1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Прежде чем искать приближенные решения, полезно рас- смотреть специальный случай, когда эти уравнения легко решаются. Задача З.З. Рассмотрите решение уравнений (3.3!) и (3.32) для специального случая а = О, когда электрическое поле, действующее на атом, постоянно во времени. Покажите, что в этом случае величина Сг удовлетворяет уравнению гэга д + ! УРН ! Сэ = 0 (3.33) д'Сг .
дС, д4 Докажите, что если при ! = 0 атом находится в своем нижнем состоянии фн то значение )Сг~' определяется выражением ! С !г гг ! з(пг((гэг+ 4!УР ~г)чг 7~2) а значение (Сг(г можно найти из условия нормировки (3.9). Обе величины ~ С, ~' и )Сг!г представлены на фиг. 3.2 в виде функции времени для нереально большого значения отношения )У'гг)/гам указанного на графике. Период колебаний этих величин определяется временем (Фг+ 4 ! у',г ~г) А Величины !Сг!' и )Сг~г есть зависящие от времени вероятности нахождения атома в его нижнем и верхнем состояниях.
Для более реальных значений )у'гг!г вероятность нахождения атома в его возбужденном состоянии очень мала и в максимуме достигает величины порядка 4!у гг!г/гэ'. 78 ГЛАВА а Вычисление коэффициента Эйнштейна В в принципе сходно с решением приведенной выше задачи, однако теперь уравнения (3.31) и (3.32) необходимо решить для случая, когда частота го близка к частоте перехода оуо. Вновь примем, что в момент времени 1 = 0 атом нахо- о 7 2 У Фнг. 3.2. Вероятности )С, р н (Сер нахождения атома в нижнем н верхнем состояннях прн действии приложенного постоянного поля.
Прадиолвгастся, что ири Г О атом находится в иввоамугдеииам иижвсм состоянии. дится в своем нижнем состоянии трь поэтому граничные условия имеют вид »а Сг (0) = 1 и Са(0) =О. (3.36) Величина (С2(1) /2 опять есть вероятность нахождения атома в верхнем состоянии ф, в момент времени Скорость (Св(1) ~9с, с которой возрастает вероятность нахождения атома в его возбужденном состоянии, является скоростью квантовомеханического перехода. Сравнивая эту скорость с определениями Вга на фиг. 1.8, получаем В 21(г (оу) = ~ С2 (г) бс, (3.37) где 1Р'(со) — усредненная по периоду плотность энергии электромагнитной волны, показанной на фиг. 3.1, Следо- КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭЙНШТЕЙНА В 79 вательно, вычисление величины Сз(1) дает требуемое квантовомеханическое выражение для Вд.
При отсутствии точного решения ') уравнений (3.31) и (3.32) неравенство (3.30) наводит на мысль о возможности получения выражений для С, и С, в виде ряда по степеням У нь Если начальные значения С~ и Ст 1формула (3.36)) подставить в левые части уравнений (3.31) и (3.32) н проинтегрировать по времени, то в первом приближении получим следующие временные зависимости величин С~ и Ст. С, (1) =! и У'~т ( 1 — екр Р (саа + ы) т) 1 — ехр [~ (ыа — ат) ~) ~ (3.38) Подставляя эти решения в левые части уравнений (3.31) и (3.32) и еще раз интегрируя по времени, получаем второе приближение, в котором величина Ст(1) остается без изменения, а уточненное выражение для С1(() принимает вид С, (т) — 1+) У', )з У((функция )), (3.30) Теперь можно найти третье приближение н т. д.
Для связанных уравнений таким образом получается итерационное решение, в котором С1(() выражается в виде ряда по четным степеням )У',т~, а Ст(1) — в виде ряда по нечетным степеням У'1з или У)')т. Предполагается, что при выполнении условия (3.30) оба ряда быстро сходятся. Согласно (3.23), эти ряды можно также рассматривать как разложения по степеням электрического поля Еа.
Плотность энергии волны связана с Еа соотношением 2 взЕа = ~ )1' (ш) ~(ш (3.40) которое после интегрирования по объему становится сходным с соотношением (1.51). Сравнение членов с оди- ') Уравнения (3,31) н (3.32) были численно решены в работе (21. В атой работе можно найти кривые временнбй зависимости )Ст(т) 1' лля нескольквк значений ыа — ек ГЛАВА 3 иаковыми степенями Е, в левой и правой частях равенства (3.37) показывает, что требуемое выражение для Вш можно получить, если величину С,(1) вычислить с точностью до членов первого порядка по Е, или, эквивалентно, по У'и Для этой цели достаточно уже первого приближения «выражение (3.38)).
Члены более высокого порядка по Е„входящие в выражение для Сэ(Г), в соответствии с приведенным выше анализом дают скорости перехода, пропорциональные второй и более высоким степеням величины У(в). Такие переходы относятся к области нелинейной оптики, где линейная теория поглощения и излучения Эйнштейна яеприменима. Они не наблюдаются в экспериментах с обычными световыми пучками, но играют важную роль в случае интенсивных световых пучков, получаемых в импульсных лазерах, когда неравенство (3.30) момсет не выполняться. Рассмотрение процессов нелинейной оптики мы отложим до гл. 12, а здесь ограничимся линейным случаем, где адекватным решением является выражение (3.38) . Второй член в линейном решении (3.38) для Сэ(1) намного больше первого члена.
Рассмотрим случай, когда частота света ы точно равна ыа и выражение (3.38) принимает вид С2 (1) = — 0У1э/2ви) «ехр (сво1) з1п ыоГ + вД. (3.41) В дальнейшем будет получено, что характерный период времени 1, в течение которого происходят атомные переходы, обычно порядка 10-" с нли больше, тогда как типичное значение частоты ыэ из (2.14) порядка 1Ом Гц. Поэтому неравенство (3.42) гао1 )) 1 выполняется очень хорошо для интервалов времени1,интересующих нас при данном расчете. Другими словам , проходит много периодов колебаний электромагнитного поля, прежде чем вероятность атомного возбуждения достигнет значительной величины. Следовательно, второй член в скобках выражения (3.41) намного больше первого члена, и это утверждение остается справедливым.
когда частота ы близка, но не равна точно ым КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭЙНШТЕЙНА В ар Таким образом, в хорошем приближении первым членом в основном решении (3.38) можно пренебречь и переписать это решение в виде ~С (~)!2=~у' ~2 гыгНФ' Ф)Г/Е) 2 !2 (Ф Ф)2 Когда частота г2 точно Равна Е22, веРоЯтность атомного возбуждения возрастает со временем квадратично: ~С2(Г) 1~= 4 ~ У 1 !ггг (а=ыо), (3 44) но если частота ш отличается от частоты шг, то зависимость ! Сг(Г)!2 от времени имеет колебательный характер.
На фиг. 3.3 показана зависимость величины )Сг(1) (2 от частоты гг при фиксированном значении времени Г. С возрастанием Г величина максимума кривой растет пропорционально 22, а нули функции смещаются вдоль горизонтальной оси к началу координат. Выражение (3.43) является требуемым решением для вероятности перехода атома в его возбужденное состояние за время й Однако, прежде чем этот результат связать с измеряемой скоростью перехода, его необходимо преобразовать.
До сих пор предполагалось, что частота перехода см является строго определенной величиной, которой можно приписать математически точное значение. Это предположение не соответствует условиям любого реального эксперимента, в котором всегда имеется нскоторая неопределенность значения аг.
Все спектроскопические приборы имеют конечное разрешение, поэтому измеряемые частоты спектральных линий определяются с точностью до некоторой величины Лгг. Даже если рассмотреть идеальный эксперимент с совершенным разрешением по частоте, то все равно имеется более фундаментальное ограничение, обусловленное собственными ширинами самих спектральных линий. Различные источники уширения частот атомных переходов описываются в гл. 4 и 5. Хотя некоторые из этих источников можно, по крайней мере в принципе, устранить, однако вследствие процесса спонтанного испускания всегда существует неустранимая составляющая неопределенности ГЛАВА 3 значения Лот. Следовательно, величина неопределенности Лез для значения юо зависит от множества факторов и может существенно меняться от эксперимента к экспе- -4ли -2ргl З О Хгг! З 4ргут ото Фиг, З.З. Зависимость вероятности )Ст Р нахождения атома на его верхнем уровне в момент времени Г от частоты возбуждающего света ы.
Ордината кривой прн в ее есть Не ) и'и ~а Н. рименту. Приведем типичное значение Лю, которое следует иметь в виду: Лщ = (ОйГц. (3.45) Неопределенность величины юо можно учесть путем интегрирования выражения для ) Сй(~))й по области Лю.
Интерпретируя теперь юй как центр распределения частот перехода и учитывая формулы (3.23) и (3.40), запишем выражение (3.43) в виде еье 12 !С (Е) р 2еНЛмр ( ()у( ) Мп ((ые — ы) Г12) Ыю. (3.46) еч-Чв Асс Будем предполагать, что плотность энергии излучения имеет постоянное значение гр'(юй) на всей области Лот. квантовая тнория коэо рнцнвнтл эинштвинл н вз Тогда выражение (3.46) можно переписать следующим образом: ! С,(1) )5 = (2еа ~ Хгя 15 (()г(шо)/еойв) 1, (3.47) где от+ха ьм 5!и ((яъо — от) 1/2) (3.48) о (ото — со)' Яе-гуа Лм Зависимость значения интеграла 1 от Лот и 1 приведена на фнг. 3.4.
Два предельных значения этого интеграла 70 0 10 20 50 Ыау Фиг. ЗА. Зависимость значения интеграла, определенного в (3.48), от Г (сплопгная кривая), Пунктирная крнеая построена на основе аннеаного прябаяжеяня (3.55). можно записать аналитически. Из фнг.
3.4 видно, что для малых значений (бш подынтегральное выражение является почти константой, поэтому 1= — (ЯЛш ((бш «1) 1 4 Для больших значений (бсо интегрирование в (3.48) производится почти по всей области под кривой на фиг. З.З 84 ГЛАВА 3 и предельное значение интеграла имеет вид (3) 2 1 (3.50) Линейная по / предельная зависимость (3.50) изображена пунктирной линией на фиг. 3.4. Как видно из фиг. 3.4, точное значение / описывается кривой с небольшими модуляциями, обусловленными нулями функции, показанной на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
