1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(6.107) В результате операторы для полных поперечных электрических и магнитных полей принимают вид Ег=ХЕы й-Х йы. (6.109) ы В качестве первого примера вычисления с использованием операторов поля Еы н Ны рассмотрим электромагнитную энергию моды к, находящейся в состоянии, где КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 203 возбуждено пк фотонов. Классическая формула (6:47) для энергии поля теперь запишется как МА — — 1 (пх!ВО А ЕА+ маона Н3,!ПА> ПО ПОЛОСТИ где черта снова обозначает усреднение по периоду, которое следует провести после вычисления матричного элемента. Задача 6.5. Докажите, что ВСОИ / 1~ ВО (и„! Е„Е„( л„) = р, (и„~ Н„. Н„! Л„) = тт ~па + ~ ) (6. 111) и, следовательно, энергия моды есть 8„=(п+ —,') Ьа„.
(6.112) Отметим, что в действительности усреднение по периоду не требуется, так как матричный элемент не зависит от времени. Результат, полученный для энергии моды, конечно, является обычным выражением для энергии гармонического осциллятора, как это предполагалось в выводе формулы Планка в гл. 1.
Однако теперь выражение для энергии является следствием более последовательной теории квантования электромагнитного поля, выполненного на более высоком уровне, соответствующем выражению (6.105) для оператора векторного потенциала А. Необходимо отметить, что выбранная процедура квантования должна обеспечивать для энергии выражение вида (6.112). Иными словами, выбор численных множителей при переходе к квантовомеханическим операторам определяется условием, что в классической и квантовой теориях энергия моды должна записываться так же, как длн гармонического осциллятора.
Гамильтониан полного электромагнитного поля в полости МВ, состоящий из суммы членов, подобных выражению (6.63), обозначим как М = ~~ йв„(б~д„+ — ). (6.113) ГЛАВА З 204 Тогда полная энергия излучения для состояния мод полости [(лк)) представляет собой сумму вкладов энергии отдельных мод (6.112): Е = 2 д'„= ~ (л„+ — ) й~„. (6.114) Поток энергии классического электромагнитного поля описывается вектором Пойнтинга, определенным в (2.9).
Аналогичный квантовомеханический вектор Пойнтинга 1 может быть определен следующим образом: 1=Х 1ы (6.1 15) Здесь 1к — вектор Пойнтинга для одной моды: !А=БАХ Йы (6.116) В случае одномодового состояния, в котором имеется лк возбужденных фотонов, ожидаемое значение вектора Пойнтинга легко вычисляется. Задача 6.6. Докажите, что (л„[ 1х [л„) = — (л + — ) йй.
Поток энергии для моды й пропорционален импульсу фотона этой моды лй. Задача 6.7. Докажите коммутационное соотношение [Ма, А[ = ЖЕГ. (6.118) Задача 6.8. Докажите, что запись гамильтониана поля излучения в виде Ял — — 2 ~ (ВчЕг + РчН ) л)' (6.119) эквивалентна выражению (6.113). Энергия нулевых колебаний Состояние электромагнитного поля, в котором во всех модах поля нет фотонов, т. е.
л„=л„=л„= ... =О, (6.120) 202 КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ называется вакуумным состоянием поля. Это состояние обладает тем интересным свойством, что, несмотря на отсутствие фотонов, его полная энергия отлична от нуля. Согласно формуле (6.114), энергия вакуумного состояния есть 0=1 2Щ' (6.121) Величина 8с называется энергией нулевых колебаний поля.
Она равна сумме энергий основных состояний гармонических осцилляторов, связанных со всеми модами поля. Результат (1.31), полученый в гл. 1 для стоячих волн, справедлив также для бегущих волн, рассматриваемых в настоящей главе, поэтому суммирование в (6.121) можно с помощью преобразования (1.31) заменить интегрированием. В результате энергия нулевых колебаний принимает вид Г ! Гкс'~ Д' =~ 2п с (6, 122) Величины разрешенных частот ок не имеютверхнейграницы, поэтому интеграл (6.122) быстро расходится, а энергия нулевых колебаний соответственно не ограничена. Смысл энергии нулевых колебаний трудно объяснить удовлетворительным образом, а ее бесконечное значение является слабым местом теории квантованного электромагнитного поля.
К счастью для теории квантованного поля, оказывается, что при выборе теоретических результатов для сравнения с экспериментом никаких трудностей, связанных с существованием бесконечной энергии нулевых колебаний, не возникает. Еше не удалось разработать экспериментов, в которых прибор регистрировал бы отклик, пропорциональный энергии нулевых колебаний. В реальных экспериментах отклик всегда пропорционален некоторому изменению полной энергии электромагнитного поля.
Бесконечная энергия нулевых колебаний составляет известную трудность квантовой теории излучения, однако она не приводит к каким-либо бесконечным результатам в конкретных предсказаниях теории, ГЛАВА 6 206 В подавляющем большинстве экспериментов измеряемый отклик пропорционален энергии возбуждения поля относительно энергии нулевых колебаний.
Обозначим эту энергию штрихом; д" = д' — 6'о = Х ~'а, (6. 123) а где сота = йохан . (6.! 24) Например, результат эксперимента по измерению интенсивности светового пучка пропорционален 8', а не д'. Теория экспериментов такого типа подробно обсуждается в гл. 9. Существует небольшой класс экспериментов, в которых измеряется некоторое изменение энергии самих нулевых колебаний ').
Рассмотрим замкнутую полость в форме куба, в которой находится электромагнитное поле, описываемое решениями в виде стоячих волн, приведенными в (1.23) н (1.24). Как указано на фиг. 1.5, наименьшая возможная частота поля в такой полости дается выражением 2ч*мс ота = (6.125) ') Рассмотрение различных вопросов, связанных с нулевыми колебаниями поля, имеется в работах [7 — 91. — Прим, ред. Эта частота должна быть нижним пределом в интеграле (6.122), определяющим энергию нулевых колебаний в замкнутой полости. Таким образом, энергия нулевых колебаний зависит от длины ребра куба Ь, поэтому ее можно уменьшить, изменяя величину Е. На стенки полости действует соответственно сила, обусловленная энергией нулевых колебаний.
Сила такого типа иногда называется дальнодействуюшей силой Ван-дер-Ваальса. Она была измерена (5) для случая незамкнутой полости, образованной парой параллельных пластинок, расположенных на небольшом расстоянии друг от друга. Больше эта тема обсуждаться не будет, так как объяснение экспериментов, рассматриваемых в последующих главах, не квантовании пОля излучения 207 зависит от энергии нулевых колебаний.
Более полное обсуждение эффектов энергии нулевых колебаний можно найти в работе (б1 ЛИТЕРАТУРА 1, Репо)злу 57. К. В., РМТИрз М., С1азз!са! е!ес1гыну апб птаппеНып, Абб(зоп-%ез!еу, Кеаб(пк, 1955, р. 1О. 2. Могзе Р. М., Еезйэасй. Н., Ме!йода о1 1Ьеоге!(са! рйуысз, МсбгавгН(И, 7(егч Уог1«, 1953, р. 53 (см. перевод: Ф. М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики, ИЛ, !958, т.
!). 3. Вг!!! О. о.. Ооог(топ В., Агп. 7оигп. Рйуз., 35, 832 (1967). 4. Выае К. Н., йг!(Где А Р., 1п!гобое!(оп !о Чван!огп гпесйап(сз, Адд(зоп-У!Гез!еу, Кеаб!пи, 1960, р. 92. 5. К1!саепег Д А., Ргогзег А. Р., Ргос. Коу. Кос., А242, 403 (1957). 6. Роыег Е. А., 1п!гобое!огу г(иап!шп е(ес!гобупагп(сз, Еопигпапз, Еопбоп, 1964, сй. 3. 7».Лезин М. «7., Рытов С. М., Теория равновесных тепловых флуктуаций в злектродинамике, изд-во «Наука», !967. 8', Воуег 7.
Н„ РЬуз. Кет., 182, 1374 (1969); Ю 2257 (1970). 9*. Колоколов А. А., Скроикий Г. В« Оптика и спектроскопня, 35, 393 (!973). Глава 7 Состояния квантованного поля излучения Квантование поля излучения производится, как и в предыдущей главе, путем сопоставления каждой моде поля квантовомеханического гармонического осциллятора. При переходе к квантованному полю естественно работать с состояниями 1пк), в которых мода полости к содержит пк возбужденных фотонов. Состояния полного поля ~(пх)), определенные в (б.!02), образуют удобный полный набор для описания электромагнитного поля в полости. Однако нет никаких оснований предполагать, что электромагнитное поле реальных световых пучков можно описать на основе предположения о том, что возбуждено одно из частных состояний ~(пк)).
Более общее состояние системы включает некоторую линейную супер- позицию базисных состояний Йпк)). Было найдено, что реальные световые пучки соответствуют таким линейным суперпозициям. Приготовление состояния поля излучения, в котором число фотонов в моде к равно определенному собственному значению аю является на практике трудной, хотя в принципе и разрешимой экспериментальной проблемой. Задача настоящей главы заключается в анализе различных возможных типов состояний поля. Между видами световых пучков в классической и квантовомеханической теориях можно провести некоторые параллели.
Например, в гл. 5 было показано, что имеются два совершенно различных типа классических световых пучков. В случае классической стационарной волны, изображенной на фиг. 5.10, электрическому полю световой волны в каждой СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 299 точке и в каждый момент времени можно было приписать определенную величину, приведенную в (5.39). Напротив, электрическое поле светового пучка от хаотичеекого источника можно было бы определить, только применяя понятие вероятности того, что поле в некоторой точке наблюдения и в некоторый момент времени имеет данные амплитуду и фазу.
В- квантовой механике можно установить аналогичное различие между двумя типами световых пучков. Поле светового пучка, в котором все фотоны находятся в некотором определенном состоянии, описывается линейной комбинацией состояний ~(ик)) и называется чистым состоянием поля излучения.
Однако если можно определить лишь набор вероятностей нахождения фотонов в нескольких состояниях, соответствующих линейным комбинациям состояний ~ (п1Д), то состояние системы называется статистической смесью. Будет показано, что классическая стационарная волна и хаотическии пучок являются классическими пределами фотон ных состояний, принадлежащих в квантовой механике соответственно категориям чистых состояний и статистических смесей. Мы начинаем главу с анализа чистых состояний; для большинства выводов достаточно рассмотрения только одной моды поля излучения. Статистические распределения вводятся в квантовую механику с помощью оператора плотности, общие свойства которого кратко рассматриваются перед его применением к статистическим смесям поля излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
