1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 49
Текст из файла (страница 49)
в (6.52) Эти же интегралы входят в качестве множителя в матричные элементы составляющих Рв и Р дипольиого момента. Однако в силу равноправия осей ж, д, в лля свободною атома, у досгаточио вычислить матричные элементы (6.51) (ср. (4.57)); определив с помощью формулы д з)з мй = 3 2 ~1(Ру) з)змз, щ„, ~ силу перехола, можно, согласно (4.117) и (4.120), найти 2 искомые силы осцилляторов ) 5) Прн помощи сил осцилляторов легко находятся и вероятности переходов.
В табл. 6.6 приведены для атома водорода вероятности спонтанных переходов с верхних уровней с заданными значениями п)1), где и; = 2,3,4, на нижние уровни с различными значениями пь1ь (пь ( и;, 1ь = 1) ш 1). В таблице даны как вероятности отдельных переходов, так и суммы 2,' А,ь = А; вероятностей переходов с уровня Е; на все уровни Еь, лля которых эти вероятности отличны от нуля. Согласно (4.16), величина, обратная А„равна времени жизни тг атома, находящегося на уровне Е;; соответствующие значения времени жизни приведены в последнем столбце таблицы. Помимо этого, в таблице указаны средние значения вероятности спонтанного перехода с уровня с заданным значением и. Они получены путем усреднения значений вероятностей переходов с уровней, имеющих при данном и различные значения 1 (эти уровни, в силу вырождения по 1, имеют одинаковую энергию) по формуле — — г Е (21+1).4ы г (6.53) с учетом статистических весов д) отдельных уровней.
В таблице также указаны времена жизни, соответствующие средней вероятности. Средние вероятности существенны, если распределение атомов по уровням ) В первой формуле учтено, что сила осцилввторв Ввв испускания отрицательна. ~з) Более пвлробнов изложение расчета свл осцилляторов в вероятностей перехода можно найти в монографии Бете в Свлпнтерв 11341. При кваитовомехаиическом расчете непосредственно вычисляются дипольные моменты переходов (РД„ит „..., (х = е, д, в), т е. матричные элементы типа (4 53). Для составляющей дипольного момента по оси в, Р„= -ев = — ег сов В, мы, например, получаем, с учетом (6.40), В 6.5. Тонкая структура уровней энергии и спектральных линий 185 таблица 6.6 Вероятности спонтанных переходов Ам для атома водорода !а 10' с ') Конечное состоение ев14 Начальное состояние е,1, Время жизни, 10 вс Сумма вероятностей еь =1 мв = 2 теп состояния 2в 2р 0 6,25 ер ев 0,16 6,25 е!=г 4,69 4,69 0,21 срвлмее 0,063 0,22 0,64 1б 0,54 1,56 Зв зр 34 0,063 1,86 0,64 ер ев ер е;=3 0,43 0,55 0,98 1,02 среднее 0,025 0,095 0,204 0,018 0,030 0,003 0,070 О,!37 0,043 23 1,24 3,65 7,3 ер (ев 0,68 0,81 0,274 4р 44 43 ер ев 0,137 О,! 28 0,083 0,299 е, =4 0,089 3,35 среднее Расчет значений Ам лля атома водорода производится по первой формуле (6.50) с помощью значений 3 сил осцилляторов, приведенных а табл.
6.5. При этом надо учитывать, что 3;в = — — гв! (см. (4.114)). В 6.5. Тонина структура уровней энергии и спектральных линий До сих пор мы пренебрегали влиянием спина электрона на энергию атома. Наличие спина обусловливает для одноэлектронных атомов тонкую структуру уровней энергии и тонкую струюнуру спектральных линий, получаюшихся при переходах между этими уровнями, согласно основной формуле (6.14). Рассмотрение тонкой структуры уровней энергии и спектральных линий атома водорода и водородоподобных ионов представляют особый интерес.
Подобно тому как вывод боровской формулы (6.13) для уровней энергии явился проверкой нерелятивистской квантовой механики, ее основного уравнения — уравнения Шредингера, энергии с различными ! при заданном а все время остается пропорциональным их статистическим весам О! = 21+ 1, что будет иметь место при большом числе столкновений. Вероятности переходов убывают с увеличением главного квантового числа а! верхнего уровня, а при заданном а; — с увеличением главного квантового числа ае нижнего уровня.
При тех же значениях ав и аа они увеличиваются с увеличением азимутального квантового числа !1 верхнего уровня. Вероятности переходов между более глубокими уровнями получаются порядка 108 с ', им соответствуют времена жизни т порядка 1О 8 с. Самая большая вероятность перехода (А = 6,25 ° !О с ') и самое малое время жизни (т = 0,16 10 ас) получаются для перехода 1в — 2р, т. е. для первого члена серии Лаймана. Вероятности спонтанных переходов для водородоподобных ионов получаются, согласно (6.49), умножением значений, приведенных в табл.6.6, на Я~, времена жизни соответственно уменьшаются в 24 раз. 186 Глава 6.
Спектры атома водорода и водородоподобных ионов вывод в основном правильных формул для тонкой структуры, обусловленной релятивистскими эффектами, явился проверкой релятивистской квантовой механики, ее основного уравнения — уравнения Дирака. Вместе с тем обнаружились отступления от теории Дирака, имеющие большое принципиальное значение и объясняемые квантовой электродинамикой (см. 8 6.6, с.
193). Мы разберем сперва вопрос о характеристике уровней энергии при учете спин- орбитального взаимодействия. Благодаря спин-орбитальному взаимодействию орбитальный момент электрона!1 складывается со спиновым моментом в в полный момент (6.54) 7 =!+в, величина которого определяется внутренним квантовыи числом 2', принимающим полуцелые значения (см.
(2 21)-(2 24) и табл. 2 1, с 48). 1, ! 1 2 = 1+ —, 2 = 1 — — (! > 1), 2 = в = — (1 = 0). (655) 2' 2 ' 2 Значение проекции 2, вектора 2 определяется соответственно полным магнитным квантовым числам гп, принимающим 22'+ 1 значений от 2 до — 2. Вместо набора квантовых чисел (6.7~ мы получаем набор квантовых чисел и, 1, 2, пз/, (6.56) причем энергия свободного атома не должна зависеть от ш., т.е.
для уровня с заданными значениями и, 1 и 2 степень вырождения равна йу = 22 + 1. Отметим, что число независимых состояний при заданных и и 1 по-прежнему равно 2(21 + 1). Действительно, при 2' = 1+ '/з получается 22 +! = 21 + 2 состояний, а при 2' = 1 — '/з получается 22+1 = 21 состояний, т. е. всего 41+2 = 2(21+1) состояний. Мы имеем частный случай общего соотношения (3.35) (./~ — — 1м Хз = '/и .! = 2). Существенно, что в общем случае энергия одноэлектронного атома, при учете спин-орбитального взаимодействия, должна зависеть от квантовых чисел 1 и 2.
Зависимость энергии атома при заданных и и 1 ст д легко понять на основе наглядных представлений о магнитном взаимодействии спина электрона с орбитальным моментом— о спин-орбитальном взаимодействии типа (1, л). Электрон, враглаясь вокруг ядра, создает орбитальный механический момент ! и пропорциональный ему орбитальный магнитный момент рч = -рь1 (см. (2.48)). С другой стороны, электрон, наряду с собственным саяновым механическим моментом в, облааает и собственным спиновым магнитным моментом рв = — 2рьв (см.
(2.55)). Орбитальный и спиновый магнитные моменты взаимодействуют между собой, причем это взаимодействие зависит от взаимной ориентации моментов 1 и в, следовательно, ст величины 2 полного момента количества движения 2 = !+в (ср. 42.6, е. 61).
значение д = 1 ь '/з соответствует параллельной ориентации 1 и в, значение / = 1 — ~/з— антипараллельной ориентации. Энергии при / = 1+ '/г и у = 1 — '/з будут различны, получатся расщепление уровня с зааанными и и 1 на два уровня. Такое расщепление на два уровня — дуВлемное раггягллелие — в чистом виде наблюдается для атомов щелочных металлов, имеющих один внешний электрон, энергия которого зависит не только ст и, но и ст!.
Это дублетиое расщепление булет подробно рассмотрено в 4 8.4. Для атома водорода положение осложняется тем, что в иерелятивистском приближении энергия зависит только от п, но не от!. Добавка к энергии, зависящая от 1, притом того;ке порядка, что и величина лублетного расщепления, получается, если учесть зависимость массы от скорости как малую поправку к решению нерелятивистской задачи. Именно при учете зависимости массы от скорости, в рамках боровской теории эллиптических орбит, Зоммерфельдом была впервые получена формула для тонкой структуры, согласно которой уровень с заданным и расщепляется на и подуровней, соответствующих различным значениям азимутального квантового числа боровской теории Й = 1+ 1. Поправка /ЬЕ„Л к энергии (6.13) получилась равной [10) (6.57) э 6.5. Тонкая структура уровней энергии и спектральных линий 187 где а — постоянная тонкой структуры (см.
(6.31)). К этой же формуле непосредственно приводит теория Дирвкв (см. ниже, с. 188), согласно которой также получается расщепление уровня с заданным и на и подуровней. В рамках нерелятивистской квантовой механики тв же формула получается, если учесть, квк зависимость энергии от из-за изменения массы со скоростью, твк и дублетное расщепление уровня с заданным 1 вследствие спин-орбитального взаимодействия. Рассмотрим подробнее возможные уровни энергии атома водорода при задан- ном и, различающиеся значениями 1 и т'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
