1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Ее(1., 16, 1012 (1966). 12. Агегсая Р. Т„Оаи! Е., Бона А., РЬув. Ее(1., 20, 27 (!966), ГЛАВА В 338 13. Р!йе Е. )7., Ееч. пиочо снп., 1, питего зрес(а!е, 277 (1969). !4. Тау!аг П. !., Ргос. СагпЬ. РЬ!!. Вос., 15, !14 (1909). 15. Р[!еецог )7. С., Маада! 1, РЬуа. Ееч., 159, !084 (1967); )оигп. Ор(. Бос.
Атпег., 58, 946 (1968). ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Наиболее подробное н всестороннее рассмотрение различных проблем квантовой оптики можно найти в трудах трех летних школ, а именно: !. Оиап(шп ор1!сз апд е!ес1гоп1сз, ед. С. ОеВ!1!1, А. В1апд(п, С.
СоЬеп-Таппоид)1, Оогдоп апд Вгеасй, Ыем УогК 1965. 2. Оиап(шп орВсз, ед Е. 3. О!аибег, Асабет1с Ргезз, Ыечг УогК 1969. 3. Опалит орбсз, ед. Б. М. Кау, а Май!апд, Асадет!с Ргезз, Ьопдоп, 1970. Статьи Р. Глаубера во всех трех томах, и особенно в первоы, являются хорошим введением в данную область физики. Экспериментальное изучение статистики фотонов рассмотрено Ф. Арекки в [2) и Е. Пайком в [4). См. также: 4. Ргйе Е. Я., Веч.
пиочо с!т., 1, пиочо зрес!а!е, 277 (1969); Ееч. РЬуз. ТесЬпо)., 1, 180 (1970). Кроме того, имеются две нниги, где основное внимание уделено математическим аспектам данного предмета: 5, К!андег Е Я., Бндагзйап Е. С. П., Рипдатеп1а!з о1 циапШгп ор1кз, Веп[агпш, Ые~ч УогК 1968. (См. перевод: Дж. Клаудер, Э. Сударшан, Основы квантовой оптики, изд-во «Мир», 1970.) 6. Регин 7., СоЬегепсе о1 ВВМЬ Кап )4оз!гапд Ее!ВЬо)д, Ьопдоп, 1972. (См, перевод: Я. Перина, Когерентность света, изд-во «Мир», 1974.) Глава 10 Теория лазера Световой пучок, генерируемый лазером, характеризуется не только высокой интенсивностью, но такжв своими когерентными свойствами.
Высокую интенсивность можно объяснить на основе простой теории лазера, изложенной в гл. 2. Объяснение когерентных свойств требует довольно детального рассмотрения влияния взаимодействия излучения с атомами на статистические свойства светового пучка. Настоящую главу мы начинаем с описания тех изменений статистических свойств световых пучков, которые обусловлены поглощением и переизлучением фотонов при взаимодействии света с двухуровневыми атомами. Затем теория обобщается на случай трехуровневой схемы лазера.
В отличие от полуклассической теории, строго применимой только к усилению внешнего излучения, общая квантовая теория, изложенная в настоящей главе, учитывает спонтанное излучение и может применяться для анализа самовозбуждения обычного лазерного источника света. Теория лазера ограничена случаем непрерывных стационарных световых пучков, импульсные эффекты не рассматриваются..
Кинетические уравнения для фотонов Рассмотрим газ в объеме г', состоящий нз М одинаковых двухуровневых атомов. Пусть частота атомного перехода есть ым и мы будем рассматривать взаимодействие с одной модой й оптического резонатора. Посколь- ГЛАВА !О 340 После подстановки ~ чз (8.70) и обычного углового усреднения по случайным ориентациям атомов выражение (10.2) преобразуется к виду (Яегв ! 0,г г/За„йУ) пб (вг — в). (10.3) В результате спонтанного излучения атома во все моды резонатора присходит уширение узкого атомного перехода на частоте вг (фиг. 8.2). Поэтому б-функция в (10.3) должна быть заменена нормированным распределением для нзлучательно уширенной линии перехода.
Если пренебречь всеми источниками уширения линии, кроме излучательного, то получаемая из (8.143) замена б-функции запишется следующим образом: т/я б(в — вг)» (в 1, +, (10.4) Здесь параметр ширины линии у находится из выражения (8.!37), вычисленного при в = вм а множитель и обеспечивает нормировку. Подстановка замены (10.4) в выражение (!0.3) дает вероятность в единицу времени поглощения фотона «'я ! П!г Р (10.5) зевйУ (в — в)г + т' Допустим, что частота выбранной моды резонагора в совпадает с центром атомной линии поглощения на ку необходимо рассмотреть только одну моду резонатора, то индекс (4 у переменных поля излучения может быть опущен и в результате укороченный гамильтониан (8.103) для системы «излучение + атом» принимает вид Я = йв,й й + йвй й + (йу г,й и — а й)7 (10.!) Допустим, что в моде резонатора имеется и фотонов.
Вероятность поглощения в единицу времени фотона не- возбужденным атомом, согласно формуле (8.76), дается выражением 2птглб (во — в). (10.2) тзогня ЛАзеФА 341 частоте мм Используя формулу (8.137), определим величину 2 (10.6) Тогда вероятность поглощения (10.5) запишется просто как Уп.
(!0.7) Отметим, что эта величина пропорциональна пространственной плотности фотонов пД~. Вероятность испускания фотона с частотой ы = вэ атомом, находящимся в возбужденном состоянии, определяется таким же образом'из (8.81). Эта вероятность дается выражением (!0.8) У(п+ 1). Два члена л и ! соответствуют вынужденному и спонтанному испусканию; У есть скорость спонтанного испускания в данную рассматриваемую моду резонатора, тогда как коэффициент Эйнштейна А илн величина 1!та из (8.84) является полной скоростью спонтанного испускания во все моды. Состояние поля излучения в одной моде резонатора определяется оператором плотности фотонов р, рассмотренным в гл.
7. Состояние фотонов мы будем описывать диагональными элементами Р„ матрицы плотности р в представлении состояний с определенным числом фотонов, введенных в (9.81). Согласно (9.8?) и (9.89), ла Р„= —, ехр( — й) (10.9) для одномодового когерентного возбуждения и Р„= (10. 10) (1+ л) +" для одномодового хаотического света. Как было подчеркнуто в предыдущей главе, если недиагональные матричные элементы (п(р(л') отличны от нуля, то значение Р„дают лишь частичное описание состояния фотонов. Кроме того, использование одномодового оператора 342 ГЛАВА 1О плотности приводит к тому, что теория может предсказывать только мгновенное распределение фотонов по состояниям с определенным числом фотонов. Однако использование Р„достаточно для описания основных статистических свойств излучения.
Временнбй масштаб флуктуаций числа фотонов рассматривается другим методом позже в этой главе. Поглощение и излучение фотонов двухуровневыми атомами изменяет распределение фотонов Р„. Временные изменения Р„ могут быть описаны с помощью кинетических уравнений. Кинетические уравнения уже использовались для нахождения вероятностей населенности атомных состояний в гл. 1 и 2. Для фотонных вероятностей кинетические уравнения можно вывести аналогичным образом. На фиг. 10.1, сходной с фиг. 1.4, показана схема энергетических уровней моды резонатора. Величина Р„ есть вероятность нахождения фотонного поля в п-м возбужденном состоянии.
Предположим, что средние числа атомов в основном и возбужденном состояниях равны Ф> и Ль Излучательные переходы, конечно, стремятся изменить как Р„, так и вероятность атомного возбуждения. Однако мы будем предполагать, что некоторое внешнее воздействие поддерживает значения Ж, и Жз постоянными. Таким образом, во времени меняется только распределение фотонов Р , а флуктуации значений М> и Уз исключаются из рассмотрения. Существует четыре типа переходов, изменяющих Р„.
Если в моде реально имеется и фотонов, то каждьш из У> атомов в основном состоянии поглощает фотоны со скоростью, приведенной в (10.7), а каждый из >Уз возбужденных атомов испускает фотоны со скоростью, определенной в (10.8). Оба процесса уменьшают величину Р„с общей скоростью, равной — Н,DŽЄ— Уф(п + 1) Р„. (10.11) Имеются также два положительных вклада в скорость Г!Р„)Г1!. Если с вероятностью Р„, 1 возбуждено и — 1 фотонов, то Уз возбужденных атомов могут испустить фотон и перевести поле в его и-е состояние. Скорость этого процесса определяется из (10.8) при замене 343 теория лАзеРА и на и†1 и равна 7чу Лп Р„ (!0.12) Аналогично если с вероятностью Ри ы имеется л+ 1 фотонов, то Атг атомов в основном состоянии могут погло.
леу Ру Фиг. 1О.1. Схема энергетических уровней для фотонов в выбран- ной моде резонатора. Уквавючые скорости переходов дают вклады в веаичнну сгри)мг. Расстояние между уровняМи равно Ьюи тить фотон и перевести поле в п-е возбужденное состояние, при этом Р„возрастает. Скорость процесса получается из выражений (10.7) при замене и на и+ 1 и равна Лг,У(а+ 1) Рн+г. (10.13) 344 ГЛАВА 1О УГ/Ф1 ! — Мг/А/1 (10.20) Суммирование вкладов (10.11), (10.12) и (10,13) дает полную скорость г/Р,!г/! = — Мэу(п+ 1) Р„+ М1У(п+ 1) Р„+1— — М13пр„+ М,БЛР„1. (10.14) Четыре перехода, дающие вклад в скорость Г/Р„/г/!, показаны на фиг. 10.1. Рассмотрим сначала стационарное распределение фотонов; при этом правая часть уравнения (!0.14) принимается равной нулю.
Получающаяся цепочка уравнений для различных значений и решается следующим образом. При и = 0 только два типа переходов дают вклад в скорость Г/РВ/Г/!, поэтому уравнение (10.4) преобраауется к виду Г/Р,/Г/! = — МДР, + М1ЖР1. (10 16) Стационарное решение этого уравнения можно использовать для упрощения уравнения (!0.14) при п = 1, которое в свою очередь можно использовать для упрощения уравнения (!0.14) при п = 2 и т. д. Общее условие стационарного состояния имеет вид Мопр„1 — М1 эпр„= О. (10.16) Этот результат является примером выполнения принципа детального равновесия в стационарных условиях. Можно показать в общем случае (!), что состояния, связанные малыми неисчезающими вероятностями переходов, должны иметь точно такие же вероятности населенностей в стационарных условиях.
В данном случае вероятности населенностей равны Мэр„ 1 и М,Р„. Решение цепочки уравнений (10.!6) имеет вид / л (М1/М1) Рп — 1 = (МиМ1) Рм (10.17) Оставшаяся неизвестной вероятность Р, определяется из условия нормировки ЕР.=1, (10.18) л а конечный результат дается следующим выражением: Р„= (М,/М,)" (1 — (М1/М1) ). (10.19) Это фотонное распределение точно такое же, как в (10.10), с ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА Следовательно, стационарное распределение фотонов такое же, как распределение фотонов хаотического света. Оно имеет точно такой же вид, как определенное в (1.75) распределение фотонов света, взаимодействующего с атомами при тепловом равновесии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
