1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Этот вклад описывается выражением г! У = ~ е ~ Ет (г) ° а'г. (8.26) т о' Согласно (3.16), интересующие нас поля Ет(г) слабо меняются в интервале между 0 и гь поэтому поле можно разложить в быстро сходящийся ряд Тейлора:. Ет(г) = Ет(0)+(г Ч) Ет(0)+ 2! (г Ч)хЕт(0) + ° ° (8 27) где операторы Ч действуют только на Ет(г), а после дифференцирования. величина г для поля полагается равной нулю. Потенциальная энергия, определяемая формулой (8.26), принимает вид У=е~~~ (1+ —,г! Ч+ —,(г! Ч)'+...~г! Ет(0), (8.28) т или У = е „Г г! Ет (О). (8.29) ! Здесь для компактной записи ряда (8.28) была использована функция ехр(г~. Ч), определенная через свой степенной ряд.
С другой стороны, энергию У можно записать следующим образом: У= ~ЕГ(г) Р(г)с(У, (8.30) взхимодеиствив поля излзчвния с атомом эч! где Р(г) — поляризация атома, записанная через муль- типольное разложение Р (г) = е ~' ) г! — др! г! (г! ' Ч) + 1 1 + з1 г!(г! Ч)з — ...~б(г). (8.31) Подставляя Р(г) в интеграл (8.30) и интегрируя по частям, для того чтобы операторы Ч действовали на Ет, легко проверить, что получающееся выражение для потенциальной энергии К (8.30) совпадает с (8.28).
Первый член мультипольного разложения поляризации атома пропорционален дипольному моменту атома е0 =~ ег1, ! (8.32) определенному в (3.17). Второй член пропорционален квадрупольному моменту 1 Я = — — ~ ег!г1, Т х'. ! (8.33) третий член пропорционален октупольному моменту и т. д. Возвратимся теперь к гамильтониану взаимодействия. Приведенное выше отступление наводит на мысль о том, что часть членов, описывающих взаимодействие в (8.25), может быть представлена в виде (8.28) или (8.29), а оставшиеся члены зависят только от магнитного поля.
Это ожидаемое разделение гамильтониана можно реально осуществить с помощью калибровочного преобразования (6.7) и (6.8), где калибровочная функция Е= — ~А(г) Р(г)Ж1. (8.34) Здесь А(г) — векторный потенциал, входящий в гамиль- тониан (8.25), Р(г) — поляризация атома, определенная в (8.31). Очевидно, что В является функцией координат всех электронов г;. 252 ГЛАВА З Рассмотрим сначала преобразованный скалярный по. тенциал, который легче вычислить.
Согласно (6.8), новый потенциал в' точке г, дается выражением ~р (г!) + В! — — р(г!) — — ~ Ег (г) Р! (г) ~й' = ехр (г 7) — 1 =Чр(г!) — ' 7 г! Ег(0). .7 (8.35) А (г!) — 7!В= А (г;) — — 7! ~ А (г) Р (г) сЛГ. (8.36) Интеграл можно прямо вычислить, подставляя разложение Р(г) из (8.3!) и применяя оператор Чп но это вычисление трудоемко. Если векторный потенциал А(г,) также разложен в ряд Тейлора в начале координат, то члены правой части формулы (8.36) можно перегруппировать и получить Г 1 2 А (г!) — 7 ~ = — !Ач ~ 2! + — (г! 7) + + 4> (г! ' 7) + ° .
° ~ г! Х Н (О). (8.37) Здесь были использованы формула (8.5) и тождество г! Х (7 Х А (О)) = 7 (г! А (О)) — (г! 7) А (О). (8:38) В этом выражении оператор 7 действует только на А(г), причем после выполнения всех операций величина г полагается равной нулю. То же самое справедливо для (8.37), где оператор 7 действует только на поле Н. Выражение (8.37) для преобразованного векторного потен- Здесь были использованы формулы (8.3) и (8,3!); Е, и Р; — зависящие от г; частифункций Я и Рсоответственно. Видно, что подстановка 7(г,) из (8.35) в исходный гамильтониан (8.25) точно приводит к ожидаемой формуле (8.29) для взаимодействия электрического поля излучения Ет с атомом.
Преобразованный векторный потенциал в точке г,, определенный из (6.7) и (8.34), имеет вид Взхилюдепстаие пОля излучения с Атомом Ечз пиала может быть записано более компактно с помогцью экспоненциального оператора, использованного в (8.29); ехр (гг ° г) (гг ° г — 1) А (г1) — г71Е= !Ае „,, Н (О) Х г1. (8.39) (., у) Таким образом, преобразованный векторный потенциал зависит только от магнитного поля излучения в начале координат.
1"амильтониан в новой калибровке получается ну~ем подстановки 'в (8.25) выражений (8.35) и (8.39) для гр(г„) и А(г,): ехр (гг ° е ) (гг ° тг — ! ) + 1 12 ,74= — ~ аР!+с!ее „рг Н(0)ХГ1~ + 1 (г г)г + — ~ (Е„Е' + реН ) г()' — — а ~ Е' Л' — е ~ ф (г,,) + +шеф(0)+е~~ ! г! ° Ег(0). (8.40) ! Теперь взаимодействие поперечного поля излучения с электронами полностью выражено через электрический и магнитный векторы излучения, определенные в точках нахождения атомных ядер. Скалярный потенциал ф(г) по-прежнему описывает статистические кулоновские взаимодействия между зарядами, а Ее — соответствующее электрическое поле.
С учетом (8.1) и (8.4) получаем — ) Е а'= —, ~(фф)'Л'= 1 Г е 1 ! 1 = — Е Ее~фу фе()' = ~ ~ Офеб'; (8.41) кулоновские члены гамильтоннана после подстановки плотности заряда из (8.7) могут быть преобразованы следующим образом: — ае ) Ее гйг = — —, е ~~ ф (гг) + — Яеф(0). (8.42) 1 Г е ! ! глава и Тогда полный гамильтониан принимает вид Ът ! 1 + — ~ (е Ез + )ь Нт) сй' — — е ~ ф (г ) + 1 ехр (ге т) — 1 + — л,еф(0) + е ~~ г~ Е„(0). (8.43) 1 Здесь члены, соответствующие кулоновской энергии, содержат множитель '/з, поскольку каждая пара заряженных частиц дважды учтена при вычислении потенциальной энергии.
Электрическое дипольное приближение До сих пор все вычисления в этой главе были чисто классическими. Переход от классического гамильтониана (8.43) к квантовомеханическому можно осуществить заменой векторов рь Ет и Н соответствующими квантовомеханическими операторами '). В то же время экспоненты удобно разложить в ряд. Так как величины г; порядка боровского радиуса ас и оператор градиента при действии на поля Н или Ет имеет величину порядка волнового числа излучения А, то из (3.16) ясно, что последовательные члены разложения экспоненты быстро уменьшаются. Мы сохраним в выражении (8.43) только первый не обращающийся в нуль член, содержащий Н(0), и два первых не обращающихся в нуль члена, содержащих Ет(0). При переходе к квантовой механике с учетом сохраненных членов разложения экспонент гамильтониан можно записать следующим образом: ®=мел+ мил+ ивг (8.44) где Ми — гамильтониан изолированного атома, записанный в тех же обозначениях, которые были использованы ') Полностью квантовомеханическое преобразование выражения (8.25) в (8,43) имеется в работе (Ц, см, также (6).
взхимодепствие поля излтчения с лтомом 255 в гл. 3 з Мв = ~ — — — е ~ ф (г!) + — Ле!р (О), (8А6) ! ! и Яа — гамильтониан свободного поля излучения, имеющий форму (6.119): Мл= р ~(еоЕг+РеН~)д)! (8 46) Гамильтониан взаимодействия атома с полем излучения М! содержит четыре слагаемых: Ж! = ало+ Яло+ Ммо+ Жлс! (8.47) соответствующие члены слева направо описывают электрическое дипольное взаимодействие Явр —— е~!' г! Ег(0) =е(У ° Ег(0), (8А8) ! электрическое квадрупольное взаимодействие Яво —— — е ~~! (г; ° Ч) (г! Ег (О)) = — Ч О Г,- 10) (8.49) ! и магнитное дипольное взаимодействие (8.50) где последнее выражение упрощено введением оператора полного углового момента атома йа'= Е г! Х Р! l (8.51) Последний член в гамильтониане взаимодействия (8.47) является нелинейным, поскольку он пропорционален квадрату вектора магйитного поля: 2 2 йй„ь — — ~~ (Н (О) Х г!)'.
! Этим членом мы пока пренебрежем, так как он описывает нелинейные процессы, но мы рассмотрим его в гл. 1! и 12, где будет показано, что он имеет пренебрежимо 266 глава з малую величину даже для тех процессов, где его вклад отличен от нуля'). Порядки величин трех линейных гамнльтоннанов можно сравнить прн помощи грубой оценки входящих в ннх членов. Примем, что вектор г; имеет величину порядка боровского радиуса а,, приведенного в (3.15), угловой момент М вЂ” порядка й, 7 Š— порядка йЕг(0) = = — Ег(0) н частота оз — порядка частоты атомного пес рехода ото, определенной в (3,28).
Тогда т (0) 4хеой' те Ег (0) Зел 16тс (8.53) Н(О) Реей ЕГ (О) ел хомо 2т 2тс Отсюда видно, что электрическое квадрупольное н магнитное днпольное взаимодействия нмеютодинаковую величину, которая меньше величины электрического днпольного взаимодействия на порядок безразмерного мно- жителя ез 1 4пеойс 137 ' (8.54) называемого постоянной тонкой структуры. Высшие члены разложения экспонент в (8.43) по степеням г," т, которымн мы пренебрегли в (8.47), меньше Жнп на величину порядка постоянной тонкой структуры во второй нлн более высокой степени. Как обсуждалось в гл.
3 н будет позднее показано в этой главе, скорость поглощения нлн испускания нзлучення прн атомном переходе между состояниями зр~ н ~рз пропорциональна квадрату матричного элемента (тр,]М,]трх). Из предыдущего рассмотрения следует, что если матричный элемент (з]з~]Жт]зрх) отличен от нуля, то ') Другой вывод гамильтониана взаимодействия с точностью до четырех первых членов, имеюпгихся в (8.47), без использования потенциалов А и Чз см, в работе [7]. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ С АТОМОМ 257 вкладом остальных членов разложения ка5 в (8.47) можно несомненно пренебречь. Пренебрежение всеми членами, кроме Увел, эквивалентно допущению о равенстве нулю волнового вектора излучения и называется дипольным приближением. Вычисление в гл.
3 проводилось в этом приближении, поскольку пространственное изменение электрического поля излучения не учитывалось. Большинство интенсивных атомных линий поглощения и испускания видимого участка спектра относится к переходам, в которых электрический дипольный матричный элемент отличен от нуля.
Такие переходы называются разрешенными электрическими дипольнымп переходами. Взаимодействия каев и Ямл могут быть существенны при (ф~1,7аеп1фз) = О, когда электрический дипольный переход запрещен. Если матричный элемент (ф11каеч ~ фа) или (Ф1ыэмп!фа) отличен от нуля и наблюдается поглощение или испускание, то переход называется разрешенным в электрическом квадрупольном или магнитном дипольном приближении соответственно. Общие законы, определяющие условия, при которых разрешены или запрещены различные типы переходов, детально рассматриваются в книгах, посвященных атомным спектрам «8 — 101. Здесь мы отметим лишь простейшее правило отбора, которое вытекает из соображений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
