1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Задача р.б. Рассмотрите хаотический световой пучок с оператором плотности р, определенным в (7.1 ! 1) . Докажите, что степень когерентности первого порядка определяется следующей формулой: ~ ихвх ехР (по„т) ~ йЯ =,, (9.34) !. ~. Й„Ф„ где т = й — !х — (1/еха) й ° (г, — г,). (9.35) Если пучок имеет лоренцево распределенн частот, при котором, как и в (7,115), йхехь е,'), +, (9.36) зов ГЛАВА 9 и все волновые векторы параллельны, то покажите, что дЯ = ехр( — у ~ т ~).
(9.37) Зто выражение эквивалентно классическому результату (5.75). Классический и квантовомеханический выводы степени когерентности первого порядка для хаотического светового пучка приводят к одинаковым результатам. Подводя итоги, можно сказать, что в некоторых случаях, включая хаотический и когерентный свет, причем последний в квантовой механике описывается состояниями )(ак)), приведенные выше результаты подтверждают выводы классической теории для экспериментов, зависящих от когерентности первого порядка. Когерентные свойства состояний ((ах)),еще больше увеличивают их сходство со стационарными волнами классической теории, на что было указано раньше в гл.
7. Однако интерференционные свойства других видов чистых состояний, которые могут встретиться в квантовой механике, должны определяться, как было показано на примере задачи 9.5, квантовой когерентностью первого порядка. Состояния ~(ак)) являются специальным классом состояний; другие виды квантовомеханических состояний не Всегда имеют классический аналог. Когерентность высших порядков Степень когерентности второго порядка, классическое определение которой дано в (5.99), определяется квантовомеханически таким же образом, как и степень когерентности первого порядка.
Когерентность второго порядка' можно ввести, как и в гл. 5, на основе анализа опыта Хенбери Брауна и Твисса. Интенсивности измеряются фотодетекторами, как показано на фиг. 5.16, и квантовомеханический анализ эксперимента должен заключаться в вычислении скорости одновременной регистрации фотонов двумя фотодетекторами. Вычисление по схеме, описанной ранее в настоящей главе, снова приводит к выражениям, сходным с выражениями классической теории, с той лишь разницей, что произведения ОПТИКА ФОТОНОВ 309 Эта величина всегда меньше единицы, поэтому если бы можно было создать световой пучок с определенным числом фотонов, то в опыте Хепберн Брауна и Твисса была бы получена отрицательная корреляция.
Задача 9.8. Покажите, что фазовое состояние 1!р), определенное в (7.28), имеет следующую степень когерентности второго порядка: д(2) !2 3' (9АО) классических полей вида ЕЕ* заменяются произведением пары операторов Е-с+, Эти вычисления ведут к следующему определению квантовомеханической степени когерентности второго по- рядка: Еп)(г!(„ Т2(2) г2(2, г!(!) = — Е!'2' = (Е (ТА) Е (ТА) ЕФ (ТА) Е+ (ТА)) (Е (т А) ЕФ (ТА)) (Е (ТЮ Е+ (ТА)) Здесь усреднение по ансамблю членов, стоящих в угло- вых скобках, производится при помощи оператора плот- ности, как и в (9.32).
При новом определении когерент- ности второго порядка отклик в эксперименте Хепберн Брауна и Твисса остается пропорциональным Е!!2' — !. Детальный вывод формулы (9.38) здесь не приводится, однако читатель может обратиться к теории скорости одновременного поглощения двух фотонов, изложенной в гл. 12, где пропорциональность между этой скоростью и числителем выражения (9.38) получена более строго. Когерентность второго порядка для различных одно- модовых чистых состояний, описанных в гл.
7, вычислить нетрудно. Результаты даны в следующих задачах. Задача 9.7. Покажите, что состояние с определенным числом фотонов (и) имеет следующую степень когерентности второго порядка: д!!'2!= для п~)2, (9.39) д!!2' — О для и = О или 1. ГЛАВА 2 Состояние с точно определенной фазой дает положительную корреляцию в эксперименте Хепберн Брауна и Твисса. Задача 9.9. Докажите, что когерентное состояние !а) имеет следующую степень когерентности второго порядка: (9.41) д12) 1 ~г Таким образом, согласно определению (5.100), состояние (и) когерентно во втором порядке, а потому световой пучок в этом состоянии дает в опыте Хепберн Брауна и Твисса нулевую корреляцию.
Видно, что в отличие от когерентности первого порядка, которая для одномодовых возбуждений всегда равна единице, степень когераитности второго порядка имеет разные значения для разных одномодовых возбуждений. Степень когерентности второго порядка для статистических смесей в некоторых простейших случаях вычислить нетрудно. Задача 9.10. Рассмотрите хаотический световой пучок в оптическом резонаторе, где по условию все нормальные моды, кроме одной, исключены с помощью фильтра, как и в задаче 5.5.
Оператор плотности для одной оставшейся моды определен в (7.107). Докажите, что афпг! = 2. (9.42) Степень когерентностн второго порядка для нефильтрованного хаотического пучка исследуется в задаче 9.13. Задача 9.11. Докажите, что степень когерентности второго порядка любого одномодового светового пучка можно выразить через среднее число фотонов и и средний квадрат числа фотонов пг следующим образом; д(2~— (9.43) ат зи ОПТИКА ФОТОНОВ Вычисление когерентностн второго порядка многомодовых возбуждений обычно значительно сложнее, и поэтому мы исследуем только два предельных случая: многомодовое когерентное состояние и многомодовое хаотическое состояние. Задача 9.12. Рассмотрите определенное в (7.102) многомодовое возбуждение !(ак)), где каждая мода находится в когерентном состоянии.
Используя оператор плотности (7.103), докажите, что д(2) 12 (9.44) Этот результат вместе с результатом задачи 9.4 показывает, что состояние !(ак)) когерентно во втором порядке. Задача 9.13. Рассмотрите многомодовый хаотический пучок, оператор плотности которого определен в (7.1!1). Докажите, что степень когерентности второго порядка имеет вид лхох ехР (гехт) ~ „,!. Л. ЛАФА) (9.45) Здесь была использована формула (9.34), Квантовомеханическая когерентность второго порядка хаотического светового пучка совпадает с классическим выражением (5.!О!).
Как и в классической теории, степени когерентностн первого и второго порядков являются лишь первыми членами в иерархии функций когерентности, и можно было бы поставить обобшенный интерференционный эксперимент, результат которого определялся бы когерентностью произвольного порядка. Квантовомеханическое определе- 312 ГЛАВА 9 ние когерентности п-го порядка, заменяющее классическое определение (5.108), имеет вид ам)(гА, ..., г„(„; г, ~ф„~ь ..., гз„(9„) = 1(Е (гФ,) ... Е (тп1п) Е (та+~(п~-~) ° . Е (г9лбв)) ~ ((Е (губ) Е (гА)) ° ° ° (Е (ггабп) Е (г9909))) ' Степени когерентности первого и второго порядков, определенные в (9.3!) и (9.38), являются частными случаями этого более общего определения. Степень когерентносги п-го порядка определяет измеряемый отклик в эксперименте, где каким-либо способом одновременно регистрируются а фотонов.
Пример такого эксперимента можно найти в гл. 12, где показано, что скорость одновременного поглощения трех фотонов све'тового пучка, сопровождаемого испусканием одного фотона третьей гармоники, пропорциональна аз>. Когерентность п-го порядка имеет два простых свойства, аналогичных классическим результатам (5.107) и (5.108). Рассмотрим сначала многомодовое когерентное состояние ~ (як)). Из определения Еь в (9.9) и свойства когерентных состояний (7.52) следует, что ~(пк)) — собственное состояние оператора Е+: Е (г()((ак)) = = ( У ь(дгаь/2В9)')'* ак ехр ( — (мк( + (й г)з((ак)). (9.47) Следовательно, в случае чистого состояния ((ик)) числитель и знаменагель выражения (9.46) для д~"> содержат произведения коэффициентов, похожих на члены в квадратных скобках формулы (9.47) и их комплексное сопряжение. Более тщательный анализ показывает, что в действительности числитель и знаменатель идентич«ы, и в результате получаем а~м(гА, ..., г„(„; г„„(„„ь ..., г„(9„) — ! для всех и.
(9.48) Таким образом, квантовомеханическое когерентное состояние имеет точно такие же когерентные свойства, что и классическая стационарная волна, и является когерентным во всех порядках. В любых интерференционных экс- ОПТИКА ФОТОНОВ периментах, как бы сложны они ни были, квантовомеханическое когерентное состояние создает такие же интерференционные картины и корреляции полей, какие получились бы при расчете для классической стационарной волны.
Именно благодаря этому свойству базисные состояния 1х) получили название когерентных состояний. В противоположном пределе многомодового хаотического состояния с оператором плотности, определенным в (7.11!), величину д~"> нетрудно вычислить в частном случае, когда все пространственно-временные точки в (9.46) одинаковы. Согласно расчету, степень когерентности и-го порядка равна п(, как и в классическом результате (5.108). Действительно, все квантовомеханическне свойства хаотического света идентичны свойствам, полученным в классической теории когерентности.
Теоретический анализ интерференционных экспериментов с использованием хаотического света можно проводить равным образом с помощью двух этих теорий. Комбинации операторов Е- и Еь, усредняемые в определениях степеней квантовомеханической когерентностн, всегда образованы таким образом, чтобы операторы ЕФ находились справа от операторов Е-. Тогда, согласно (9.9) и (9.10), операторы уничтожения стоят справа от операторов рождения. Говорят, что произведение операторов, обладающее этим свойством, имеет нормальную форму (см., например, (4]). Это обусловлено тем, что, как обсуждалось в этой главе ранее, действие детекторов света определяется операторами уничтожения фотонов, которые могут дать отклик только при наличии фотонов в месте нахождения детектора.
Близкое сходство между когерентным состоянием и классической стационарной волной не столь очевидно на фиг. 7.3, на которой изображено электрическое поле когерентного состояния, обладающее в отличие от точно определенного электрического поля классической волны на фиг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
