1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Докажите следующие свойства дельта- функции: Ь (ВТ вЂ” гВВ) = б (газ — о)), (3.69) б (мо — Ьа) = (Ц Ь! ) б ((мс/Ь) — гв) (3.70) Ь ((ы — ы) (м — ы)) = (3.71) 1Ф вЂ” Ф,! Здесь Ь вЂ” константа. В каждом случае равенство означает тот факт, что обе части уравнения дают один и тот же результат при умножении их на некоторую функцию и интегрировании. При выводе выражения для коэффициента В использовалось решение, определяемое формулой (3.50) для промежутков времени !, больших по сравнению с характерными временами !/аз и 1/Лм, определяющими результаты экспериментального наблюдения поглощения света. В этом пределе больших времен удобно ввести дельта- функцию в представлении (3.6!) и переписать выражение (3.43) следующим образом: 1С,(!) !В=( 1У „!В!/2) Ь(,— ).
(3.72) Выражение (3.72) более компактно, а интегрирование по области частот Лы проводится элементарно, если использовать соотношение (3.66). Результат (3.72) можно применить к любому процессу перехода, где зависящая от времени часть гамильтониана пропорциональна соэгэ1; только величина матричного элемента Х'м различна для разных процессов.
Необходимо подчеркнуть, что дельта-функция обладает высокой сингулярностью и может иметь физический смысл только в том случае, когда она стоит под знаком интеграла и интегрирование производится по аргументу дельта-функции. Тем не менее дельта-функция широко используется в уравнениях, как, например, в (3.72). Во всех этих случаях необходимо иметь в виду, что интегрирование будет проведено на более поздней стадии вычислений и до получения физически измеримых величин. ГЛАВА 3 ЛИТЕРАТУРА 1. ()(с(ге )7. Н., буайе Л Р., 1п1гобнсйоп 1о бцап1цпз гпес)зап(сз, Айб!зоп-Без!еу, йеаб)пи, 1960, р. !02.
2. Бп(зтап 67. )г., Рйуз. Кеч. 1.е(1., 26, 220 (!971). 3. 0гефя( Н. В., ТаЫез о1 (п1екга(з, Масса)!(ап, Меч«Уог)г, 1961, р. 221 (См. перевод: Г. Б. Даайт, Таблицы интегралов, изд.во «!1аука», 1966.) 4. Вейе Н, А., Яа(ре(ег Е. Е., 10нап1шп тес)гап!сз о( опе- апб (ч«ое!ес(гоп а(опзз, брг!пбег-Чег!ад, Еег!(п, 1967, р. 226 (См. перевод: Г. Беге, Э, Соллигер, Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами, Фнзматгиз, 1960.) Глава 4 Восприимчивость, зависящая от частоты Прохождение электромагнитной волны через атомный газ определяется показателем преломления и коэффициентом экстинкции, введенными в уравнении (2.4).
Например, коэффициент поглощения прямо пропорционален коэффициенту экстинкции в выражении (2.12). Этн величины являются функциями частоты электромагнитной волны ы н очень быстро меняются с в в окрестности частоты атомного перехода. Теория Эйнштейна предсказывает скорости поглощения и испускания для светового пучка, распределение частот которого занимает область частот, где атомный переход приводит к значительному поглощению.
Эта теория дает выражение (2.39) для интегрального коэффициента поглощения, однако не позволяет определить частотную зависимость параметров Ч, х или К. Из (2.5) и (2.6) видно, что эти частотные зависимости определяются частотной зависимостью восприимчивости у. Эта зависимость обеспечивает информацию, необходимую для полного описания распространения электромагнитной волны. В настоящей главе будут описаны общие свойства функции восприимчивости и рассмотрены два метода ее вычисления. Сначала обсуждается классическая теория восприимчивости. Метод рассмотрения очень прост и дает возможность понять природу взаимодействия излучения с атомами.
Затем будет показано, что квантовая теория восприимчивости приводит к результату, сходному с классическим выражением. 94 ГЛАВА 4 Е(!) = ~ Е(а) ехр( — йо!) ЫГВ. (4.!) Фурье-коэффициенты Е(ы) определяются обратным преобразованием Е(ГВ) =(1/2п) ~ Е(!)ехр(йвг)Ж.
) (4.2) Чтобы поле Е(!) было вещественным, коэффициенты разложения Е(в) должны удовлетворять соотношению Е( — е) =Е'(а). (4.3) Поле Е(!) можно рассматривать как приложенное к атомам возмущение, под действием которого они поляризуются. Если функция Р(Г) есть атомная поляризация в момент времени 1, то ее тоже можно разложить в интеграл Фурье ) Р(!) = ~ Р(в)ехр( — йо!)Г(ГВ. ) (4.4) Восприимчивость т (ГВ) определяется соотношением Р(в) = езт,(а) Е(ГВ).
(4.5) Необходимо отметить, что, как и в случае вычисления коэффициента В в предыдущей главе, отклик атомов на приложенное поле линеен по Е(ы) только для не слишком сильных полей. В случае полей мощных лазерных световых пучков в правой части формулы (4.5) существенны члены, содержащие более высокие степени Е(ы). Обусловленные этими членами нелинейные оптические Определение восприимчивости Наше изложение удобно начать с уточнения определения восприимчивости, приведенного в начале гл. 2. Рассмотрим эксперимент, в котором на атомный газ действует электрическое поле, описываемое вещественной функцией ЕЯ. Не уточняя вид функции Е(!), предположим, что ее можно разложить в интеграл Фурье по частотным составляющим Е(ы) О ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 96 процессы рассматриваются в гл.
12; в настоящей главе поля предполагаются достаточно слабыми, чтобы линейная восприимчивость Х(в) обеспечивала адекватное описание атомной поляризации. 11одстановка соотношения (4.5) в (4.4) дает Р(г) = е, ~ Х(в)Е(в) ехр( — (в1)сгв. (4.6) Вещественное поле создает вещественную поляризацию, поэтому, для того чтобы величина РЯ была вещественной, восприимчивость должна удовлетворять соотношению (4.7) Х( — в) =Х (в) Разделение восприимчивости Х(в) на вещественную и мнимую части таким мсе образом, как в (2.3), приводят к равенствам Х ( — в)=Х (в) (4.8) и х" (- в) = — х" (в).
(4.9) Эти равенства называются кросс-соотношениями для восприимчивости; они показывают, что Х(в) необходимо вычислить только для полей вида Е(в)ехр( — (в1), где в— положительная частота. Кросс-соотношения обусловлены лишь условием, что вещественное воздействие должно вызвать вещественный отклик. Классическая теория восприимчивости В классической теории восприимчивости У атомов в объеме г' описываются Л' гармоническими осцилляторами с затуханием, обладающими массой т и зарядом — е. Рассмотрим данную частоту атомного перехода вв Допустим, что некоторая часть 1, из У гармонических осцилляторов имеет естественную частоту,вв Сначала определим вклад этих осцилляторов в Х(в), а вкладом всех остальных осцилляторов пренебрежем.
Электромагнитная волна с электрическим полем Е = Е, ехр( — 1вГ), поляризованная в направлении х, возбуждает вынужденные ГЛАВА 4 колебания. Так же, как на фиг. 3.1, рассмотрим атом, помещенный в начало координат, и пренебрежем пространственным изменением электрического поля. Уравнение движения осциллятора имеет вид гп (Х+ ГХ+ в'Х) = — еЕ = — еЕ, ехр( — ив!). (4.10) Решение уравнения (4.!О) имеет вид — ед Х= т (а~з — в — нвг) (4. 12) а поляризация атомного газа, обусловленная смещенными зарядами гзМ осцилляторов, дается выражением р ~.~~~ ~.~" Е" хп ( — ~~>~! '"к (мо и 'мг) Отсюда в соответствии с определением (4.5) получим восприимчивость ~оМе'(Аат !г Ха (4.14) В окрестности атомного перехода на частоте ыз это классическое выражение для зависящей от частоты восприимчивости можно использовать для нахождения изменеяий показателя преломления т! и коэффициента поглощенна К, которые экспериментально более доступны.
Согласно формулам (2.5) и (2.6), 1 + Х' = т!' — х' = ! + " , , (4.15) мФ(мо и ) (из из)2.! и~тз Здесь точки обозначают производные по времени, Х— смещение заряда относительно его положения равновесия. Сила трения тГХ описывает потерю энергии колеблющимся зарядом за счет излучения электромагнитных волн. Излучение ускоренным зарядом является классическим аналогом квантового процесса спонтанного излучения. В гл. !! показывается, что потерю энергии осциллятором можно описать, как в уравнении (4.10), с помощью силы трения, пропорциональной скорости, если положить Г = е'в'/бпе тсз (4.11) ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ йт ЯОЗМГ Хм=2цм= ( е е)е + ЗГЗ (4.!6) где 5 — безразмерная величина 5= т" Уе% т)гсое, (4. 17) характеризующая силу взаимодействия между осциллятором и электромагнитной волной.
Из формул (4.16) и (4.16) видно, что величины т' и тм подчиняются кросс- соотношениям (4.8) и (4.9). Зависимость т' и тм от частоты для выбранных частных значений 5 и Г/соо показана на фиг. 4.1, а соответствующее изменение т) и и, полученное из (4.16) и (4.16), приведено на фиг. 4.2. При этом предполагалось, что центральная резонансная частота све намного больше параметра затухания Г. В этом случае функция ум имеет значительную величину только при условии, что частота щ близка к гое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
