1626435915-d40150bde55ea32443623c7509f13228 (844349), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Даже моменты распределения фотонов трудно определить как функции времени в отличие от соответствующих вычислений, основанных на уравнениях, несколько сходных с уравнениями (10.14) для двухуровневого атома. Наличие и в знаменателях первых двух членов в правой части уравнения (10.77) препятствует получению простых уравнений движения для моментов.
Временное развитие распределения лазерных фотонов было исследовано в работе [131 методом численного интегрирования уравнения (10,77), но здесь эти расчеты не рассматриваются. Однако стационарное распределение фотонов, для которого временные производные в (10.77) принимаются равными нулю, можно получить довольно просто. Как и в случае стационарного решения уравнения (10.14), полная скорость перехода между любой парой энергетических уровней фотонов должна равняться нулю, а потому для уровней и и и†1 на фиг. 10.6 получаем й)Р„-~Уп — Уй„Уп — СЛР„= О.
Используя (10.49), (10.66) — (10.68), это уравнение перепишем следующим образом: (10.79) Величину Р„можно выразить через Р, посредством итераций ( В)С)"Р а (6+ и) (6+ и 1) (6+2) (6+ 1) (~Р/ ) р~ Ра (10 80) (р + п)$ Следовательно, распределение фотонов Р„ полностью определено, за исключением величины Ро, которая является вероятностью отсутствия фотонов в моде резона- ') Ср. (!0,77) о формулой (86) иа работы 16]. 366 ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА тора.
Оставшаяся неизвестная величина находится из условия нормировки (10.18): ~~', Р, = Ро ~, (, + „= 1 (10 81) (ар/с)"р! а а Сумму по и можно выразить через стандартную конфлюэнтную гипергеометрическую функцию, определяемую обычным разложением в ряд[14) ч-ъ (а+ в — !)! (Ь вЂ” !)! хл л'.л (Ь + — 1) ! (а — 1)! а ! Сравнение (10.81) и (10.82) показывает, что исходное уравнение можно переписать в виде Р (! ! + [)' О()!'С) Р, = 1. (10.83) Следовательно, полное решение уравнения (10.80) для распределения фотонов дается выражением ') (ор)с)ар! Р,— („+„! .
! +, „) . (!0.84) Распределение лазерных фотонов Наиболее важной характеристикой лазера, которую необходимо получить из изложенной выше теории, является среднее число фотонов, генерируемых при данной скорости накачки. Скорость накачки пропорциональна а, и из (10.84) видно, что распределение Р„ зависит от а только в комбинации и/С. Следовательно, для данного р распределение фотонов можно исследовать как функцию отношения а/С. Используя (!0.80) и условие нормировки, получим, что среднее число фотонов дается выражением О в а=о Р ~([) ! л р) йтй)с)"Р! 'е = (ар)С) — и (1 Ро) (10 85) ') Эта форма распределения была впервые получена Сналли н Ламбом в работе !61. Збб ГЛАВА 1О 10г 10 в 10г где величина Р, определяется из (10.83).
Эти результаты еще не являются окончательными, поскольку в них входит величина Ра, выраженная через конфлюэнтную гипергеометрическую функцию. Однако эту функцию мож- но записать в простой 10в форме для областей ниже порога, при пороге и выше порога, которые будут по очереди нами рассмот10в репы. Последующий анализ уже использован на фиг. 10.7, где показано 10ч среднее число фотонов й й как функция а/С для 10в значения )1, данного в (10.69).
Отметим, что за резким увеличением й при лазерном пороге а/С = 1 10 следует медленный рост при более высоких скоро- 1 стах накачки. Исходя нз этого, можно провести 10 ' аналогию между порогом для лазера и фазовым песе/0 реходом второго рода[15). фиг. !В.т. зависимость среднего ' ПЗЕР ННЗГВ "ОРОВГ' числа фотовов и в излучении о/С <, !. Упрощения„коодиомодового лазера от скорости торые можно сделать в накачки, пропорциональной а/С, выражении для распредеи — з !о' ления лазерных фотонов, зависят от различных приближений конфлюэнтной гипергеометрической функции, справедливых для разных значений а/С. Параметр р является очень большим числом,.поэтому конфлюэнтную гипергеометрическую функцию удобно разложить в ряд по обратным степеням [1. Эти разложения стандартны [14), и детали их математического вывода здесь не приводятся.
Ниже порога второй аргумент функции ~Р, больше третьего, и соответствующее разложение дается выра- ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА жен нем > Р> (1, 1 + !3,' а!)/С) = 1 — (а/С) Х Пренебрегая членами порядка 8 ' и подставляя найден. ный результат в (10.83), получаем а~ а/С ( 1 С / + р ! ! ( а (10.87) а среднее число фотонов из (10.85) принимает вид (10.88) (~ + и)! = 81 Д" (8 >> и). (10.89) На основе этого результата и аппроксимации Р, первым членом выражения (10.87) распределение фотонов (10.80) можно записать в виде Р„=(") (! ") =,+„(а/С(!), (10.90) где величина 8 определена в (10.88).
Распределение фотонов идентично распределению (10.10), и, следовательно, ниже порога свет является хаотическим. На фиг. !0.8,а показан график распределения (10.90) для случая и/С = '/ь 2. Лорог а/С = 1. При пороге второй и третий параметры конфл>оэнтной гипергеометрической функции почти одинаковы и разложение (10.86) больше не пригодно.
Функцию можно оценить с помощью интегрального представления, детали вычисления которого даны в приложении в конце этой главы. В результате получим (10.91) Если только значение а/С не очень близко к единице, то число фотонов в моде резонатора всегда мало по сравнению с р, а потому можно использовать прибли- жение 1,0 0 г 1 5 5 п 10 а 0,5 0 0 г 1 5 5 10 а И15 . 10-з 1,00 ~ч, 0,5 00 -15 -г 0 г 15 (п-5)х10 з гРиг.
10.8. Распределение фотонов Р„для лазера, работающего соответственно ниже порога, при пороге и выше порога. Распределении изображены в виде непрерывных кривых, хотя распределение Р„ строго Определено только для целых значений и. Вертикальная черта нз каждой графике обозначает среднее число фотонов а. Численные данные для трех фигур следущщпе: Р З ° ~О; п) пщ- Рз, и И и, О,б: б1 и!О= И и йпп, Р, З,й.1з-гз в1оус З,а З Щг. Р З,З ° йз ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА 369 Следовательно, Ро ( — — р) (а/С = 1) (10.92) и среднее число фотонов из (10.85) есть и ж ( — ) (а/С = 1) . (10. 93) Как указывалось выше, этот результат несправедлив в области, очень близкой к порогу. Для значения р, приведенного в (10.69), среднее число фотонов при пороге приблизительно равно 4400. Распределение фотонов при пороге определяется из (10.80) и (10.84) и имеет вид Р„= ( — ) (а/С = 1).
(10.94) Эта зависимость показана на фиг. 10.8,б. Описанный в приложении метод можно использовать для изучения распределения фотонов при скоростях накачки, близких к пороговому значению. Можно определить некоторую околопороговую область, где приближения, описанные в пп. 1 (выше порога) и 3 (ниже порога), несправедливы.
Можно, однако, показать, что эта около- пороговая область соответствует значениям а/С, отличающимся от единицы на величину порядка нескольких значений ()-'ь. Данная область настолько мала, что на фиг. !0.7 ее не видно. В дальнейшем она нами не рассматривается. 3. Лазер выше пороеа, а/С ) 1. Теперь третий аргумент конфлюэнтной гипергеометрической функции больше второго и соответствующее разложение по степеням р — ' дается выражением (14) ,Е,(1, 1+р; ар/С) = =р!Ехр( с )(с ) ~1+О( —.р Ц (1095) Эта величина намного больше единицы и значение Рд соответственно пренебрежимо мало. Следовательно, среднее число фотонов из (10.85) имеет вид 6 = р ((а/С) — 1) (а/С ) !). (10.96) ГЛАВА 1О При сохранении в (10.95) только основного члена распределение фотонов, приведенное в (10.84), принимает внд Р„= (ар/С) р+ "ехр ( — а))/С) (() + л)"+"ехР ( — Р— л) (а/С » 1).
(1О 97) (р + л)) Здесь была использована формула (10.96). Свойства распределений фотонов выше порога зависят от относительных значений р и й.'Отметим, что согласно (10.96), л=)1 для а/С= 2. (!0.98) Значения й, большие р, соответствуют скоростям накачки, при которых населенность активных возбужденных состояний приближается к насыщению, как указывалось в обсуждении формулы (10.72). Для значения л, много большего р, приближенное выражение для Р„ имеет вид л) йлехр ( — й) (а/С » 2), (10,99) За исключением дополнительного слагаемого р этот результат точно такой же, как результат для когерентного распределения, приведенный в (10.99).
Следовательно, распределение, данное в (10.97), имеет флук- Выражение (10.99) совпадает с распределением фотонов (10.9) для когерентного света. Отсюда видно, что только при многократном превышении скорости накачки порогового значения выходное излучение становится когерентным. Вид распределения фотонов для и/С = 2 показан на фиг. 10.8,в. Задача 10.2. Докажите, что среднеквадратичное отклонение для распределения чисел фотонов в излучении лазера, работающего при превышении порога, дается выражением пх — и'=р+ л (а/С > 1). (10,100) таовия лхзяях З71 туации, превышающие флуктуации когерентного света. Отличие ' от случая когерентного света существенно для 1 ~ и/С ( '( 2; при а/С > 2 величина отклонения уменьшается.
Задача 10.3. Докажите, что степень когерентности второго порядка лазерного пучка, описанного выше, дается следующими выражениями: йх2) (10.101) ниже порога при пороге и дш = 1 + (0/пз) (10.103) выше порога. Степень когерентности первого порядка для одномодового пучка, конечно, всегда равна единице. Результаты (10.101) и (10.103) снова несправедливы в очень узкой околопороговой области. График зависимости й от и/С на фиг. 10.7 ниже и выше порога был получен на основе приближений (10.88) и (10.96), а при точном пороге — 'на основе приближения (10.93).
Быстрое увеличение числа фотонов примерно на пять порядков в области порога является наиболее удивительным свойством этого графика. Скорость накачки, в два раза превышающая пороговое значение, имеет важное физическое значение. Это величина, при которой начинают сказываться эффекты насыщения. С теоретической точки зрения когерентное распределение фотонов для лазера, работающего при значительном превышении порога, обусловлено наличием в уравнении (10.77) первых двух членов, знаменатели которых линейно зависят от числа фотонов и.
Если в двух знаменателях пренебречь членами, содержащими п и и+1, то для всех значений а/С получается хаотическое распределение фотонов (10.90). В свою очередь знаменатели членов в (!0.77) получаются из знаменателей атомных функций вероятностей /(„и Я„+ы определяемых форму- ГЛАВА 1О лами (10.66) и (10.67). Как уже указывалось выше, роль этих знаменателей заключается в том, чтобы обеспечить насыщение населенностей двух атомных уровней при /,ааа О, /аа о,а/а о 2 1 Б 8 1а О,аа/ Фнг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
