1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4.5,б — г. Различч ные интегралы удовлетворяют соотношению 1=А † в. (4.46) Поэтому значение! определяется путем вычисления трех стоящих справа интегралов. 106 ГЛАВА Е Подынтегральное выражение имеет три полюса: один, указанный на фиг. 4.5,а, при ш' = ш, и два других полюса, которые нас не интересуют, лежащие в нижней оу'-плоскоспть Фиг. 4.6. Контуры интегрирования, иснольэуемые для получения соотношений Крамерса — Кронига. Раднус контура в виде большой налуокружностн в действнтельностн бесконетек.
полуплоскости при ш' = ш~ и ш'= шт. Интеграл А берется по замкнутому контуру, не содержащему полюсов, причем внутри контура подынтегральное выражение регулярно. По теореме Коши 12] А=О. (4.47) Контур для интеграла В содержит лишь очень большие значения ~ш'~, для которых подынтегральное выражение ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 107 пропорционально (в')-з. Поскольку длина контура равна и(в'~, то величина В порядка (в')-', и, следовательно, для контура бесконечного радиуса В =-О.
(4 АЗ) (ооХ( ) =У ~ (4.50) Отметим, что, несмотря на комплексные значения в', использованные в выводе, конечный результат (4.50) содержит только вещественные физические частоты. Соотношения Крамерса — Кронига получаются с помощью разделения вещественной и мнимой частей уравнения (4.50): О Х' (в') (4.51) (4.52) С другой стороны, кросс-соотношения (4.8) и (4.9) мож- но использовать для ограничения областей интегрирова- ния только положительными частотами в'. Ю л ~ в в о (4.53) о (4.54) В результате остается только интеграл С по контуру в виде полуокружности с центром в полюсе прн в'= в.
Согласно теореме вьщетов (3), С = — 1ит (в). (4А9) Таким образом, интеграл 1 из (4.44) определяется следующим выражением: 1ОВ ГЛАВА 4 Прежде чем обсудить важность и полезность соотношений Крамерса — Кронига, сделаем замечание об их общности. Выше они были получены на основе частного выражения (4.41) для восприимчивости, которое в свою очередь основывается на частной модели атомов. Однако при выводе уравнения (4.50) были использованы только два свойства выражения для т(в): 1) положения полюсов ы~ и газ ниже вещественной оси и 2) более быстрое уменьшение, чем ы-', при больших значениях в. Сначала рассмотрим положения полюсов функции т(в).
Из общих рассуждений можно математически доказать, что полюсы функции отклика должны лежать в нижней полуплоскости (4, 5]. Детали соответствующих немного громоздких теорем здесь не приводятся. С физической точки зрения этн теоремы зависят только от принципа причинности, согласно которому отклик системы не может предшествовать вызывающему его воздействию. В данном случае если электрическое поле Е(() начинает действовать на атомы после некоторого времени ~~, то поляризация Р(1) может быть отличной от нуля только при () 1м Принцип причинности вводит асимметрию между временем 1 ((, н временем 1 ) (о, которая, как можно показать математически, ведет к асимметрии в области частот, определяемой полюсами функции отклика, которые всегда лежат ниже вещественной оси. Для модели атомов в виде классического осциллятора принцип причинности проявляется в условии положительности величины Г.
Поляризация, вызванная приложенным полем, должна со временем затухать, а возможности создания поляризации до приложения поля не существует. Положительность Г обеспечивает расположение частот ы~ и ыь определяемых формулами (4.42) и (4.43), ниже вещественной оси. Следовательно, соотношения Крамерса — Кронига для восприимчивости и других видов функции отклика могут быть доказаны в общем случае, если можно доказать второе необходимое свойство: более быстрое, чем ы ', уменьшение т(ы) при больших значениях ы. Соотношения Крамерса — Кронига показывают, что вещественная и мнимая части восприимчивости очень ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 109 тесно связаны. Действительно, знания одной части восприимчивости на всех положительных частотах достаточно для вычисления интеграла в (4.53) или (4.54) и, следовательно, для полного определения другой части восприимчивости на всех частотах.
Это свойство часто является полезным в таких экспериментах, где легче измерить одну часть восприимчивости т(гэ), чем другую. Соотношения Крамерса — Кронига показывают, что из существования зависящей от частоты вещественной части т'(гэ) следует существование ненулевой мнимой части ТР(гэ). Поведение величин Х'(ы) и ТР(в), проиллюстрированное на фиг. 4.1, типично для связи между двумя функциями, опредсляемой соотношениями Крамерса — Кронига. В любой теории или экспериментальном измерении острый максимум функции т"(ы) должен сопровождаться резким изменением знака функции Х'(в). Задача 4.2. Докажите, что (4.55) О и, следовательно, мнимая часть восприимчивости равна нулю, если вещественная часть постоянна. Задача 4.З. На основе точного вычисления интегралов докажите, что классическое выражение для восприимчивости (4.14) удовлетворяет соотношениям Крамерса — Кронига.
Восприимчивость, определяемая выражением (4.14), на котором было основано приведенное выше рассмотрение, относится к случаю одной атомной частоты перехода. Однако точно так же можно было бы использовать выражение (4.22) для атомов, имеющих много частот переходов; поскольку полюсы каждого члена в сумме (4.22) лежат ниже вещественной оси, то точно такие же соотношения Крамерса — Кронига можно доказать для восприимчивости более общего вида.
Соотношения Крамерса — Кронига можно также получить для вещественной и мнимой частей выражения (1+Х) А, т. е. для показателя преломления и коэффи« ГЛАВА 4 циента экстинкции, определенных в (2.4). Эти соотношения имеют вид 00 н (е2) = — — У ~ ч," йо' (4 56) о з)(е2) — 1 = — У ) „2(ез. 0 Г 22'20(02') Д 22 222 о (4.57) Характерное сочетание острого пика функции к(е2) с изменением знака функции 21(2е) — 1 проиллюстрировано на фиг. 4.2. В этом приближении электроны ведут себя так, как если бы для очень высоких частот 2в, рассматриваемых в (4.58),они были свободными, поскольку отсутствие поглощения на частотах выше е2,„, означает, что величина Гы много больше любой энергии связи электрона. В этом случае частотная зависимость вещественной части восприимчивости имеет простой вид, который можно получить из классического выражения (4.22).
Это выражение удобно немного обобщить путем рассмотрения атома, имеющего Л электронов, как это использовалось в вычислениях гл. 3. Тогда высокочастотный предел вещественной части выражения (4.22) принимает вид Х'(ы) - - ~йГе'М~т)'<~' (ы > <~ивкс) (4 58) Правила сумм Важным применением соотношений Крамерса — Кронига является вывод правил сумм. Для любого атомного или молекулярного газа существует такая большая частота е2м0н0, что на частотах е2, больших а2,к„ значениЯ т" и х пренебрежимо малы и газ является прозрачным. Чтобы получить правило сумм для восприимчивости, запишем уравнение (4.54) для частоты е2, большей е2м0к0, в следующем приближенном виде: К'(и) = — (2/поР) ~ «2'Х" (е2') йо' (е2 > ез„,„,).
(4.58) о ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 111 Втх" (в) Ыв = ПЛ йГе'/2е,пт)т, о (4.60) Результат такого типа называется правилом сумм, а частный пример (4.60) называется правилом сумм Томаса — Рейхе — Куна. Оно выполняется в общем случае для всех видов атомов и молекул. В правой части равенства (4.60) единственной переменной является электронная плотность 2Ж/К Следует отметить, что правило сумм (4.60) относится к интегралу по полному спектру поглощения атомов; интеграл, приведенный ранее в (2.40), относится к одному атомному переходу.
Задача 4А. Предполагая справедливость соотношений Крамерса — Кронига (4.56) и (4.57) для к(ы) и т1(гв), докажите, что ~ ген (а) сХга = ПЯйГВ'(4а,тЪ'. (4.6!) о Отсюда покажите, что коэффициент поглощения т((о) подчиняется правилу сумм 2 МУ' о (4.62) Квантовая теория восприимчивости Квантовомеханическое выражение для восприимчивости можно получить с помощью вычислений, подобных тем, которые использовались в гл. 3 для нахождения коэффициента В. Мы снова рассмотрим газ с-электрон- Здесь каждый из Л электронов дает вклад, равный вкладу одного свободного электрона. В дальнейшем в настоящей главе (см.
формулу (4.114)) будет доказано, что высокочастотный предел восприимчивости, вычисленный методом квантовой механики, согласуется с выражением (4.59). Теперь, комбинируя формулы (4.58) и (4.59), полу- чаем гллвА 4 1!2 ных атомов, на которые действует возмущение в виде электромагнитной волны с частотой 4з, лежащей вблизи частоты атомного перехода 4эм Как и в гл. 3, мы исследуем сначала один атом, взаимодействие которого с электромагнитной волной описывается гамильтонианом Ж4 из (3.!8). Затем результат, найденный для одного атома, соответственно усредняется для получения аналогичного результата для газа, состоящего из атомов или молекул, ориентированных случайным образом.
Гамильтониан Ж, описывает атомное возмущение, созданное приложенным электрическим полем ЕасозИ, которое содержит компоненты с положительной (+ы) и отрицательной ( — ы) частотами. В соответствии с формулой (4.!) приложенное поле запишем в виде Е (1) = — Е, (ехр ( — 44а!) + ехр (44а!)). (4.63) 1 Действие электрического поля на атомный газ создает поляризацию Р(!), определяемую уравнениями (4.4) и (4.5). В специальном случае, когда поле Е(1) описывается формулой (4.63), Р (!) = — азЕ„(Х(4в) ехр ( — !4э!) + Х ( — 4ь) ехр (!4з!)). (4.64) 1 Метод вычисления заключается в нахождении поляризации Р(1) с помощью квантовой механики и последующем определении восприимчивости у(4в) путем сравнения полученного выражения с результатом (4.64). Сначала рассмотрим вклад в поляризуемость газа одного пробного атома. Допустим, что приложенное электрическое поле направлено вдоль оси х, как на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
