1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 11
Текст из файла (страница 11)
70 ГЛАВА 3 г характеризует координаты всех частиц, образующих атом. Очевидно, что соотношение (3.3) является как раз тем условием, при котором волновая функция вида (3.2) удовлетворяет уравнению (3.)) с гамильтонианом Яв вместо гамильтониана Ж. Состояния, описываемые волновой функцией (3.2) и уравнением (3.3), называ>отся стационарными атомными состояниями. Они обладают тем свойством, что когда атом находится в одном из этих состояний, то среднее значение любой наблюдаемой величины не зависит от времени, если при этом соответствующий ей оператор также явно не зависит от времени.
Система, помещенная в одно из стационарных состояний ее полного гамильтониана, остается в нем во все последующие моменты времени. Во многих случаях зависящим от времени фазовым множителем в (3.2) можно пренебречь, и поэтому под волновой функцией понимается только ее пространственная часть ф„(г). Однако при рассмотрении зависящих от времени процессов, таких, например, как поглощение и непускание света атомом, эти фазовые множители должны учитываться.
При вычислении коэффициента В будут учитываться только два атомных уровня, имеющие волновые функции ф~(г) и ф,(г) с собственными значениями энергии соответственно Е~ и Е,, так что Млф, (г) = Е,ф, (г), Жвфз (г) = Егфг (г). Соответствующие зависящие от времени волновые функции записываются в виде Ч', (г~) = ех р ( — >Е, Цй) ф, (г), Ч', (г1) = ехр ( — >ЕДЫ) ф, (г). В дальнейшем мы часто будем говорить о волновых функциях Ч" и ф, не рассматривая их явного аналитического вида. При этом всегда будем помнить, что зависящий от времени фазовый множитель входит в волновую функцию Ч' и не входит в волновую функцию Ч>.
В этом случае схема энергетических уровней такая >ке, как на кВАнтОВАя теОРия кОЗФФициентА эннштейнА В 71 фиг. 1.8, но только теперь частота перехода обозначается через ооо.' дооо = Ео — Ен (3.6) Во всех последующих вычислениях волновые функции ф~ и фо предполагаются известными. Рассмотрим теперь случай, когда на атом действует электромагнитное излучение.
С электромагнитной волной связаны электрическое и магнитное поля, изменяющиеся в пространстве и во времени. Их взаимодействие с атомом приводит к тому, что у него появляется дополнительная электромагнитная энергия, которая может быть представлена гамнльтонианом Жн добавляющимся к гамильтониану свободного атома 7вв. Явный вид гамильтониана 7в, будет кратко обсужден в дальнейшем, в данный момент этот оператор рассматривается как некий оператор общего вида, зависящий от координаты г и времени й Тогда полный гамильтониан принимает внд Я Ме+ Уэт (3.7) Поскольку гамильтониан Ж зависит явно от времени, то волновое уравнение (3.1) уже не имеет решений в виде стационарных состояний типа (3.2) и (3.3).
Выражение для коэффициента Эйнштейна Внь связанного с поглощением излучения, можно получить следующим образом. Предположим, что в некоторый момент времени атом находится в своем состоянии фь Благодаря наличию в гамильтониане члена Мт состояние ф, не является стационарным и имеется конечная вероятность того, что в более поздний момент времени атом будет обнаружен в состоянии фь Эту вероятность можно выразить через скорость перехода из состояния 1 в состояние 2 н, следовательно, связать с коэффициентом В. Необходимая информации содержится в зависящей от времени волновой функции атома Ч", получаемой решением уравнения (3.1).
Если частота света близка к ооо, то лишь два выделенных атомных состояния принимают участие в излучательных процессах, поэтому в любой момент времени 72 главк а волновая функция должна быть линейной комбинацией следующего вида: Ч' (гГ) = С, (Г) Ч', (г1) + С, (Г) Ч', (гг). (3.8) Смесь состояний меняется со временем, однако можно потребовать, чтобы волновая функция Ч'(гг) была всегда нормирована $ ! Ч' (г1) 1' с(Ъ' =1 С~ (() )з + ~ Сз (1) Р = 1 (3.9) Здесь была использована формула (3.5) и предполагалось, что функции ф(г) и ф,(г) ортонормнрованы.
Коэффициенты С, и Сз не зависят от координат. Подстановка выражения (3.8) в уравнение (3.1) дает уравнение для коэффициентов С~ и Сь которое с помощью формул (3.4), (3.5) и (3,7) можно упростить и привести к виду ®,(С,Чг, + СзЧ",) = сй (Ч', †. ' + Чз †' ) . (3 1О) Умножая это уравнение слева на комплексно сопряженную функцию Ч'~ и интегрируя по всему пространству, получаем С~ ~ ф(Жмф~Л'+Сзехр( — йоог) ~ ф)ЖгМ~Л~=ИдС~/дб (3.11) Здесь были использованы формулы (3.5) и (3.6). Для матричных элементов гамильтоннана М~ удобно ввести сокращенные обозначения 67н = ~ ф~Я~ф г1У, ЙЯ'и — — ~ ф",Жр~,й)г и т. д., (3.12) после чего уравнение (3.11) упрощается: С,Я'н + Сз ехр ( — гвеГ) Я'и — — (дС,/д(.
(3.13) Аналогично, умножая уравнение (3.10) слева на %, получаем С, ехр (1вчГ) Я'и + С,г'ы =(НСг/дГ. (3.! 4) Уравнения (3.13) и (3.14) не зависят от координат, а матричные элементы Я являются известными функ- кВАнтОВАя теОРия коэФФициентА эннштеинА В 73 циями времени, если функциональный вид гамильтониана Мг определен. Уравнения (3.!3) и (3.!4) можно в принципе решить и найти значения С~ и С, как функции времени, а затем определить волновую функцию Чг(г!) по формуле (3.8).
Вид гамильтониана взаимодействия Полный вид гамильтониана взаимодействия электромагнитного поля с атомом довольно сложен, поэтому его подробное обсуждение отложено до гл. 8. Однако для У Носоз(йг-озй) Фиг. 3.!. Система координат, используемая для описания атома а электромагнитной волны. вычисления коэффициента В достаточно знания основных свойств взаимодействия. Рассмотрим изображенный на фиг. 3.! атом, состоя1ций из ядра с зарядом ле, окруженного 2 электронами, каждый из которых имеет заряд — е. Атом взаимодействует с поляризованной электромагнитной волной, имеющей компоненты электрического и магнитного полей, изображенные на фиг.
3.1, где атомное ядро выбрано в качестве начала координат. В настоящей главе для описания временнбй зависимости полей используются вещественные функции. ГЛАВА 3 74 Типичные значения радиусов орбит атомных электронов определяются величиной боровского радиуса аа = 4пеф'/гпе ж 5 ° 10 " м, (3.15) где т — масса электрона. Боровский радиус намного меньше длины волны электромагнитного излучения, если частота излучения не превышает величину порядка 10" Гц.
Для таких частот (3.16) йа, « 1, поэтому пространственное изменение электрического и магнитного полей на расстоянии порядка размера атома очень мало. Тогда в хорошем приближении членом йв в косинусе, описывающем пространственную зависимость полей, можно пренебречь. Полный электрический дипольный момент атома можно записать в виде — е0, где (3.!7) Основной вклад в гамильтониане взаимодействия обусловлен потенциальной энергией электрического диполя (3.17) в электрическом поле Ез сов ыг, поэтому гамнльтониан Ж, можно записать в виде Мт — — еР ЕВ соз вй (3.18) Другие вклады в гамильтониан взаимодействия Мг подробно рассматриваются в гл. 8, где показано, что они малы по сравнению с гамильтонианом (3.18).
Гамильтониан взаимодействия Жт (формула (3.!8)] является вещественным и нечетным, иначе говоря меняет знак при инверсии координат относительно ядра, когда координаты г; заменяются на — г;. Отсюда следует, что подынтегральные выражения в матричных элементах Я'и и 7м, определенных в (3.12), являются нечетными функциями координат, поэтому соответствующие интегралы должны обращаться в нуль: Кп=У =0. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭННШТЕИНА В 75 Если волновые функции атомных состояний ф1 и фз имеют противоположную четность, то недиагональные матричные элементы Я'м и г'м совсем не Обязательно должны обращаться в нуль, причем, согласно (3.12), эти матричные элементы связаны соотношением Ун Ум (3.20) Поскольку на фиг.
3.1. поле Е, направлено вдоль оси х, явный вид матричного элемента Я м дается выражением ~м — — (еЕ,Х„/Д) соз а!, Хи= ~ ф(ХфтЛ'. (3.21) где (3.22) Здесь Х есть х-компонента вектора !А, а интегрирование производится по координатам всех электронов. Матричный элемент Я м состоит из зависящего от времени члена созе, умноженного на численный коэффициент, для которого удобно иметь простое обозначение.
По определению (3.23) у'н = еЕВХ~Т(д и выражение (3.21) принимает вид ,т'„= У'и соз ай (3,24) Рассмотрим, например, переход 15 — «2Р в атоме водорода. С учетом спинового квантового числа электрона основное состояние 15 вырождено двукратно, а состояние 2Р шестикратно. Однако спиновое квантовое число при атомном переходе не может изменяться, поскольку гамильтониан взаимодействия (3.18) не зависит от спина электрона. Таким образом, для данного спинового квантового числа основного состояния имеются три разрешенных относительно перехода состояния 2Р. Кроме того, для электромагнитной волны, поляризованной вдоль оси х, интеграл в выражении для У'ш равняется нулю для всех состояний, за исключением состояния 2Р,. Величина У'м вычисляется в следующей задаче.
ГЛАВА 3 76 Задача 3.Е Докажите, что для состояний атома водорода ф1 =и '~*а,, "ехр( — г(а,), (3.25) ф,=2 лп *а Ахехр( — — ) (3.26) выполняется соотношение У'и — — 2 ~' еЕВпо(3'й ° (3 27) Частота перехода между состояниями (3.25) и (3.26) есть ыо= ~ ыа 3 (3.28) где (3.29) йаа — — те'/32п'е,'йг Покажите, что для выполнения равенства У'и = ыВ тРебУетсЯ величина полЯ Еа порядка 3.10н В м-'. Для полей Е, почти всех световых пучков (см.
табл. 2.!) выполняется неравенство У'!2 « ыО (3.30) Очень мощные световые пучки требуют специального анализа и рассматриваются в гл. 12. Скорость перехода Используя формулы (3.19), (3.20) и (3.24), основные уравнения (3.13) и (3.14) можно упростить: У'м сов в1 ехр ( — (ы,() С, =1дС~(д1 (3.3!) и Ум сов в1ехр ((ыа1) С, =(дСт)дй (3 32) Для двухуровневой системы последние уравнения являются точными. Задача 32. Докажите, что величина 1С~(а+1С,1В не меняется со временем, обеспечивая таким образом выполнение условия нормировки (3.9) на всем протяжении процессов, зависящих от времени, КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭПНШТЕИНА В 77 К сожалению, несмотря на их простоту, уравнения '(3.3!) и (3.32) решить в общем случае трудно, поэтому следует искать приближенные решения, основанные на неравенстве (3.30), которое выполняется для двух дан- ных частот гэч и гэ, входящих в уравнения (3.3!) и (3.32).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
