1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Для таких значений со в выражении зеч. Ззв Фиг. 4.!. Изменение с частотой вещественной и мнимой частей вос- приимчивости дли значений иараметров 5 = '/м Г = ме/20. ГЛАВА 4 (4.16) всюду, кроме члена, содержащего оз — озо, можно в хорошем приближении заменить оз на озо и в результате получить Это выражение пропорционально функции Г/2п (мо м)з + (Г)2)з ° (4.19) которая описывает распределение частот для лоренцевой формы линии.
Функция (4,19) изображена на фиг. 4.3. О п,х Г,а у,к г,о мз/Емп 4эиг. 4.2. Изменение с частотой показателя преломления Ч и коэффициента экстинкции к Аля значений параметров 5 = '/„ Г = оз„)20. Константы в знаменателе выражения (4.19) выбираются нз условия обычной нормировки ~ ~е (оз) с(оз (4. 20) Как показано на фиг. 4.3, полная ширина лоренцевой линии на половине ее максимальной высоты точно равна Г. Для экспериментаторов часто представляет интерес коэффициент поглощения К, связанный с коэффициен- Воспниимчивостьс 3АВисящАя От чАстОты 99 том экстинкции н простым соотношением (2.12). Как по. казано на фиг.
4.2, зависимость к от частоты го в общем случае несимметрична относительно гое. Если исключить из выражения 2 Т1И зависящий от частоты показатель преломления ть то симметричная лоренцева форма этого У -2 -У О У г у (оз-4он)/Г Фиг. 4.3. Нориироаанаая функция лоренцеаой формы линии. выражения искажается, причем величина искажения определяется величиной гоо5/Г.
Если последняя мала по сравнению с единицей, то показатель преломления на всех частотах мало отличается от единицы, и в результате из (2.12) и (4.18) получим Зге Г/4а К ( )2 (Г/2)2 (Г « Фо ФОЗ/г « 1). (4 21) Следовательно, в этом пределе коэффициент поглощения имеет лоренцеву форму. Классический результат (4.14) относится к одной частоте атомного перехода, Восприимчивость газа из ато- ГЛАВА 4 мов, имеющих много частот возбуждения»В», вычисляется путем разделения Л» гармонических осцилляторов на отдельные группы г»М, в которых осцилляторы имеют частоту Вм и параметр затухания Г».
Тогда восприимчивость определяется суммой членов, сходных с выражением (4.14), причем каждой группе осцилляторов соответствует один член суммы: Х (»э) = 7,, ', (4. 22) В„л»»» - »В» — »В — ВВГ» где (4.23) Когда частота В» близка к одной из частот В»», то соответствующий член в сумме (4.22) доминирует и остальными вкладами часто можно пренебречь. Квантовомеханическая теория восприимчивости, описанная ниже, предсказывает частотную зависимость, очень похожую на зависимость классического результата (4.22).
Однако квантовая теория позволяет получить выражения для величин г», которые не определяются классической теорией, и показывает, что параметры затухания Г» в общем случае не описываются классическим результатом (4.1!). Поток энергии Интересно рассмотреть, каким образом выполняется закон сохранения энергии в классической теории взаимодействия электромагнитной волны с атомным или молекулярным газом. Мы исследуем случай, когда частота »» близка к данной частоте атомного перехода В»В. Рассматривая уравнения Максвелла (1.!) и (1.2), где плотность тока 1 заменена скоростью изменения поляризации Р, как и в уравнении (!.8), нетрудно получить следующий результат (см., например, (1, 2]): ~ Е Х Н ° »!а = — ~ (В„Е Е + РВН ° Н + Е Р)»Ь, (4.24) ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 1О! где Р— произвольный объем, окруженный поверхностью з. Используя (4.10) и (4.13), последний член в подынтегральном выражении справа можно преобразовать к виду Е Р = (~ВЛ'гп/Р') (Х + ГХ + е,'Х) Х = =(~ьУт/2Р) (д/д!) (Хг + гэгХт) + (гоЛГтГ/Р') Х'.
(4.25) Таким образом, подынтегральное выражение представляет собой сумму полной производной по времени и члена, содержащего параметр затухания Г, обусловленный силой трения. Полную энергию в единице объема газа удобно обозначить через В'и эта величина состоит из вклада поля излучения %„, и вклада атомов йг„, описываемых гармоническими осцилляторами классической модели. Следовательно, (4.26) где й РзР— — З (ВоЕ'+ РВЦ~) 1 (4.27) 1!я„= (Вьет/2)т) (Х~+ ыьтХт). (4.28) Здесь величина йг„„аналогична плотности энергии В'(о>), введенной в гл.
1, но только последняя относится к энергии в единичном частотном интервале, поэтому для нахождения полной энергии излучения она должна быть проинтегрирована как по объему, так и по частоте. В настоящем расчете предполагается, что электромагнитное поле имеет одну частоту возбуждения. На основе определения вектора Пойнтинга (формула (2.9)) уравнение (4,24) можно переписать в виде ~ 1 дз + ~ (~ьМтГХВ/У) дР = — ~ (т(йт~/д!) дР. (4.29) Теперь величина ~,УтГХ' представляет собой скорость, с которой гьй/ гармонических осцилляторов теряют энергию за счет силы трения. Таким образом, уравнение (4.29) выражает закон сохранения энергии в газе, причем члены слева являются скоростями потерь энергии !02 ГЛАВА 4 в объеме ч за счет переноса энергии через поверхность объема ~ и диссипации, а интеграл справа есть полная скорость потерь энергии, запасенной в объеме ч.
Теорию можно более тесно связать с измеряемыми величинами, если различные выражения для энергии усреднить по периоду колебания. Применяя теорему о среднем за период (формула (2.35)) к выражениям (4.27) и (4.28), получаем )УА = — в (1 + т14 + н') ~ Е ~з, изл 4 Э Ф„= (~ Мт74)г) (44'+ 44~) ~ Х |4, (4.31) Здесь была использована формула (2.8).С помощью выражения (4.12) 11г„можно переписать следующим образом: 144О 44 + 44 1 Усредненная по периоду полная плотность энергии в газе, получаемая из выражений (4.15), (4.16), (4.26), (4.30) и (4.32), имеет вид 974 — — — в„((24втр4/Г) + тД1 е г. (4.33) Этот результат отличается от часто используемого выражения для плотности энергии, в котором отсутствует первый член в скобках.
Обычное выражение не содержит энергию, запасенную в атомах, и эквивалентно результату (4.33) только тогда, когда частота электромагнитной волны достаточно удалена от частоты атомного перехода 4вю Уравнение для энергии (4.29) можно также переписать в усредненном по периоду виде. Из формул (4.27) и (4.48) видно, что в стационарных условиях, когда колебания имеют временную зависимость вида ехр( †14), усреднение по периоду приводит к следующему результату; д)Р'„/д1 = О (стационарное состояние). (4.34) ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 1ОЗ Поэтому уравнение (4.29) принимает вид ~ ! ° да+ ~ (~ВУтГаЧ Х ~з/21~)дР= 0 (4 35) где 1 — усредненный по периоду вектор Пойнтинга, определенный в (2.10).
Диссипация энергии в объеме Р за счет сил трения компенсируется потоком энергии внутрь объема Р через его поверхность. Если поступление электромагнитной энергии устранить, то ! = 0 и только два интеграла по объему останутся отличными от нуля в уравнении (4.29). После усреднения по периоду подынтегральные выражения этих интегралов можно приравнять друг к другу и получить уравнение дУ~~/д1 = — ~ВЖтГа' ~ Х ~з/2)А. (4.36) В противоположность результату (4.34) для стационарного состояния теперь плотность энергии уменьшается со временем. В отсутствие электромагнитного вклада в энергию имеем У~ = У„, и выражение (4.31) можно использовать для записи скорости днссипации при а = аас дУ„/д1 = — ГВ'„(а = ае). (4.37) Следовательно, скорость релаксации энергии, запасенной в атомах, равна параметру затухания Г в классической модели. Задача 4.1.
Правильное вычисление скорости потока энергии ВР через газ в стационарных условиях должно учитывать оба вклада в плотность энергии К~ в выражении (4.26). Следовательно, если скорость ов определяется формулой (4.38) ол = 1/)Рс докажите, что 1/од = (т1/с) + (К/Г). (4.39) 104 ГЛАВА 4 Сравните зависимость от частоты скорости оч и групповой скорости ош определяемой обычным образом: оо — — да/дй = с (т1+ м(дт1(дсо)) . (4.40) А(окажите, что при нулевом затухании Г = 0 скорость ио = ок. Соотношения Крамерса — Кроиига Восприимчивость т(ы), введенная в (4.5), определяет отклик атомов на воздействие в виде приложенного электрического поля.
Восприимчивость принадлежит классу функций, называемых функциями отклика. Такие функции имеют некоторые общие свойства, не зависящие от какой-либо частной теоретической модели системы, которую они описывают. Мы проиллюстрируем эти свойства для случая восприимчивости, определяемой выражением (4.14), а затем укажем, как данные свойства можно установить в общем случае. Классический результат для восприимчивости (4.14) можно записать в виде ~ ) (~~ед'~м1г ~ 1 1 ~ (4 41) где разделение на отдельные слагаемые осуществлено при помощи введения двух частот: в, = — ~ 1(à — (Г' — 4в~о)") (4.42) в, = — Тз (Г+ (Г' — 4иЭ'*).
(4.43) Положения частот в1 и вз на комплексной плоскости частот показаны на фиг. 4.4. Эти положения зависят от того, больше или меньше величина Г удвоенной частоты 2ом но в обоих случаях полюса лежат ниже вещественной оси в нижней полуплоскости. Некоторые важные свойства, известные как соотношения Крамерса — Кронига, или дисперсионные соотно- воспвиимчивостБ, зАВисяшАя От чАстоты 1Об шения, можно вывести для восприимчивости в форме выражения (4.41). Рассмотрим интеграл я 1 х ( ~ ) ~ ~ со (4А4) ч где У обозначает главное значение интеграла в смысле Коши Д, определяемое в виде предела и+ о (4.45) Путь интегрирования для 7 лежит вдоль вещественной осн комплексной плоскости со', как показано на схеме фнг. 4.5, а.
плоск Г< 24оо Г>2шо Фиг. 4.4. Расположения полюсов восприимчивости в комплексной плоскости частоты. Требуемый интеграл может быть вычислен с помощью контурного интегрирования. Пусть А, В и С— интегралы от точно такого же подынтегрального выра. жения, что и в (4.44), но вычисленные по контурам, обозначенным этими буквами на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
