. 8. Квантовомеханические вычисления восприимчивости и коэффициента Эйнштейна В очень похожи, н в общем случае эти две величины связаны соотношением (2.40). Коэффициент В является довольно грубой характеристикой. Он определяет скорость поглощения для пучка электромагнитного излучения, распределение частот которого перекрывает всю ширину атомной линии поглощения.
Определим более тонкую характеристику перехода, а именно скорость перехода 1/т, с которой йг одинаковых атомов в объеме У возбуждаются при поглощении излучения с точно определенной частотой еь Как показано в гл, 2, для обычных световых пучков непускание излучения обусловлено в основном спонтанными переходами, поэтому энергия, поглощаемая атомами, не возвращается в световой пучок.
Скорость изменения плотности энергии излучения на частоте ьз равна величине — ВВз/Ут, которая в классической теории соответствует скорости изменения плотности энергии излучения за счет силы трения и определяется отрицательным значением подынтегрального выражения во втором члене уравнения (4.35). Приравнивая эти эквивалентные выражения, находим соотношение — й~>/!гт = — ~о%ИГоР1Х )з/2)г, (4.92) которое с помощью формул (4.12) и (4.16) можно пере- писать в виде 1/т )г!! В~! Е ~Г/26 (4.93) Следовательно, введенное выше время перехода пропор. ционально мнимой части восприимчивости, и поэтому подстановка квантовомеханического выражения для )(" определнет квантовомеханический результат для 1/т.
122 ГЛАВА 4 Выражение для коэффициента В было получено в гл. 3 путем вычисления скорости перехода в предела очень узкой линии перехода. В этом случае соотношение (4.93) между скоростью перехода и восприимчивостью может быть доказано точно. Задача 4.7. Докажите, что для положительных частоты в пределе нулевой ширины линии мнимая часть выражения (4.89) принимает вид Х" (гэ) = а'р б (ьМ вЂ” ы).
(4.94) Путем сравнения с (3.72) покажите, что скорость перехода, определяемая формулой !(т= У! С~(1) 91, (4 95) точно удовлетворяет общему результату (4.93). В пределе у-~0 связь между коэффициентом В и скоростью перехода описывается выражениями (3.37) и (4.95). Силы осцилляторов Величина вклада данного атомного возбужденного состояния фг в восприимчивость обычно измеряется силой осциллятора у*н для перехода из основного состояния ф~ в возбужденное состояние фь определяемой следующим образом: ~и = (2,!зй) ! !Уи !з.
Эта величина, также называемая г"-значением перехода, безразмерна. Силы осцилляторов можно использовать для того, чтобы переписать выражение (4.79): В этом виде квантовомеханическая восприимчивость очень похожа на классическое выражение (4.22). Действительно, формула (4.78) для ~, классической теории точно совпадает с формулой (4.96) для ~1ь Завершая перечисление сходств между классической и квантово- ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 123 деханической теориями, укажем, что силы осцилляторов удовлетворяют правилу сумм, аналогичному классическому уравнению (4.23).
Рассмотрим сначала атом, имеющий только один электрон. Если х н р„являются х-компонентами координаты и импульса электрона, то, согласно обычному коммутационному соотношению, !х, б„! =Й. (4.98) Считая атомные волновые функции нормированными, вычисляем матричные элементы обеих сторон равенства (4.98) для основного состояния (! ! хр„— р„х 11) = ~ ~Ф",(х!)„— ф,х) ф, <й' = 1Гг. (4.99) На всех последующих стадиях для матричных элементов будет использоваться более компактное обозначение Дирака, приведенное в левой части уравнения (4.99). Из условия полноты следует (6 — 8) ~~ 1)(г'1=1.
(4.100) Здесь суммирование ведется по всем состояниям атома. Двухкратное использование этого условия в соотношении (4.99) дает следующее равенство: х ((1!х!1)(1!,б, !1) — (1!,б„!1)(1!х!1))=И. (4.101) Силы осцилляторов, определенные в (4.96), зависят только от матричных элементов координат, поэтому следующий шаг заключается в замене матричных элементов импульса в равенстве (4.10!). Гамнльтониан для электронов, использованный в уравнении (3.3), должен иметь вид Жа =! (р'„+ 14~ + ф',)~2т')+ К (г), (4.102) где Р'(г) — потенциальная энергия атома. поскольку координата х коммутирует с импульсами р„и р„то ~х,,юа ) = ('/зтл) (х, 15~1 = =(Ч,т)((х, Ф„)15„— б„[,д„х]) =16!8„/лт.
(4.103) 124 ГЛАВА Ф (4.108) Возьмем матричный элемент уравнения (4.103) между состояниями»р» и ф;: (1 ! хЯ — Фвх!») =Щт)(! !1Э„1»). (4.104) Поскольку функции»р» и ~» являются собственными функциями гамильтониана Мв с собственными значениями, различающимися на величину энергии возбуждения В»в», то правую часть уравнения (4.104) можно упростить следующим образом: (! |,б„!») = — »т»в» (1 ! х !»).
Сопряженное соотношение имеет внд (»' !»4„! 1) = »п»»в» (» ! х 1 1). (4.106) Теперь матричные элементы импульса из уравнения (4.101) можно исключить и получить соотношение 2„(2п»»в»)!й1(!!к !») !з = 1. (4.107) Очевидно, что точно такое же соотношение можно доказать при замене х на у или а, поэтому суммирование всех трех аналогичных соотношений дает ~ (2т»в»»30) ~ г, » ~з = 2, ~»» = 1, » где гм — краткое обозначение матричного элемента (1!г!»). Полученный резучьтат называется правилом г"-сумм (правилом сумм для сил осциллятора).
Замечательно, что квантовомеханические силы осцилляторов подчиняются точно такому же правилу сумм, как и доли г», на которые разделяются Л» осцилляторов в классической теории восприимчивости. Правило ~-сумм можно проиллюстрировать на примере атома водорода. Только Р-состояния имеют отличные от нуля матричные элементы вектора г для перехода в основное состояние 15.
Соответствующие величины для перехода в 2Р-состояние, которые следует подставить в (4.96), были вычислены в (3.27) и (3.28). Полная сила осцнллятора для трех вырожденных возбужденных состояний имеет внд ~» + — — 2'~/3" = 0,416. (4. 109) восприимчивость', зАвисящАя От чАстОты 125 Значения сил осциллятора') вплоть до перехода в состояние с л = 5 приведены в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
