1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Чтобы использовать некоторые положения обычной теории оператора плотности в случае когерентных состояний, их необходимо осторожно и продуманно расширить (1Ц, а некоторые связанные теоремы — обобщить. Для проводимых ниже вычислений не потребуется таких обобщений, поскольку в них используются в основном операторы плотности, выраженные через состояния с определенным числом фотонов (и). Теперь рассмотрим общий матричный элемент оператора плотности чистого когерентного состояния (7.95) для состояний с определенным числом фотонов. Используя (7.48), получим (л ! р ! л') = ехр ( — ! а !'), .
(7.97) Таким образом, оператор плотности чистого когерентного состояния имеет отличные от нуля недиагональные матричные элементы для состояний с определенным числом фотонов. Этот пример показывает важность выбора для выражения оператора плотности таких соответствующих состояний !Р), чтобы не было потеряно никакой информации о состоянии системы.
Полностью описать чистое когерентное состояние !а) с помощью диагонального оператора плотности, построенного на состояниях с определенным числом фотонов (и), невозможно, так как такой оператор плотности имел бы нулевые недиагональ- ГЛАВА 7 ные матричные элементы (п)р)п') и информацию, содержащуюся в выражении (7.97) для и Ф и', нельзя было бы получить. Недиагоиальные матричные элементы оператора плотности особенно важны при вычислении средних значений операторов д, имеющих отличные от нуля недиагональные матричные элементы (и~о)п').
Рассмотрим, например, одномодовый оператор электрического поля, приведенный в (7.38). Среднее электрическое поле, наиденное с помощью формулы (7.85), где след вычисляется на основе состояний с определенным числом фотонов, даегся выражением (Е) = ~~~ (л ! рЕ ~ и) = л =1(, ),) ((и~р~п — 1)п~'ехр( — (ег+1к ° )— — (п!р~~п+ 1)(п+ 1) 'ехр(1В71 — Й г)). (7.98) Если в первом члене, стоящем в фигурных скобках, заменить и на и+ 1, то (Е) = — 2 ( 7 17 ) Е (и + 1) ' 1гп ((и + 1 ) р! и) Х л Х ехр( — 1В71+ 7)г г)). (7.99) Очевидно, что состояние поля излучения может иметь отличный от нуля средний вектор электрического поля только тогда, когда оператор плотности имеет отличные от нуля недиагональные матричные элементы вида (и+ 1(р)п). Для чистого когерентного состояния 1и) из формул (7.57) и (7.97) следует, что ( )зл+! (а + 1 ~ р ! п) = ехр ( — ! а Р + 18), (7.100) Подстановка последнего выражения в (7.99) приводит к точно такому же результату, который был получен предварительно в (7.71).
Диагональный матричный элемент оператора плотности для состояний с определенным числом фотонов (и~р1п) дает вероятность того, что в состоянии поля, СОСТОЯНИЯ КВАНТОВАННОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ 237 описываемом оператором р, находится п фотонов. Диагональный матричный элемент оператора плотности чистого когерентного состояния, полученный из (7.97), воспроизводит результат (7.62), найденный ранее для вероятностного распределения по состояниям с определенным числом фотонов. Чистые состояния полного поля излучения рассматриваются таким же образом. Теперь состояние ~17) в (7.89) описывает все моды полости.
Если, например, каждая мода полости имеет определенное число возбужденных фотонов, то 1Р) является одним из состояний )(а„)), определенных в (6.102), а оператор плотности есть р = 3("д) (Ы $ = !ля )~ лн ) ~ лк ) " (л~ 3(лк ~(л~ !. (7. 1О1) В качестве другого примера можно было бы взять со- стояние поля, в котором каждая мода полости находится в определенном когерентном состоянии. В этом случае состояние полного поля можно записать в виде 1(ак) ) =1а„)1а„)1а„) ..., (7.102) а соответствующий оператор плотности для многомодо- вого когерентного состояния — в виде р = ~(ак))((ок)~, (7.103) Другие чистые состояния полного поля описываются аналогично.
В любом случае матричный элемент оператора р записывается как произведение матричных элементов, каждый из которых относится к отдельной моде полости, поэтому, переход от одномодового случая к многомодовому не приводит к появлению новых физических свойств. Статистически смешанные состояния поля излучения Важная практическая роль оператора плотности становится очевидной при его применении к анализу статистически смешанных состояний. В качестве первого примера рассмотрим тепловое возбуждение фотонов в одну моду полости, поддерживаемой при температуре Т, Эта 238 ГЛАВА Ч задача рассматривалась в гл.
1 при выводе формулы Планка. Вероятность Р возбуждения и фотонов приведена в (1.42). Тогда, согласно определению (7.81), оператор плотности, построенный на основе состояний с определенным числом фотонов, дается выражением р = ~„„Р„! и)(п ! = (1 — ехр( — бйа)) ~ ехр( — ()плГА)! и)(и|, (7. 104) где ! (7.105) В этом случае состояния ~ и) являются правильным базисом для оператора плотности, поскольку тепловое распределение дает информацию только о вероятностях нахождения системы в ее различных собственных состояниях энергии, а состояния с определенным числом фотонов являются собственными состояниями энергии фотонной системы.
Выраженный через состояния с определенным числом фотонов оператор плотности для теплового распределения фотонов имеет только диагональные матричные элементы. Поэтому, согласно выражению (7.99), которое справедливо как для чистых состояний, так и для статистических смесей, среднее электрическое поле всегда равно нулю. Если ввести среднее число возбужденных тепловых фотонов й, то оператор плотности можно записать в другой форме. Согласно определению (7.85), й = (и) = Вр(рй~й). (7.106) Задача 7.6. Используя для вычисления среднего числа фотонов й формулы (7.104) и (7.106), покажите, что оператор плотности можно выразить следующим образом: р =~~' „+, !Л)(п!. (7.107) и Отметим, что алгебра этого вычисления аналогична преобразованию, проведенному в (1.44), сОстОяния квАнтовлнного пОля излучения 239 Задача 7.7.
Покажите, что оператор плотности для одномодового теплового излучения (7.104) может быть записан в следующей эквивалентной форме: р = (! — ехр( — (йв)) ехр( — рйвй~й). (7.108) Здесь экспонента определяется ее обычным разложением в степенной ряд. Рассмотрим теперь тепловое возбуждение всех мод полости. Состояния ~ (и„)) для всей совокупности мод образуются из произведений состояний с определенным числом фотонов для отдельных мод полости таким же образом, как в (6.!02).
Поскольку различные моды поля независимы, полный оператор плотности является произведением вкладов различных мод. Следовательно, оператор плотности, общий вид которого дается выражением р ~с," Р(„) ~ (пы)) ((ЛД /, (7,109) в случае теплового излучения определяется путем пере«ы ( 1+~А множения коэффициентов (пы) 1(! + пы) для всех мод, с тем чтобы получить полную вероятность (л„)"" (7.110) В этих выражениях йы есть среднее число фотонов, возбужденных в моду (г, а символы (пы) обозначают набор чисел пы„пы„пы„... и т. д. фотонов, возбужденных в каждую моду полости. Суммирование в (7.109) производится по каждому возможному набору чисел (пы). Следовательно, оператор плотности для поля теплового излучения в полости, полученный из (7.!09) и (7.!!О), имеет вид пы р = Х !(пы)) ((пы) ! П " „„— „(7 111) р ы) ы (! + Яы) гллвх т 240 Задача 7.8.
Для' оператора плотности, приведенного в (7.1!1), непосредственно докажите выполнение условия нормировки Врр=! (7. 112) и покажите, что среднее число фотонов в полости есть д=~й . Средние числа фотонов йк в выражении (7.1!1) связаны с частотой моды ык и температурой Т соотношением (1.45) и = (ехр(рйв„) — 1) . (7.1!4) При использовании для йк формулы (7.114) оператор плотности (7.!1!) в основном содержит ту же информацию, что и результаты расчетов на основе распределения вероятностей для теплового излучения, использованного при выводе формулы Планка.
Однако выражение (7.1! 1) применимо не только к тепловому распределению фотонов, но также к широкому классу возбуждений, в котором статистические свойства излучения света имеют соответствующий случайный характер. Например, в гл. 10 показывается, что оператор плотности для света, излучаемого источником, атомы которого поддерживаются на более высоком уровне возбуждения по сравнению с уровнем при тепловом равновесии, имеет точно такой же вид, как в случае теплового излучения. Из этого не следует, что спектральное распределение излучения такое же, как в случае теплового равновесия, н средние числа фотонов йк, конечно, не даются формулой (7.114), а определяются природой возбуждения случайного поля.
В частности, оператор плотности (7.11!) относится к световому пучку, излучаемому хаотическим источником, и определяет способ, при помощи которого классическому рассмотрению хаотического света, описанному в гл, 5, можно придать квантовомеханическую форму. Например, оператор р в (7.!11) является правильным оператором плотности для пучка с лоренцевым частотным распределением, излучаемого хаотическим источником, если пред. сОстОЯниЯ КВАнтовАнногО пОЯЯ излУчениЯ з41 положить, что величина йвмк имеет лоренцеву зависи- мость от вю Задача 7.9.
Покажите, что выражение (5.64) можно преобразовать таким образом, чтобы оно определяло среднее число фотонов А йм (м м)г+гг возбужденных в моды квантованного поля излучения пучком с лоренцевым частотным распределением и площадью поперечного сечения а. Этот результат используется в гл. 9 для вычисления квантовомеханической когерентности пучка с лоренцевым частотным распределением. Из приведенных выше замечаний следует, что оператор плотности для полного поля излучения (7.111) имеет широкую применимость в случае хаотического света. Операторы плотности для полного поля можно, конечно, построить на базисе других полных наборов состояний мод полости или на базе переполненного набора состояний 1(ах)), определенных в (7.!02). Однако физические проблемы, которые будут обсуждаться в последующих главах, включают либо многомодовый хаотический свет, для описания которого подходит выражение (7.!11), либо одномодовые возбуждения, для которых оператор плотности упрощается.
Поэтому мы не рассматриваем другие возможные виды операторов плотности для полного поля. Для случайного возбуждения фотонов такого же типа, как хаотический свет, одномодовый оператор плотности (7.107) не дает никакой информацйи о временнбм масштабе флуктуаций числа фотонов. Квантовомеханические средние, которые можно найти с помощью оператора плотности, аналогичны средним по классическому ансамблго, описанным в гл. 5, причем на тип эксперимента, который должен быть проведен для сравнения с теоретическими предсказаниями, накладываются такие же условия, как и при классическом описании поля. В об- ГЛАВА 7 242 щем случае экспериментальные средние должны вычисляться из серии экспериментов, длительность которой велика по сравнению с временем флуктуации, однако каждое отдельное измерение должно быть проведено в течение промежутка времени, короткого по сравнению с периодом флуктуации.
Классическое описание зависимости частотного спектра возбуждения нормальных мод от длины полости с помощью лоренцевой функции, приведенной в связи с фиг. 5.12, остается справедливым для квантованного поля, но с некоторыми очевидными изменениями терминологии. Выводы относительно величины времени флуктуаций в одной моде для полостей, длины которых больше или меньше длины когерентности, по-прежнему остаются справедливыми. В частности, для длинной в смысле определения (5.56) полости, где возбуждено много нормальных мод, скорость флуктуаций в каждой моде определяется разностью частот соседних мод Ль>, введенной в (5.51). В этом случае многомодовый оператор плотности, определяемый выражением (7.11!), куда подставлены значения и„ из (7.1!5), зависит от т и, следовательно, содержит информацию о времени когерентности т, ( = ! /у) пучка в целом.
Резюмируя, можно сказать, что, хотя оператор плотности для каждой отдельной моды полости не дает информации о временнбй зависимости возбуждения моды, многомодовый оператор плотности для пучка, частотные компоненты которого распределены по многим модам, все же содержит величину времени когерентности пучка. Как в классической, так и в квантовой теории световой пучок можно полностью описать с помощью распределения интенсивности поля или чисел фотонов только в том случае, если нормальные моды располо>кены плотно по отношению к распределению частотных компонент светового пучка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
