1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Они обусловлены дискретной природой фотоэлектрического процесса, в котором энергию из светового пучка можно забрать только в виде целого числа фотонов. Из формул (9.65) и (9.66) видно, что флуктуации частиц Ьгп пропорциональны корню квадратному из интенсивности пучка.
Флуктуации частиц являются внутренне присущим, неотъемлемым свойством экспериментов по счету фотонов. Световые пучки различаются по степени превышения флуктуаций отсчетов над величиной (9.66), а флуктуации частиц имеются всегда. Полученнь|е выше результаты для пучка с постоянной интенсивностью, очевидно, применимы к классической стационарной волне (5.39), изображенной на фиг. 5.10, и, как будет показано в этой главе позже, та- 320 ГЛАВА Р кое же распределение справедливо для квантовомеханического когерентного состояния. Другой важный случай применимости распределения (9.б4) следует из того факта, что интенсивность Т(1, Т) 0,4 О,Ю 0 а о,г О,! 0,! 0 1 2 б 4 Х 0 7 8 9 10 11 12 1о 14 15 Фиг. 9.4.
Пуассоновскан форма распределения фотоотсчетов для световых пучков постоянной интенсивности. Значения т являются средними числами фотонов, сосчитанных аа иериод Г. Отметим, что для атассоиовского раслределеиив Р Р гн лг- г может быть постоянной даже при флуктуации величины Т(1). Так, для хаотического светового пучка с временем когерентности т„как видно из (9.58), величина Т(1, Т) не зависит от 1, если Т много больше т„и все флуктуации усреднякттся за большой период счета Т. Следова- оптика фотонов зз! тельно, равенство (9.63) справедливо для хаотического света при Т )) т, и в этом пределе для него справедливо пуассоновское распределение. Распределение отсчетов фотонов для хаотического света можно также легко вывести в другом предельном случае, когда время счета меньше времени когерентности, т.
е. Т « т,. В этом пределе мгновенная интенсивность 1(1) в течение одного периода счета в основном постоянна и выражение (9.58) принимает вид 1(!, Т) =1(1), Т « т,. Распределение вероятности р(1(!)] для мгновенной интенсивности хаотического света приведено в (5.36). С помощью обычной эргодической гипотезы, которая для стационарного светового источника предполагается справедливой, усреднение по времени в (9.62) можно заменить усреднением по ансамблю с распределением р(1(!)], что дает Р (Т) == ~ ехр~ — = ! г 1 Тй)~ (УР)г! Т 1 т! ехр ( — ь1 (1) Т] Х ХгУ(У) = "', „.
(9.68) Здесь величина т определяется из (9.65). Таким образом, распределение фотоотсчетов для хаотического света в случае коротких времен счета сходно с распределением фотонов в одной моде теплового источника, приведенным в (!.68) и изображенным на фиг. !.9. Однако распределение фотоотсчетов (9.68) применимо не только для одной возбужденной моды, но и в общем случае произвольного хаотического света.
Значительно труднее определить вид распределения фотоотсчетов для времен счета Т, которые не малы и не велики по сравнению с временем когерентности т, хаотического света. Не давая здесь деталей таких расчетов, мы приведем на фиг. 9.5 некоторые вычисленные распределения фотоотсчетов (6] для фиксированного среднего числа сосчитанных фотонов гп = 4. Графики показывают, как непрерывно меняется вид распределения вероятностей от (9.68) для Т « т, до (9.64) для Т» т,. )! Зак. ВВз ГЛАВА 9 322 Хотя полная функция распределения для произвольных значений требует длительного расчета, величину флуктуаций числа сосчитанных фотонов хаотического 0,2 О,1 0,1 0,1 ) О 0,1 0,1 0,1 О г ~ Ю г 10 12 т Фиг. 9Л.
Вид распределения фатоотсчетов для хаотического света при ги = 4 и значения Т)т„ указанных на графиках. для значений Т)т, равных О и , вавясимости построены иа основе Формул с' (9.68) и )9,6ч). данные для нромежуточных значений Т)т взяты из работы )6). света вычислить нетрудно. Из (9.62) среднее число сосчитанных фотонов равно е т=2, тР (Т) =(ь1(1, Т) Т) =~1Т, (9.69) в е 323 оптика фотонов 2 Р.(Т) =1.
я=О (9.70) Среднее число отсчетов согласуется с результатом (9.65), полученным при более строгих условиях. Таким гке образом можно определить второй момент распределения 'Р. (Т) = У (1, Т) Т) + (Р (1, Т) ТР) = = т+((~7(г, Т) Т)'). (9.71) Среднеквадратичное отклонение для распределения можно записать в виде (Лш)з= — ша=т+РТ [(Г(1, т)> — Р). (972) Первый член в выражении для среднеквадратичного отклонения описывает те же флуктуации частиц, что и в формуле (9.66) для случая пучка с постоянной интенсивностью. Дополнительные флуктуации, описываемые вторым членом выра>кения (9.72), обусловлены случайными изменениями мгновенной интенсивности и называются волновыми флуктуаииями.
Очевидно, что в отличие от постоянного слагаемого, соответствующего флуктуациям частиц, волновые флуктуации' зависят от свойств исследуемого светового пучка. Более общий результат (9.72) переходит в (9,66) в случае постоянной интенсивности. Волновые флуктуации в (9.72) могут быть вычислены для хаотического пучка, имеющего лоренцев частотный профиль с параметром ширины линии у, который, как н в (5.52), связан с временем когерентности соотношением у = 1/т,. (9.73) Интеграл, необходимый для нахождения среднего в (9.72), уже был вычислен в (5.94), где т, необходимо за- 11' где усредненная за большой промежуток времени интен- сивность была обозначена через 7 и использована нор.
мировка распределения вероятностей ГЛАВА 9 324 менить на Т, Тогда среднеквадратичное отклонение дается выражением пт' (Лт) =т+ —,1,-(ехв( — 2МТ) — 1+ 2УТ). (9 74) На фиг. 9.6 показано, как меняется среднеквадратичное отклонение в зависимости от времени счета Т. Флуктуации частиц для постоянной интенсивности из (9.66) включены для сравнения. Е 1Р Р 2 1 Р 8 1Р Тута Фиг. 9.6.
Среднеквадратичное отклонение числа сосчитанных фото- нов для хаотического света с временем когерентности т,. Среднее число сосчитанных фотонов сазраняется равным лз Е независимо от времени счета Г. Горизонтальная прямая отмечает постоянный уровень флун- туацнй частиц. Для времени счета Т, меньшего времени когерентности т„выражение (9.74) принимает вид (Луп)т=т+ тв (уТ « 1). (9.75) В этом пределе все хаотические источники дают одинаковую статистику счета, определяемую формулой (9.68), а среднеквадратичное отклонение такое же, как найденное в (1.7!) для фотонов одной тепловой моды.
Уже отмечалось, что среднее, которое должно вычисляться в (9.72), сходно с величиной, определяющей корреляции Хепберн Брауна и Твисса. Среднеквадратичное отклонение зависит от степени когерентности света второго по. 32б оптикл фотонов рядка, и, следовательно, в пределе бесконечного времени когерентности результат для хаотического света отличается от результата для когерентного света, как показано на фиг. 9.6 и как следует из формул (9.66) и (9.75). Общий результат (9.74) принимает вид (Лт) =гл+ г (уТ >) 1), (9.76) если время счета Т велико по сравнению с т„и переходит в выражение (9.66) в случае очень больших времен счета, когда распределение фотоотсчетов имеет пуассоновскую форму, рассмотренную выше.
Квантовомеханическое распределение фотоотсчетов Полученные выше распределения фотоотсчетов основаны на полуклассическом выражении (9.62). Более общая теория распределения фотоотсчетов получается при полной квантовомеханнческой постановке задачи. Более общая теория может учесть такие возбуждения поля, которые не описываются классической теорией, а кроме того, она дает более полные результаты для всех типов возбуждения. Квантовомеханическая теория распределения фотоотсчетов, как и полуклассическая теория, исходит из анализа последовательности фотоэлектрических процессов, связанных с детектированием совокупности фотонов при помощи фотодетектора. Вычисления похожи на расчеты, приведенные выше при выводе степеней квантовомеханнческой когерентности, но распределение фотоотсчетов носит более сложный характер вследствие появления в вероятности отсчета т фотонов всех степеней когерентности, как и в полуклассическом результате (9.62).
Квантовомеханическое распределение фотоотсчетов было впервые получено Келли и Клейнером (7), в статье которых можно ознакомиться с деталями довольно длинного вывода. В том случае, когда размеры катода фотодетектора малы по сравнению с длиной когерентности излучения, их результат можно записать в виде Р (Т) = Зр(рЛ' ехр[ — 9(Т) Т)~, (9.77) ГЛАВА 9 где Ю ! = —.
~ 2е.сЕ (г!) Е+ (г!) й; 9 (9.78) вектор г описывает положение детектора, а операторы Е+ и Е определены в (9.9) и (9.10). Квантовомеханическое распределение имеет явное сходство с полуклассическим результатом (9.62), однако в квантовомеханической формуле следует учитывать порядок операторов. Оператор Л' обеспечивает нормальное упорядочение (3) операторов электрического поля, которые.следуют за ним. Иначе говоря, если экспоненту в (9.77) разложить в степенной ряд, то для каждого члена этого ряда операторы электрического поля должны быть упорядочены таким образом, чтобы все операторы Ее находилнсь справа от операторов Е-, как, например, в числителе выражения для когерентности и-го порядка (9.46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
