1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Рассмотрим свойства состояния ~а), определенного через линейную суперпозицию собственных состояний оператора числа частиц (5): ! а) = ехр ( — — ~ а Р) ~~' — ", ~ и). (7.48) и=О В этом выражении и может быть любым комплексным числом, и в результате определенные таким образом когерентные состояния образуют двойной континуум, соответствующий непрерывным областям изменения вещественной и мнимой частей а.
Легко проверить, что состояние 1а) нормировано, т. е. ,и „ (а! а) = ехр ( — ( а ~з) ~ — = 1. (7.49) л Однако состояния для двух различных комплексных чи- сел сг и р не ортогональны ,и (и!(1)= р(- —,1п~' — 2!РГ)~„—, = ехр ( — — 1аз! — — ~ Д ~з+ а'р), (7.50) т. е. ! (а ф) г = ехр ( — ~ а — 5 Р). (7.51) Из определения (7.48) следует, что когерентных состояний ~сГ) намного больше, чем состояний ~п). Состояния 1а) образуют переполненный набор состояний для гармонического осциллятора, а их неортогональность является следствием этой переполненности.
Тем не менее отметим, что, согласно (7.51), состояния 1а) и (5) становятся приблизительно ортогональными, когда величина !сс — р~ много больше единицы. СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ лез Когерентные состояния являются собственными состояниями оператора уничтожения, поскольку й! а) = ехр [ — — ~ а 'г1 ) —, и А ~ п — 1) = а ~ а). (7.52) 2 / (л0А л Следовательно, комплексное число а, обозначающее когерентное состояние, является собственным значением оператора уничтожения. Отметим, однако, что состояние [а) не есть собственное состояние оператора рождения, поскольку сумму по и, аналогичную сумме в (7.52), нехьзя преобразовать таким образом, чтобы снова получить когерентное состояние в случае ат~а).
Другой подход к когерентному состоянию заключается в том, чтобы уравнение для собственных значений (7.52) выбрать в качестве определения когерентного состояния. Тогда разложение (7.48) можно получить как одно из следствий нового определения [4). Соотношение (6.91-) можно использовать, чтобы переписать определение когерентного состояния (7.48) следующим образом; .л)л ! а) = ехр ( — — ~ а Р) ~ (ЯЯ ) [О) = л = ехр (айт — — [ а!') ! О). (7.53) Задача 74. Докажите, что оператор рождения йт не имеет нормируемых собственных состояний. Задача 7.5.
Результат ехр(д)ехр(г[) =ехр(д+ Ы+ — [д, г(1) (7 54) можно доказать [5) для любой пары операторов с и й, коммутирующих со своим коммутатором [с, [с, с[Д = [с[, [с, йЦ = О. (7.55) Используя (7.54), запишите уравнение (7.53) в более компактной форме: [ а) = ехр (аат — а'й)! О). (7.56) ГЛАВА 7 224 В (7.56) экспоненциальный оператор эквивалентен оператору рождения когерентного состояния. Величину а иногда удобно выразить через амплитуду и фазу. В качестве обозначения фазового угла (аги а) мы выберем 6 и запишем а =1а1е4э. (7.57) Физические свойства одномодовых когерентных состояний Свойства моды полости, возбужденной в когерентное состояние 1а), можно определить методами, применявшимися в этой главе раньше для анализа состояний с определенным числом фотонов 1и) и состояний с определенной фазой )42). Ожидаемые значения оператора числа частиц имеют вид (а! й ~ а) = ехр ( — 1 а 1Р) ~ 1 п = ! а 1з, (7.58) и (а! Йэ ~ а) = ехр ( — ) а г) 7 п~ = =ехр ( — /а 'Г) ~~ — (п(п — 1) + л) =(а Г+(а'Г, (7.59) отсюда среднеквадратичное отклонение Ьи )а~, (7.60) и относительная неопределенность числа фотонов в моде полости есть (а 1 а) (7.61) Эти результаты показывают, что 1а1' есть среднее число фотонов в моде полости, а среднеквадратичное отклонение от этого среднего значения равно корню квадратному из среднего числа фотонов.
Относительная неопределенность числа фотонов, приведенная в (7.61), обратно пропорциональна корню квадратному из среднего состояния квлнтовлнного поля излгчения 225 числа фотонов и уменьшается с ростом степени возбуждения моды полости. Последний результат можно сравнить с нулевой неопределенностью числа фотонов (формула (7.34)) для состояния )п) и постоянной относительной неопределенностью (формула (7.46)) для состояния )ч). Из определения (7.48) следует, что вероятность нахождения п фотонов в моде дается выражением (( !2и ( (и , 'а)," = ехр ( — ~ а !з) (7.62) которое представляет собой пуассоновское распределение вероятностей (см.(6) и фиг. 9.4) около среднего значения (и('! среднеквадратичное отклонение от этого распределения дается обычной формулой (7.60). В случае когерентных состояний ожидаемые значения фазовых операторов описываются довольно сложными выражениями (7).
Мы ограничимся оператором созф, для которого, используя формулы (7.12), (7.13), (7.48) и (7.57), получим 1 а ив аи + а*иаи'! ! (а ~ соз ф ~ а) = — ехр ( — ( а (") ~ 2 ((и +! )1 и!)И и аи =(а(соз8ехр( — (а,")~, . (7,63) и! (и + 1) И и Таким образом, ожидаемое значение оператора соз ф пропорционально косинусу фазы величины а. Аналогично (а( соз'ф(а) — — — ехр ( — ) а !') + +(аР(созз 8 — — ) ехр( — (а Р) ~~', . (7.64) 2 и! ((и+1) (и+2)) и К сожалению, аналитическое вычисление сумм в (7.36) и (7.64) невозможно. Однако эти суммы немного упрощаются, когда среднее число фотонов в моде много больше единицы.
Тогда можно использовать следующие в з.вм ГЛАВА 1 асимптотические разложения (71, приводимые здесь без доказательства: ) а(')) 1 (7.65) Х 1 а (сл л(((л+ 1) (л+ 2))П (7.66) Таким образом, для больших чисел фотонов ожидаемые значения фазы принимают вид (а( соз ф (а) = соз О (1 — —, + ... ), (а г' )> 1, (7.67) 1 сас' Š— сй (а)соз~ф(а)=сов~Π—, ' — ..., а')> 1, (7.68) и, следовательно, неопределенность фазы есть Лсоз<~= ", (а('>) 1. (7.69) 2(а( ' Из (7.60) и (7.69) следует, что произведение неопределенностей описывается выражением ЛпЛсозср= — з(пО, (а('>) 1.
1 (7.70) Можно получить результат, аналогичный формуле (7.67), который показывает, что ожидаемое значение оператора з(п ф равно з(пО при большой величине (и(1. Таким образом, для большого среднего числа фотонов когерентное состояние ) и) имеет минимальное произведение неопределенностей, допускаемое соотношением (7.26). Из выражений (7.6!) и (7.69) видно, что относительные неопределенности числа фотонов и фазы изменяются как (а(-', а потому с увеличением среднего числа фотонов соответственно увеличивается точность определения амплитуды и фазы волны. сОстОяния кВАнтОВАнного пОля излучения йй7 Эти свойства можно увидеть более отчетливо, вычисляя ожидаемое значение электрического поля в когерентном состоянии.
С помощью определения (7.38) получаем (а1Е1а) = — ю'~ — ~ (аехр( — твс+ Й г) — а ехр(гв1 — Й ° г)) = лв хй ~ 2ео1' ~ = — 2 ( У ) 1а1ейп(1с ° г — в1+ О). (7.71) Здесь мы использовали соотношение (а1а~1а) = а*. Аналогично (7.72) (а1 ЕЗ1а) = ( — се ) (4) а Р з1пз(1с ° г — в1 + О) + 1), (7 73) и, следовательно, среднеквадратичное отклонение элект- рического поля есть ЬЕ=( в, ) (7.74) Отметим, что в отличие от результатов двух предыдущих разделов, где были использованы приближения, справедливые для волн с большой амплитудой, результаты данного параграфа применимы независимо от амплитуды волны.
Временная зависимость электрического поля в фиксированной точке полости показана на фиг. 7.3 для трех когерентных состояний 1а), имеющих один и тот же фазо. вый угол, но три разных значения среднего числа фотонов. Поскольку неопределенность ЬЕ, приведенная в (7.74), не зависит от амплитуды волны, то точность определения волн улучшается с увеличением ~а1'.Из фиг.7 3 видно, что по мере увеличения среднего числа фотонов в когерентном состоянии изменение электрического поля становится все более похожим на изменение классической волны (ср. фиг. 5.10).
Можно показать, что когерентное состояние 1и) является лишь одним из видов квантовомеханического состояния электромагнитного поля, которое можно прямо связать с классической электромагнитной ГЛАВА т 22В волной (подробное обсуждение этого соответствия см. в работе (8)).
Конечно, когерентное состояние проявляет характернь1е свойства квантовомеханической неопределенности, рассмотренные выше. Однако все эти эффекты см = 7гД 'сч 0 Я 2-7г,б й~ 40 с, Е 0 4 -40 чтиг. 7.3. Графическое описание изменения электрического поля со временем в фиксированной точке для моды полости, возбужденной в состояние )а ). Изменении поля приведены для трех различныч значений среднего числа фотонов ~ и р, причем во всех этик случанх нспольауется различный вертикальный масштаб. Неопределенности значений поля указаны вертикальными шнрпнамн тЬЕ санусондальных волн.
Этн неопределенности можно танже рассматривать как обусловленные неопределенностью амплитуды. связанной с Ьп, н неопре- деленностью фазы, связанной с Ь соэ Е. становятся практически несущественными в классическом пределе, когда величина ~а(т много больше единицы. Другие виды возбуждений в полости, например состояния с определенным числом фотонов ~п), не стремятся к классическому пределу, когда число фотонов много больше единицы. Изменение классического электрического поля, полученное из выражения для векторного потенциала А (7.2), имеет вид Е = — 2гоАо з(п ((с ° г — пуГ + пу). (7.75) Из сравнения (7.75) с (7.7!) видно, что в классическом пределе когерентное состояние (и) соответствует клас- СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ЕЗ9 сической волне, фаза которой равна фазе величины а, а амплитуда электрического поля связана с )я) соотношением — 2ИА„= — 2 ( ) ~ а ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
