1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В силу наличия множителя г, при ! = 0 В„а(0) Ф 0 и при 1 > 0 Вм(0) = 0 (ср. выше, с. !75), что весьма существенно при рассмотрении взаимодействия электронных оболочек с ядром; это взаимодействие будет велико, если электрон обладает значительной вероятностью находиться вблизи ядра, т.е. великб лля а-состояний (см. гл. 16, с.452). В табл,6.3 приведены выражения для радиальных функций (в безразмерных переменных, согласно условию нормировки ) В~,(и)аз«и = 1) при значениях и от ! до 4 и даны л соответствующие граФики; число узлов функции В,(г) равно и — ! — ! = и„. С помощью этих функций и построены графики функций Рм(а) = В~,(а)а~ (рис.6.7).
и!Радиальная функция оказывается вещественной, а узловая функция, вюбще тоаорл, являетсн комплексной, см. табл.6.3 я 6.4. 2) 6.3. Характеристика стационарньи состояний 179 'йгблица 6.3 Радиальные функции атома водорода )чх)2 Угловые волновые функции, являющиеся собственными функциями оператора Ж, представляют собой сферические функции Лапласа и имеют вид (гп = гп,) л) 1 1п)1 У) 2(О, р) =)У) Р (совр) ег г =)У) — Рг(х)(1 — х ) 2 е' где Р, (сов д) является произведением полинома степени1-1гп1, получающегося 1п)1-кратным дифференцированием по х = соа д полинома Лелгандра Р (х) степени) ', на (1-х ) 2 = (1— ~2) , ае 2 )М Г2г1 ~ч- 1 (1 — 1 1)1 сов~о) 2 = (мп В)1 1.
Нормировочный множитель )ьг) = ) ) — . Множитель е' г )/ 4х (1 Ч- 1гп1)1 представляет собственную функцию оператора М~„'~~ (ср. (3.38)). о 3 2 1 5 2 3 )Ре(х) = 1, Р (х) = х, Р2(х) = — х — —, Р)(х) = — х 2 2' ' 2 2 ио Глава б. Спектры атома водорода и водородоподобных ионов таблица 6.4 Угловые функции для сферически симметричного силового поля В табл. 6.4 приведены выражения для угловых функций при значениях ! от 0 до 3. Функции Уы(В, уг) и У, (В, В) отличаются лишь знаком показателя в экспоненте е' г. Квадрат модуля угловой функции (6.44) равен Лг~ (Р, ~(созе)), т.
е. не зависит от р и одинаков для состояний с ш, = пз и щ = -пз; его относительные значения и изображены графически на рис. 6Л. С помощью волновых функции (6.43) и (6.44) находится, согласно (6.41) и (6.42), общее распределение электронной плотности, показанное на рис. 6.5 ф 6.4. Правила отбора н вероятности переходов лля одноэлектронных атомов Рассмотрим теперь правила отбора и вероятности переходов для одноэлектронного атома.
Мы при этом не будем, как и в предыдуших параграфах, принимать во внимание тонкую структуру уровней и ограничимся случаем дипсльного излучения, как наиболее важным. Практически для атома водорода и водородоподобных ионов наблюдается только дипольное излучение. й 6.4.
Правила отбора и вероятности переходов 181 Для главного квантового числа и возможны любые его изменения, что приводит к появлению серий, высокие члены которых могут соответствовать очень большим изменениям гзп = и! — и!. Правда, с увеличением гзп вероятность переходов постепенно уменьшается (см. ниже, с. 185). Для азимутального квантового числа имеет место правило отбора (6.45) Ы=ж1.
Это правило отбора вытекает из правила отбора Ы = О, ж ! (см. (4. ! 56)) для квантового числа Х, определяющего величину механического момента, и из правила отбора (4. ! 53), запрещающего в дипольном излучении переходы между состояниями одинаковой четности. Как можно показать, все состояния с четным 1(т. е.1 = О, 2,4,... ) являются четными, а все состояния с нечетным 1 (т.е. 1 = 1,3,5,...) — нечетными; в частности, четными являются в-состояния и И-состояния, а нечетными— р-состояния и у-состояния. Позтому переходы с Ы = 0 запрещены, что и приводит, в сочетании с правилом отбора (4.156), запрещающим изменения Щ > 1, к (6.45).
Свойства четности состояний, в зависимости от четности 1, определяются вилом угловых функций (6.44), которые являются четными при четном ! и нечетными при нечетном 1. В этом легко убелиться, учитывая, что угловые координаты В и р преобразуются, при отражении всех координат вначале (к) = -х, у = — р, з = — х), по закону В = я — В, р = !г Ь я, а силу чего созе' = — созе и з!пФ = иве, е""г = ( — !) е жг. Позгому функция У! (В, р) при ! = О, 1,2,... четная, а при 1 = 1,3,... нечетная. Данные свойства выводятся еще проще, если представить сферические функции в максвелловской форме как потенциалы мультипслей порядка 2' (ср. с.
97): (6.46) где т — расстояние точки с координатами х, р, г, в которой определяется потенциал, от мультиполя. При отражении в начале, т, е, при изменении знака всех координат на обратный, выражение (6.46) сохраняет свой знак при четном и меняет его при нечетном 1 = а + р+ 7. Функции !1 (В, р) представляют линейные комбинации функций (6.46), относящихся к заданному значению 1, и обладают теми:ке свойствами симметрии. Согласно правилу отбора (6.45), з-состояния комбинируют только с р-состояниями, р-состояния комбинируют как с в-состояниями, так и с Н-состояниями, Й-состояния комбинируют как с р-состояниями, так и с у-состояниями и т.д.
Это можно представить в виде схемы (6.47) Правило отбора для азимутального квантового числа играет очень важную роль в атомной спектроскопии, и мы будем неоднократно встречаться с ним в дальнейшел!. Для орбитального магнитного квантового числа т! правило отбора, согласно (4.157), имеет вид Ьгп! =О,ж1, (6.48) т.е. т! может либо сохранять свое значение, либо менять его на ж!. Доказательство правила отбора (4 157) было приведено в 4 48, причем как раз для случая орбитального момента (см. примечание на с.
!!9), поскольку мм исходили из явного вила юхновых функций оператора М, = Л1,. 182 Глава 6. Спектра атома водорода и водородоподобных ионов т,=2 т,=! т,=в т =-1 г т,= — 2 34 1=2 т,=! т,=о т,= — 1 зр 1= 1( т,=б Зз 1=0 т=1 т,=о т =-! 2р 1=!( т,=о 1=0 т,=о 1з 1=0 Рис.6.9. Разрешенные переходы между уровнями с различными значениями п,г и пз, Для одноэлектронного атома для переходов и!1, — п212 можно вывести общие формулы, определяющие значения сил осцилляторов и вероятностей испускания и поглощения, что сводится, согласно (4.1!7) и (4.45)-(4.47), к квантовомеханическому расчету дипольных моментов переходов л.г ар = Р„зг, з „,гпт и сил о~ При учете спина вместо каждого состояния с заданными ! и тг получаются два состоянии ! с т, = я —.
При пренебрежении спнн-орбитальньгм взаимодействием имеет место правило отбора 2 гут, = О и улвоение числа сосюяний приводит просто к удвоению числа возможных переходов. Правило отбора (6.48) также является весьма важным; оно, в частности, очень существенно при рассмотрении эффекта Зеемана в сильных полях (см. гл.
!4, с. 391). В соответствии с правилами отбора (6.45) и (6.48) для переходов между уровнями с определенными значениями и = и! и и = пт, т. е. для отдельных спектральных линий с частотами (6. !4), комбинируют друг с другом лишь состояния, для которых опновременно г.'ь1 = ж! и 2зтззг = О, ж!. Разрешенные переходы показаны на схеме рис.6.9, слева указаны значения квантовых чисел и и 1, а справа — квантового числа шг. Мы получаем по 3 возможных составляющих для переходов с уровня и = 1, т. е. для членов серии Лаймана, и по 12 составляющих для переходов с уровня и = 2, т. е.
для членов серии Бальмерагз!. В 6.4. Лравила отбора и вероятности переходов !83 Таблина 6.5 Значения сил осцилляторов для атома водорода Начальное состояние п( 2р Зр . Конечное состояние п) пр па — 0,026 — 0,142 0,032 0,007 0,003 0,002 0,00 $ -О, $39 0,014 0,0031 0,00! 2 0,0006 0,0003 0,0002 п=) и=2 п=3 п=4 п=5 п=6 п=7 п=а — 0,041 0,484 0,121 0,052 0,027 0,016 — 0,417 0,011 0,0022 0,0009 0,0004 0,0002 0,4! 62 0,0791 0,0290 0,0 $39 0,0078 0,0048 0,0032 0,696 0,122 0,044 0,022 0,012 0,008 0,4249 0,1028 0,0419 0,0216 0,0!27 0,0081 0,619 0,$39 0,056 0,028 0,017 1,016 1,$56 0,053 0,025 0,0!5 Сумма ото = 9до со 0,024 0,048 0,0007 0,037 О,О( 10 0,0269 0,0007 0,002 0,045 Весь дискрет- ный спектр — 0,121 0,928 0,707 0,904 — 0,402 1,302 0,6489 -0,1 19 0,5650 Непрерыаиый спектр 0,183 0,293 1,! 1 1 1,000 0,4350 0,3511 0,008 $,000 -0,111 0,010 0,207 0,002 0,098 — 0,$1$ -0,400 Сумма 1,000 1,400 1,000 1,000 1,000 Помимо сил осциллятора для переходов на дискретные уровни, в таблице приведены силы осцилляторов для переходов на непрерывные уровни, лежащие выше границы ионизацни.
Только при учете этих сил осцилляторов выполняется правило сумм (4.118), согласно которому сумма сил осцилляторов, соответствующих всем переходам, возможным с данного уровня, равна единице. Как показывает рассмотрение таблицы, с увеличением и силы осциллятора быстро убывают, составляя несколько десятых для переходов между глубокими уровнями и сотые и тысячные доли при переходах на более высокие уровни. переходов Я$5 = 5„$ „, = 2, ')Рп,$, ьп,),ы,~ . Дипольные моменты переходов Р (лап) (аип) ы! еа2 обратно пропорциональны Я, что связано с изменением масштаба расстояний для членов изоэлектронного ряда (6.1) (ср.
(6.29) и с. 176), и соответственно силы переходов 8 обратно пропорциональны Я~. Частоты переходов, согласно (6.14), пропорциональны Я, поэтому для сил осцилляторов у, вероятностей А спонтанных и вероятностей В вынужденных переходов мы имеем У-иб-г'=1, А-и'В-г', В-б-г-'. (6.49) Таким образом, для аналогичных переходов в адноэлектронных атомах силы осцилляторов одинаковы, что естественно, так как силы осцилляторов представляют онтносительные вероятности переходов (см. (4.104)). В табл. 6.5 приведены численные значения сил осцилляторов для переходов и315 — и1 в одноэлектронном атоме (для значений и = 1, 2,3), вычисленные по формулам (4.117) (см. [134), 663).
Эти значения положительны при и > и. (силы осциллятора для поглощения) и отрицательны при и < и (силы осцнллятора лля испускания). 184 Глава 6. Спектры атома водорода и еодородоподобпых ионов В соответствии с (4.120) в таблице даны средние силы осцилляторов, связанные с вероятностями спонтанного испускания и поглощения формулами 14) 8вгегиг яе А,у —— — г,у, Ву, —— — /уг т,с' 'у' 'пти = -е / К„з)з(г)г Я,),(г) угг / У), (В,вз)У)им(В,уу)совВмпВмоар, в (6.51) и так как интеграл по угловым функциям легко вычисляется (он отличен от нуля лишь при т, = т, и 1г — — 1, ж 1, что и лает правила отбора (ср. 4.8)), то расчет сводится к вычислению рааиальиых интегралов 22„,0(г)у '2)„щ ау.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
