1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Эти две скорости определяют скорость движения атомной и фотонной частей лазерной системы. Все скорости, определяющие число фотонов в моде резонатора, примерно в 1О или 100 раз меньше скоростей атомных переходов. Это свойство позволяет в аднабатическом приближении развязать атомную и фотонную системы. В процессе временнбго развития распределения фотонов более быстрая атомная система приводит населенности- своих уровней в равновесии с мгновенным распределением фотонов.
Поэтому наши вычисления удобно проводить в две стадии. На первой стадии мы выведем кинетические уравнения для атомных населенностей при стационарном распределении фотонов Р„. Стационарное решение этих уравнений определяет атомные населенности для данного распределения Р„. На второй стадии мы исследуем значительно более медленное временнба развитие самого распределения фотонов, которое определяется взаимодействием с атомами и скоростью потерь в резонаторе.
Приближение зависит от относительных величин у„ уз и С. Оно было бы несправедливо, если бы значение С было порядка или больше уь где з = 1,2. Данное приближение очень сходно с адиабатнческим, приближением в динамической теории кристаллической решетки [5). Электроны в кристалле движутся значительно быстрее ядер, поэтому сначала решают уравнения движения электронов, считая ядра неподвижными. Движение ядер определяется на второй стадии вычислений,тдв электронные волновые функции используются для опре- Збз ГЛАВА 1О деления эффективного потенциала, в котором движутся ядра. Используемый здесь метод кинетических уравнений является простейшим способом нахождения распределения Р„ лазерных фотонов.
Он не является столь же общим или строгим, как другие методы (5 †]О), использовавшиеся для нахождения Р„. Однако в отношении отдельных результатов, включая детальный вид распределения фотонов, этот метод эквивалентен некоторым более сложным вычислениям '). Для проведения первой стадии вычисления мы должны определить атомные населенности для данного распределения фотонов. При расчете будем использовать только средние числа атомов в состояниях 1 и 2 без исследования флуктуации атомных населенностей. Определим величину й„как вероятность нахождения п фо- 1 тонов в моде резонатора и одновременного нахождения произвольного атома в состоянии 1.
Иными словами, М]с~„)Р„есть среднее число атомов в состоянии 1 при наличии п фотонов. Поскольку вероятность нахождения атома в состоянии 1 независимо от числа имеющихся фотонов равна М~/М, то ~~', й„= М~/М. (!0.57) Определяя аналогично ]7„'для состояния 2, похлучаегн Х й„' = МАМ.
([0.58) На первой стадии расчета распределение фотонов зафиксировано, поэтому только атомные сбставляющие функций комбинированных вероятностей меняются со временем. Факторизация величин Я„и 17„невозможна, 2 например тт ~ (М4~М) Р ([0.59) ') Кинетические уравнения были впервые использованы для определения флуктуаций интенсивности лазерного пучка в работе [11]; вычисление, несколько сходное с последу~оптин расчетом, было приведено в [12].
ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА поскольку атомные вероятности зависят от числа возбужденных фотонов н не являются фиксированными, как в случае вычислений для двухуровневых атомов, проведенных в главе раньше. о+1 — — лей !з'~ 9(о+1) л+1 0 ! гп+г Состояние У фнг. 1О.б. Схема комбинированных анергетнческих уровней Хля трехуровневого атома и фотонов. 2 Стрелки указывают только те переходы, которые влияют на вероятности В и Х !.
Соотзетствуююие скорости изменения зтих вероятностеа показаны ! а+ !' окало стрелок, указываюпзих перехояы. 2 ! Рассмотрим скорости изменения величин 1с„и й„р!. На фиг. 10.5 показана схема комбинированных энергетических уровней системы «атом + фотоны» с указанием а скоростей переходов, влияющих на 1гй и 1с„. Поскольку накачка переводит атомы в состояние 2 со скоростью, не зависящей от числа уже имеющихся в этом состоянии атомов и от распределения фотонов, то ее вклад в 86О ГЛАВА 1О равен скорости роста ГР„.
Все остальные скорости пропорциональны )т„или )7„+1 и анализ фиг. 10.5 дает слез дующие кинетические уравнения: Г!К~й = ГР„+ Я„+1У (и + 1)— — !т'„У (и + 1) — 2у,й'„, (10.60) Г)й„'ч.1 ~Г7! = — )7,+1У (и + 1) + + Д>У(а+ 1) — 2У,Я' и (10.61) Эти уравнения представляют собой более точный вариант кинетических уравнений (2.43) и (2.44), в которых излучение описывается только средней плотностью энергии (г' и распределение фотонов не учитывается. За промежутки времени, большие по сравнению с временами распада атомного уровня (!О->†10-' с), но малые по сравнению с временем затухания моды резонатора (!О-~ с), атомная система достигает равновесия со сравнительно статическим распределением фотонов.
з я В этом стационарном состоянии значения !т„и >г'„+1 не зависят от времени и скорости, данные в (10.60) и (10.61) можно положить равными нулю: ГР„+ й1+,У(п+ 1) — Я>У(н+ 1) — 2уз)1'„=0 (10.62) — )7„'ч 1У (п + 1) + й'„У (и + ! ) — 2у,)71ч 1 = О.
(10.63) Сложение уравнений (10.62) и (10.63) дает ГР„= 2уз>т~ + 2у1)7„+1. (10.64) Суммируя это равенство с обеих сторон по и и учитывая (!0.18), (10.57) и (!0.58), получаем ГА> = 2УзЛГ, + 2У1Л'о (10.65) \ Здесь мы отметим, что величина >ге равна нулю для схемы переходов, приведенной на фиг. 10.5. Результат (!0.65) выражает равенство скоростей прямых и обратных переходов для основного состояния 3 и эквивалентен формуле (2,48). ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА Функции вероятностей для системы «атом+фотоны» получаются непосредственно решением уравнений (10.62) и (10.63): гР„(У (и+ 1) + 2т~) (10.66) 2 ( т ~ 1 т г ) У ( а + 1 ) Й„+~ — " . (10.67) 4т~у, + 2 (т~ + ъ) У (и + 1) ' Это основные результаты первой стадии вычислений.
Отметим, что выражения (10.66) и (10.67) имеют структуру, сходную со структурой выражений (2.5!) и (2.50). Относительные величины различных членов в формулах (10.66) и (10,67) можно оценить, исходя из приведенных ранее значений параметров. Рассмотриы два члена в знаменателях. Удобно ввести новую величину ~т!Т2 (10.68) (т~ + тг) У ' Из (10.51) и (10.53) следует, что рж3 10'.
(10.69) Из (10.66) и (10.67) видно, что для чисел фотонов п, много меньших р, первый член в знаменателе много больше второго, а второй член в числителе много больше первого, отсюда (10.70) гР„У(а+1) Я~У(п+1) К+~ ж 4 т 2 (и ~ г). (10.71) Населенность атомного состояния 2 значительно больше населенности атомного состояния 1. Суммирование по и обеих сторон уравнения (10.70) показывает, что величина л(т поиблизительно равна Жг/2ум что совпадает с результатом (10.47), полученным на основе более качественных рассуждений. В то же время для чисел фотонов п, много больших р, члены, содержащие э(и+ 1), доминируют в (10.66) и (10.67), поэтому тс;, ж 14„'+, ж гР„!2 (у, + уз) (и ъ ф).
(10.72) ГЛАВА Ю Населенности двух возбужденных атомных состояний теперь почти одинаковы н равны Уг/2(у, +уз). Это и есть тот самый эффект насыщения, который описан в гл. 2 и который, как будет показано дальше, важен для определения статистических свойств лазерных фотонов. Кинетические уравнения для лазерных фотонов На второй стадии расчета лазера мы проанализируем влияние атомных переходов на состояние фотонов в моде резонатора. Рассмотрим действие показанных на фиг. 10.5 переходов на число фотонов. Только два горизонтальных перехода непосредственно влияют на Р„ определяя скорость роста )7„~~ У(п + !) и скорость уменьшения Л„У(п+ 1) для каждого из йг атомов, находящихся в резонаторе. Согласно (10.66) и (10.67), Р') Л,+~ (10.73) поэтому суммарный эффект двух типов переходов дает отрицательный вклад (г(Рп~й)„„+1 = й! (Ил+1 — йа) У (л + 1).
(10.74) Фотонная вероятность Р„также зависит от горизонтальных переходов между соседней нижней парой уровней на фиг. !0.5. По аналогии с приведенным выше результатом эти переходы дают положительный вклад (г(Р„(М)„„, = й7(й„~ — Д„)Зп, (!0,75) Вклады четырех типов переходов, определяющих Р„, показаны на схеме энергетических уровней, изображенной на фиг. 10.6. Эта схема похожа на фиг. !0.1, но теперь для скоростей переходов даны более общие выражения, учитывающие влияние распределения фотонов на населенности атомных возбужденных уровней. Генерации фотонов за счет атомных переходов препятствуют потери, определяемые скоростью С.
Потери фотонов приводят только к переходам вниз, показанным иа фиг. 10.6. Два таких перехода влияют на п-й энерге- ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА тическнй уровень фотонов и дают следующую скорость изменения: (Г(Рп)г11)потеря = СЛРп + С (и + 1) Раен (10.76) Полная скорость изменения Р„определяется суммой выражений (!0.74) — (10.76). Учитывая общие вероятности из (10.66) и (10.67), а также используя величины и+1 Рвет Рвы Рт Фнг. 16.6. Схема энергетических уровней для фотонов, показывающая скорастн роста н распада Р„, обусловленных атомными пере- ходами н потерями резонатора.
а и р, определенные в (10.49) и (10.68), получим результат пр„аРР„(п + 1) аРРп,п Пг 6+и+ 1 6+и — СпР„+ С(л+ 1) Р„+Р (10.77) Отсюда видно, что динамические свойства распределения фотонов определяются тремя параметрами: и, р и С. Точно такое же уравнение (!0.77) для распределения фо- ГЛАВА 1О тонов получается при более строгих вычислениях'), в которых используется метод оператора плотности. Решение системы связанных уравнений для Р„представляет сложную задачу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
