1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 13
Текст из файла (страница 13)
3.3. С увеличением значения 1Лы линейная зависимость становится все более и более хорошим приближением. Согласно уравнению (3.37), коэффициент Эйнштейна В связан с теорией поглощения, в которой вероятность возбуждения атома пропорциональна промежутку времени /, прошедшему после включения поля. Это соответствует линейной временнбй зависимости /, описываемой выражением (3,50) квантовой теории поглощения. Комбинируя формулы (3.47) и (3.50), получаем ~ Сэ(/) ~'= ле'~ Х„г ))7 (в,)//а„д'.
Последний результат будет нами использован для получения квантовомеханического выражения для коэффициента В. Обычно квадратичной временнбй зависимостью описываемой выражением (3.49), можно пренебречь, так как эта зависимость реализуется для очень коротких промежутков времени, когда вероятность возбуждения 1С,(/)1э настолько мала, что является ненаблюдаемой величиной. В большинстве экспериментов наблюдаемые переходы соответствуют более значительным промежуткам времени /, когда сплошная линия на фиг. 3.4 служит хорошим приближением для точной зависимости /.
Существование начальной квадратичной зависимости I от Г можно качественно объяснить следующим образом. Фурье-компоненты электромагнитной волны с фиксированной частотой, но конечной длительности г распределены по частотному интервалу порядка 2п/Г (см. вычисление ударного уширения в гл. 5). Следовательно, для времени /, меньшего 2п/Ьв, только доля энергии волны, равная Ига/2л, приходится на распределение атомных частот перехода пг», и вероятность возбуждения за вре- кВАнтОВАя теОРия кОэФФициентА эпнштеннА а аб мя 1 пропорциональна ТТЛы.
С другой стороны, для времени 1, большего 2я/Ьгэ, вся падающая на атом электромагнитная энергия может быть сосредоточена внутри частотного интервала бв; в этом случае нет дополнительного множителя Тбы/2п, а вероятность возбуждения просто пропорциональна С Линейное приближение, реализованное в выражении (3.51), должно, очевидно, нарушаться для таких промежутков времени, когда величина ) Сз(1) 1А, согласно (3 51), больше единицы, что противоречит условию нормировки (3.9). Однако для больших промежутков времени число возбужденных атомов можно определить с помощью уравнений (2.19) — (2.23), если только величина коэффициента В уже вычислена.
При таких больших промежутках времени нарушение линейного приближения обусловлено членами более высокого порядка по У'ы в разложениях С1 (1) и Ст(1). Выражение для коэффициента В Теперь вычисление коэффициента Эйнштейна В в принципе закончено. Однако, прежде чем записать результат, необходимо рассмотреть переход от расчета, проведенного для одного атома, к расчету для случая газа, состоящего из одинаковых атомов. Допустим, что возмущение Аэт действует одновременно на большое число одинаковых атомов Ж. В момент времени 1 каждый атом будет с вероятностью 1С~1э находиться в своем нижнем состоянии ф~ и с вероятностью (С,1' — в своем веРхнем состоЯнии фь ПоэтомУ сРеднив числа атомов в этих двух состояниях определяются выражениями Ж, = У1С, 1' и У,= Л') С,Р.
(3.52) Тогда из условия нормировки (3.9) следует, что населенности уровней удовлетворяют требованиям сохранения числа атомов (!.75). Формулы (3.52) можно использовать для установления связи между квантовомеханиче« скими амплитудами вероятности нахождения атома в определенных состояниях С~ и См вычисленных для од- 86 ГЛАВА 2 (3.53) Х„=е 02, где 12 ~ !! 12 (3.54) а вектор 0 определен в (3.17). ДлЯ данной паРы состоЯний 2Р! и ф2 вектоР Ры имеет определенную пространственную ориентацию, которая в газе меняется случайным образом вследствие случай ных ориентаций атомов и молекул.
Чтобы получить коэф. фициент В для газа, используя выражение (3.51), величину )Х!2!2 необходимо усреднить по всем случайным ориентациям вектора Онь Требуемая усредненная величина содержит среднее значение соз2 О, где Π— угол между векторами О1, и е. Поскольку — 1 соз'8 =— 3 (3.55) то, производя в (3.5!) замену 1Х!2~2-~1Х,,'= —,! 0!2(' '2 (3.56) и сравнивая выражения (З.З?) и (3.5!), получаем сле- дующий квантовомеханический результат для коэффи« циента Эйнштейна; (3.57) В!2 = пе'! Рм !2/Звзйз. ного атома, и населенностями уровней большого числа одинаковых атомов. Однако даже в случае газа из одинаковых атомов нли молекул пространственные ориентации соответствующих электронных состояний меняются случайным образом от атома к атому нли от молекулы к молекуле.
Полезно привести выражение для коэффициента В, в котором случайные пространственные ориентации уже точно учтены. Пусть е есть единичный вектор в направлении электрического поля электромагнитной волны, которое выбрано в качестве оси х на фиг. 3.1. Матричный элемент Х,2 можно записать в виде квхнтовля твогия коэефнципнтх эпнштепнх в Вт В отсутствие падающей электромагнитной волны гамильтониан Мг обращается в нуль, а состояния ф и фз вновь становятся стационарными состояниями полного гамильтониана, который теперь сводится к одному гамильтониану Мв. Переходы из состояния 1 в состояние 2 не могут происходить даже тогда, когда энергия состояния 2 меньше энергии состояния 1.
Полуклассический метод настоящей главы не включает процесса спонтанного излучения, поэтому для удовлетворительного анализа необходимо использовать квантованное поле излучения. Такой анализ проводится в гл. 8. Однако правильное выражение для коэффициента А можно найти, комбинируя общие соотношения между коэффициентами Эйнштейна, приведенные в (1.59) и (!.60), с квантовомеханическим выражением для Вм. В результате получим гпьзй я~э мэ ~ !Зм ~ з и з з ° 1м =,~2 3 Вм = зпз д~ъ (3.58) п2сзд з асс' Величины коэффициентов А можно легко вычислить для случая атома водорода. Рассмотрим переходы между состояниями !5 и 2Р. Имеются три 2Р-состояния, обладающие одинаковыми скоростями перехода из состояния 15, поэтому величина общего для трех 2Р-со стояний коэффициента Вм в три раза больше величины, даваемой формулой (3.57), в которой Р„есть матричный элемент между состоянием 15 и одним из трех 2Р- состояний.
Принимая д~ = 1, д, = 3 и используя (3.15), (3.27) и (3.28), получаем м Отсюда излучательное время жизни состояния 2Р, определяемое по формуле (2.27), равно 1,6.10-зс. Линия испускания нли поглощения на переходе 1о 2Р лежит в ультрафиолетовой области. Скорости некоторых переходов в атоме водорода показаны на фиг. 3.5; отметим тенденцию к уменьшению скоростей переходов при уменьшении частоты перехода, что согласуется с зависимостью коэффициента А от величины ыз. ГЛАВА а 88 Для сравнения со скоростью спонтанного испускания, данной в (3.59), укажем, что скорость вынужденного излучения для того же перехода в случае пучка с ннтен- В Р Ю гс Пы1 Фиг. 3.5. Скорости спонтанных переходов между некоторыми нижннмн уровнями водорода, измеряемые в единицах 10' с-'.
Числеииые зиаиеиии взяты из рабаты 14Ь сивностью 1О' Вт м — а и частотной шириной 2п.10га Гц (см. табл. 2.1) равна Вз,Ф(со) = 3 ° !О' с ' (З.бО) Дельта-функция Дирака Метод, использованный в настоящей главе для вычисления коэффициента Эйнштейна В, широко распространен, поэтому полезно привести результат в такой кВАнтОВАя теОРия коэФФициентА эннштеинА В 39 форме, которая облегчит его применение к другим проблемам. Рассмотрим дельта-функцию Дирака, которую можно определить следующим образом: а1п' ((Ф вЂ” Ф) 1/а) Согласно соотношению (3.50), (3.62) б (ааа — аа) Лм = ). Дельта-функция иллюстрируется пределом кривой, изображенной на фиг. З.З, при бесконечном значении 1, где все нули функции собраны в начале координат, а значение функции при аа = ааа стремится к бесконечности таким образом, чтобы площадь под кривой сохранялась постоянной.
В пределе вся площадь под кривой сконцентрирована при ы = ыа, а во всех остальных точках дельта-функция равна нулю. Следовательно, уравнение (3.62) можно переписать в более общем виде: ( О во всех других случаях, Определение, приведенное в (3.6!), можно использовать для доказательства основного свойства дельта-функции. Пусть )"(аа) †люб функция аа, несингулярная при аа = ааа. Рассмотрим интеграл Заменяя переменные интегрирования х = (аа — ааа) 1, (3.65) Глава о получаем еа 11(а)б(ао — а)! = еа (е,-е.) ( = — !!т ~ 1'а((х/1)+во) ' ., ((х= (еа-еа) ( М 2 Г о!и' (х12) = — 1(ао) ~ ~, ((х, если а, < в, < ав = 1 (ао).
(3.66) Следовательно, включение дельта-функции в интеграл выделяет такое значение подынтегрального выражения, которое определяется нулевым значением аргумента дельта-функции. Кроме частного определения дельта-функции через предел (3.6!), существуют другие представления дельта- функции. Критерий для возможного представления дельта-функции заключается в том, что должно выполняться соотношение (3.64).
Поэтому справедливость каждого представления необходимо доказывать на основе рассмотрения интеграла в левой части соотношения (3.64). Некоторые примеры представлений дельта-функции даны в следующих задачах. Задача 3.1. Докажите следующие возможные представления дельта-функции Дирака: г б((оо — в)= — !пп ~ ехр(!(ао — в)1]((1 1 -г (3.67) Некоторые полезные свойства дельта-функции, используемые в ее преобразованиях, можно установить с помощью анализа основного интеграла в левой части соотношения (3,64). Наиболее широко используемые свойства дельта-функции приводятся в следующей задаче. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭЙНШТЕЙНА В В! Задача 3,2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
