1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(7.76) Из квантовомеханического рассмотрения процессов детектирования световых пучков в гл. 9 будет видно, что, несмотря на очевидную неопределенность различных наблюдаемых характеристик когерентного состояния, это состояние полностью когерентно. Оператор плотности До сих пор все вычисления в этой главе были связаны с чистыми состояниями поля излучения для одной моды оптической полости, иначе говоря, с состояниями, которые можно выразить в виде некоторой определенной линейной комбинации базисных состояний с определенным числом фотонов ~п). Не представляет труда обобщить чистые состояния на случай полного поля излучения в полости, когда это состояние полного электромагнитного поля образуется обычным образом с помощью произведения состояний отдельных мод. В результате любое вычисление для многомодового поля сводится к серии вычислений для отдельных одномодовых полей.
Более радикальное обобщение описанной выше теории требуется для анализа статистически смешанных состояний поля излучения, когда нет точного определения состояния поля, а имеются только вероятности наблюдения поля в области возможных состояний. Эти статистически смешанные состояния удобно рассмотреть до обсуждения многомодовых состояний поля.
Чистое состояние представляет собой частный случай статистической смеси, поэтому оба состояния можно анализировать в рамках общей теоретической схемы. Рассмотрим некоторое электромагнитное поле полости, для которого известна вероятность Рл, того, что поле находится в состоянии 1й). Здесь л' — индекс, пробегающий набор чистых состояний, достаточный для описания поля. В случае одной моды полости состояния ~Й) могли азо ГЛАВА 7 бы быть состояниями с определенным числом фотонов !и), фазовыми состояниями )7р), когерентными состояниями )сг) или некоторыми другими чистыми состояниями. В случае полного поля полости состояния !11) были бы всеми возможными произведениями одномодовых состояний, причем в каждое базисное состояние !Й) входило бы по одному состоянию для каждой моды полости.
Состояния, приведенные в (6.102), образуют возможный набор состояний !Я), построенный на основе одномодовых состояний с определенным числом фотонов. Состояние, описываемое вероятностью Рп, является статистической смесью; величины Рл для данного набора чистых состояний !Рг) содержат всю имеющуюся информацию об этом состоянии. Хаотический световой пучок служит примером поля, которое в квантовой механике должно рассматриваться как статистическая смесь. Из классического анализа, приведенного в гл. 5, ясно, что природа хаотического светового источника исключает возможность какого-либо точного предсказания состояния поля излученного света.
Вероятностное описание — единственно возможное как в классической, так и квантовомеханической теории хаотического света. Другим примером статистической смеси служит тепловое возбуждение фотонов в моде полости, описанное в процессе вывода формулы Планка в гл. 1. Наиболее подробным описанием, которое можно дать в этом случае, является описание на основе вероятности возбуждения Р„п фотонов при температуре Т, определенное в 11.42). Распределение Р„является примером общего распределения Р„, введенного выше. В общем случае результат эксперимента, который можно провести со световым пучком, зависит от среднего по ансамблю значения некоторой наблюдаемой величины. Например, для определения флуктуации числа фотонов, полученного в (!.71), требуется знать среднее по ансамблю значение и', а для нахождения интенсивности интерференционных полос, описанной в (5.44),требуется вычисление среднего по ансамблю значения произведения электрических полей.
Рассмотрим некоторую 'наблюдаемую величину О, определяемую квантовомехани- СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЗЗ! / ческим оператором б. Для чистого состояния- !т7> среднее значение наблюдаемой величины равно <Р~б!17>, поэтому для статистической смеси, описываемой распределением вероятностей Рл, среднее по ансамблю значение наблюдаемой величины дается выражением <О>=,'"„Р,(Я) О 1)1>.
(7.77) и Будем предполагать, что Рв — нормированное распределение вероятностей (7.78) 2„' Рл — — 1 М Формула (7.77) является основным выражением, позволяющим делать полезные предсказания для известных статистических смесей поля излучения. Однако выражение (7.77) удобно записать в другой форме, с которой обычно легче работать и которая приводит к более изящным выражениям для средних значений по ансамблю. Пусть !5> описывает полный набор состояний рассматриваемого поля, а 5 есть индекс, принимающий ряд значений. Тогда, согласно условию полноты (4.100), Х !5> <8! =1.
(7.79) Подставляя эту единичную величину в выражение (7.77) сразу после оператора б, получим <О> = Х Р, Х <Я! д 18><8! Л> = 2„Х Р,<8!Л>(Л! О !8>. (7.80) Оператор плотности р определяется выражением (9,!О) р =ХРЯ!Ж(1с! (7.81) Поэтому среднее значение О, приведенное в (7.80), может быть записано в виде <О>= Е <8! рд !8>. (7.82) Оператор плотности содержит точно такую же информацию, как и распределение вероятностей Ра, и является ГЛАВА 7 определенным в том случае, если распределение Ря задано для данного набора чистых состояний ~)7). Преимушество оператора плотности заключается в простоте получения с его помощью средних значений различных наблюдаемых величин. Общий результат (7.82) не зависит от частного полного набора состояний ~5), выбранного для вычисления.
Это очевидно из способа введения состояний )5), а также может быть прямо доказано. Пусть ~Т) — некоторый другой полный набор состояний поля излучения. Дважды применяя условие полноты и подставляя единичную величину (7.79) до и после оператора рд в (7.82), получим (0) =2,2, ~ (5 ~ 7)(Т(рО ~ Т')(Т'~5). (7.83) Здесь индексы Т и Т' пробегают по одному и тому же полному набору состояний.
Если предположить, что состояния ! Т) ортонормированы, то преобразование выра-, жения (7.83) с использованием (7.79) дает (0) = 2 ~„~ (Т' ! 5) (5 1 Т) (Т / рО ~ Т') = ~„(Т / рО 1 Т). (7.84) Поскольку (0) не зависит от конкретного полного набора состояний, используемого для вычисления среднего значения, то уравнение (7.84) можно переписать следующим образом: (О) = Зр(рО). (7.85) Здесь след (шпур) оператора представляет собой сумму диагональных матричных элементов оператора для любого полного набора состояний. Этот результат полностью эквивалентен основному выражению (7.77).
Распределение вероятностей Рл содержит физическую информацию о поле излучения, необходимую для вычисления средних по ансамблю. Важно правильно выбрать конкретный полный набор чистых состояний ~)7), который будет использоваться в определении распределения вероятностей. Этот выбор должен быть сделан таким образом, чтобы сохранить всю имеющуюся информацию о состоянии системы. Приведенные рассуждения можно сОстояния кВАнтОВАннОГО пОля излучения ЗЗЗ .лучше всего понять на основе конкретных примеров, приведенных ниже в этой главе. Необходимо отметить, что сами матричные элементы оператора р имеют различные свойства для разных полных наборов состояний. Для набора ~Й), используемого для построения р, отличны от нуля только диагональные матричные элементы Ж 1р ! й ') = Х Рл (й ~ )7) Я! й") = Ра'Ьа'я" (7 86) Однако типичный матричный элемент некоторого дру- гого полного набора состояний имеет вид (Т~ р 1Т') =Я Р (Т ~)с)(Ж ~ 7'), (7.87) и пет никаких обших условий, накладываемых на состояния /Т) и )Т'), для которых правая часть выражения (7.8?) отлична от нуля.
Единственный общий результат дается выражением Вр р=Х(Т~ р1Т)= ~ Р =1, (7.88) которое можно рассматривать как частный случай выражения (7.85), где оператор б есть просто число. Для любого состояния поля излучения всегда существует некоторый полный набор состояний )77), для которого оператор плотности имеет только диагональные матричные элементы, как в (7.86). Операторы плотности для чистых состояний Чистое состояние можно рассматривать как частный случай статистической смеси, когда одна из вероятностей Рв равна единице, а все остальные значения Рл равны нулю. В этом случае, согласно (7.81), оператор плотности имеет вид Р=!Р)(й! (7.89) и поле излучения с определенностью находится в данном чистом состоянии ~Й).
Поэтому статистическое описание становится излишним. Тем не менее понятие оператора плотности остается справедливым и для чистого состоя- ГЛАВА 1 ния. Некоторые более простые свойства оператора плотности удобно проиллюстрировать на примере чистого состояния. Один результат, справедливый только для оператора плотности чистого состояния, р =Р~ (7.90) нетрудно доказать, используя (7.89). Легко построить операторы плотности для различных видов одномодовых чистых состояний, рассмотренных раньше в этой главе.
Оператор плотности для поля в одном из состояний ~ и), в котором имеется точно п фотонов, запишется просто как р = ! и) (и !. (7.9!) Единственный отличный от нуля матричный элемент для состояния с определенным числом фотонов имеет вид (и ! р ! л) = !, (?.92) Отсюда среднее значение наблюдаемой, описываемой оператором б, в соответствии с (7.85) дается выражением (О) = Зр ( ! п) (и!0) = (п ! 0 ! и), (7. 93) где для вычисления следа используется полный набор состояний с определенным числом фотонов. Выражение в правой части уравнения (7.93) точно такое гке, какое обычно используется для вычисления среднего значения для состояния !а).
В частном случае чистого состояния формализм оператора плотности приводит ко всем обычным результатам. Аналогичным образом можно построить оператор плотности для одного йз состояний с определенной фазой 1ф) или для одного из когерентных состояний !а): р=! ф)(ф1, (7.94) р= ! а)(а!. (7.95) Рассмотрим подробнее оператор плотности для когерентного состояния, представляющий больший физический интерес, сОстОЯниЯ квАнтОВАнного пОлЯ иалэчениЯ хзб Из нормировки когерентных состояний в (7.49) следует, что оператор плотности (7.95) удовлетворяет соотношению (а ! р ! а) = 1, (7.95) которое аналогично соответствующему результату (7.92) для случая состояний с определенным числом фотонов.
Однако из неортогональности различных когерентных состояний, Описываемой выражением (7.50), следует, что (а(р)и) не является единственным отличным от нуля матричным элементом оператора плотности р, определенного в (7.95). Действительно, каждый матричный элемент оператора р для когерентного состояния отличен от нуля. Эта особенность обусловлена упомянутой выше переполненностью состояний !а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
