1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 17
Текст из файла (страница 17)
3.1. Параллельный оси х электрический дипольный момент атома определяется ожидаемым значением следующей величины; 2 — ~, ех! — — — еХ, 1-~ где Х есть х-компонента вектора О, введенного в (3.17). Таким образом, в момент времени 1, когда атомная вол- ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ пз новая функция есть Ч" (1), для электрического дипольного момента имеем д (1) = — ~ Ч" (1) еХЧт (1) т(*Р'.
(4.65) Здесь интегрирование производится по координатам всех Х электронов. Как и в гл. 3, допустим, что частота ы близка к частоте ве одного атомного перехода между двумя атомными состояниями ф1 н фм обладающими энергиями Е, и Е,. Оставшиеся атомные уровни энергии пока не учитываются, и поэтому общий вид волновой функции определяется выражением Ч'(1) = = С, (1) ф, ехр( — 1Е11)й) + С,(У) ф, ехр ( — 1ЕДй). (4 66) Здесь были использованы формулы (3.5) и (3.8), в которых зависимость функций ф~ и фз от координат опущена. Зависящие от времени коэффициенты должны находиться путем решения уравнений (3.31) и (3.32) У Исоа агехр( — 1а,1) Сз=(С, (4.67) н УР11,соз в1 ехр(1МВ() С, = 1С,, (4.68) ХИ=Х, =9, (4.70) аналогичное (3.19).
Из определения Хм следует Х21 = Х!2, (4.7 1) а потому дипольный момент (4.69) является вещественной величиной, как и ожидалось из физических соображений. Используя формулы (4.67) и (4.68), коэффициенты С~ и Сз можно исключить из выражения (4.69) и полу- на которые наложены определенные граничные условия. Подставляя выражение (4.66) в (4.65), находим й(1) = — е(С(СтХмехр( — йо,1) + СТС~ХИ ехр (ио,1)), (4.69) где величина Хм определена в (3.32). Здесь было исполь- зовано свойство 114 ГЛАВА 4 чить уравнение для И(1), записанное через известные величины. Дифференцируя выражение (4.69) по 1, получаем сК (1) = — е ((С(Сг + С 1Са — изоС) Сэ) Хм ехр ( — юД + + (СэС1 + СзС~ + 1аоСэС~) Хм ехр (1ыВ1)).
(4.72) Согласно определению (3.23), У м = ВЕ,Х,~б, (4.73) поэтому из уравнений (4.67) и (4.68) легко показать, что члены уравнения (4.72), содержащие производные величин С, и См сокращаются. Еще одно дифференцирование уравнения (4.72) приводит к следующему результату: Й (1) = йыэа ((С1СВ + С)Сэ — 1моС(Сз) Хм ехр ( — 7аД— — (С$С~ + СэС~ + (воСэС~) Хм ехр (иаД) = =(2е'аВ~Хм1'Е,созв1/й)(! С, ( — !Сэ(') — во(1(1). (4.74) Здесь на последнем этапе были использованы формулы (4.67) — (4.69) и (4.73). Теперь дипольный момент одного атома необходимо связать с поляризацией газа. Соответствующие рассуждения будут точно такими же, какие были использованы при вычислении коэффициента В.
Если в объеме У имеется Ж одинаковых атомов, то коэффициенты С| и Са связаны с атомными населенностями соотношением (3.52). Мы предполагаем, что приложенное электрическое поле слабое, так что атомные населенности испытывают пренебрежимо малое возмущение относительно своих значений при тепловом равновесии. Поэтому в уравнении (4.74) величиной ~Сэ1' можно пренебречь, а ~С,1з положить равной единице. Случайные ориентации атомов учитываются путем замены (3.56), и в результате уравнение (4.74) принимает вид с((1) + атэс((1) = 2етьээ ~ Р„(' Е сов вг/Зй.
(475) Теперь величина Н(1) описывает средний дипольный момент одного атома в момент времени 1, и макроскопиче- ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 115 окая поляризация газа определяется простым выражением: (4.76) Р (1) = йгд (1)/К. Дифференциальное уравнение (4.75) легко решается.
В результате восприимчивость, получаемая из сравнения формул (4.76) и (4.64), имеет вид Ф~' )пи р 2н, (4.77) авар вью — в Это квантовомеханическое выражение для восприимчивости очень похоже на классический результат (4.!4), если в последнем уравнении пренебречь параметром затухания Г. Действительно, в пределе нулевого затухания результаты становятся идентичными, если ~В в классической теории определяется выражением ~о = 2пиао ~ Рм 'Г/Зл. (4.78) Удивительное сходство между результатами классической и квантовой теории обусловлено тем замечательным обстоятельством, что ожидаемое значение д(1) атомного дипольного момента, вычисленное в строгом соответствии с законами квантовой механики, удовлетворяет уравнению для гармонического осциллятора с внешней вынуждающей силой (4.75).
Аналогичное уравнение (4.10) является исходным для классической теории. Квантовомеханическое выражение для восприимчивости газа из атомов, имеющих много частот переходов аь можно получить на основе обобщения метода, использованного в случае одной частоты перехода ов. Нетрудно показать, что различные атомные возбужденные состояния дают независимые вклады в восприимчивость, причем каждый вклад описывается выражением, похожим на выражение (4.77).
В качестве волновой функции основного состояния мы по-прежнему используем фь а типичную волновую функцию возбужденного состояния обозначим через фь Если энергия возбужденного состояния ф; есть Зон, то полная восприимчивость имеет вид Ф 3 „',). с 11б ГЛАВА 4 где Рп — — ~ ф,'Оф, с5'. (4.80) Учет затухания в квантовой теории Сравнение восприимчивостей (4.77) и (4.79) с результатами классической теории, не учитывающей затухание, было необходимо, так как использованные до сих пор квантовомеханические уравнения не содержат эффектов спонтанного испускания. Полная квантовая теория взаимодействия света с атомами включает три основных взаимодействия, определенных, например, на фиг. 2.1.
Однако использованная выше полуклассическая теория учитывает только процессы поглощения и вынужденного испускания. Вычисление восприимчивости, основанное на полной квантовомеханической теории, автоматически включает эффекты спонтанного испускания.
Такая теория описывается в гл. 8. Тем йе менее хорошее приближение строгого результата можно получить с помощью феноменологического учета затухания, обусловленного спонтанным испусканием, в теории, приводящей к выражению (4.77). Легко видеть, что использованная выше теория не может учесть спонтанного испускания.
В отсутствие приложенного электромагнитного поля величина Ез равна нулю и матричный элемент У'ш обращается в нуль. Из уравнений (4.67) видно, что в этом случае значения С, и Сз постоянны независимо от их начальных значений, что противоречит известной физической ситуации, где Квантовый результат опять похож на соответствующий классический результат (4.22) в пределе нулевого классического затухания. Задача 4.5.
Докажите, что соотношение (4.78) между классической величиной Гз и квантовомеханнческими величинами обеспечивает соответствие между проинтегрированной площадью под кривой классической восприимчивости у", описываемой формулой (4.18), и квантовомеханическим результатом. ВОСПРИИМЧИВОСТЬ, ЗАВИСЯЩАЯ ОТ ЧАСТОТЫ 117 возбужденный атом должен в конечном счете перейти в основное состояние путем спонтанного испускания фотона.
Положение можно исправить, если в левую часть уравнения (4.68) добавить член, описывающий спонтанное непускание. В качестве обобщенного уравнения примем У')з соз в1 ехр (1Ы,1) С, — (уСВ = 1СЫ (4.81) В отсутствие внешнего электрического поля уравнение (4.81) можно сразу проинтегрировать и получить С, (1) = С,(0) ехр( — у1). (4.82) Если в газе, состояшем из У атомов, при 1 = 0 возбуж- 0 дено Л'з атомов, то число возбужденных атомов в момент времени 1, определяемое формулами (3.52) и (4.82), имеет вид,м й(з = йз ехр ( — 2у1).
(4.83) Сравнение последнего выражения с формулой (2.26) показывает, что введение дополнительного члена в уравнение (4.81) приводит к правильной скорости затухания флуоресценции, если 2у = Ам. (4.84) В проводимых ниже вычислениях уравнение (4.67) не используется, поэтому нет необходимости рассматривать его преобразование с целью учета спонтанного испускания. Восприимчивость находится путем подстановки в '(4.69) выражений для коэффициентов С1 и Сь Этот метод похож на определение коэффициента Эйнштейна В в гл. 3 в том смысле, что для С~ и Сг требуются решения с точностью до первого порядка по ЕВ или, эквивалентно, по У'„. До приложения поля начальные условия заключаются в том, что все атомы находятся в основных состояниях.
Осциллирующее электрическое поле вызывает в каждом атоме переходы между состояниями, так что имеется некоторая вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии. Однако поле пред. полагается настолько малым, что в левой части уравнения (4.81) величину С~ можно положить равной единице. глава о В этом случае интегрирование дает решение для Са справедливое в первом порядке теории возмущений по У еь В отличие от коэффициента Эйнштейна В, относящегося к неравновесному состоянию, в котором энергия передается от поля излучения к атому, восприимчивость относится к стационарному состоянию, где в принципе атомы должны подвергаться действию электрического поля бесконечно долго. Поэтому в уравнении (4.81) нужно взять неопределенный интеграл. В результате получим следующее выражение: (() ! У* ехр(!(во+в)8 1 ехр(г(ао а)()~ (485) х (() ~м) 2 ) в,+в — (у ао — в — (у Поскольку величина ) Сх(1)(' порядка )У'м)~, то условие нормировки ) С,(() Г+) С,(() Р=1 (4.86) показывает, что значение С|(() отличается от единицы на величинУ поРЯдка )У'ох)з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
