1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 44
Текст из файла (страница 44)
в 6.5, с. 186), — четырьмя квактовы(прб) (срб) (срнн) ми числами, определяющими значения четырех величин Е, Мр, Мр, и Мр, (см. В 2.2, с. 44). Эти квантовые числа следующие: 1. Главное квантовое число и, принимающее целые значения (6.2) п = 1, 2, 3, ... и определяющее энергию стационарного состояния по формуле Бора (см, ниже формула (6. ! 3) 2').
2. Азимутальиое (или орбитальиое) квантовое число 1, определяющее значение квадрата орбитального механического момента ЛХр Рб = Л 1 по формуле ЛХр (срб)2 2 2 (срб)2 821(1+ 1) (см. табл. 2.1, с. 48) и принимающее, при заданном и, целые значения (6.3) 1 = О, 1, 2, ...,п — 1, т. е. п значений. Состояния с последовательными значениями 1 принято обозначать буквами 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 !О !1 12 13 !4 а р д Г д Ь р (р 1 го и о д г и соответственно называть з-состояниями, р-состояниями и т.д.
Обозначения первых четы(хрх состояний возникли исторически (при изучении спектральных серий щелочных металлов, см. в 8.2, с. 22!); начиная с 1 =4, применяются последовательные буквы латинского алфавита. 3. Ордпавальиое магкитиое квантовое число п22, определяющее значение проекции Мр, — — Л1, орбитального момента ЛХр, по формуле Мр, — — Ьпзс и прини(срб) (прб) (орб) .маюшее„при заланном 1, целые значения (6.
5) пз( = 1, 1 — 1,..., — !, т.е. 21+ ! значений. 4. Сяяяаюе лмргииткое квантовое число п4, определяющее значение проекции (спнн) (спнн) (спнн) Ж, = Ьв, спиновогомомеита ЛХр по формуле Мр, = Ьпр, и принимающее два цовуцель2х значения ! ! П2$ = (6.6) 2' 2' Таким образом, характеристика стационарного электронного состояния атома водорода или водородоподобного иона дается набором четырех квантовых чисел (6.7) п, 1, пьр, прс.
С наглядной точки зрения 1 и тр определяют величину и ориентацию (по отношению к произвольно выделенному направлению) орбитального момента 1, а тс определяет ориентацию (по отношению к тому же направлению) спинового момента в (равного по величине '/2, см. с. 48). Векторы 1 и в при этом считаются независимыми. При наличии у ядра атома спина (см. с. 44) необходимо, в принципе, вводить, лля полной характеристики состояний однозлсктронного атома, ис четыре, а пять квантовых чисел, однако ~) Дпп атома ппдпрпдп эта формула была прнпсленп и б ) .2 (фпрмупа () Л)), 8 6.1.
Квантовые числа однозлектронного атома 165 Весьма важным свойством одноэлектронного атома является вырождение его уровней энергии. Энергия одноэлектронного атома, согласно формуле Бора, зависит только от и и не зависит от 1, гп1 и пз„т. е. существует вырождение по 1, по пи и по гп,. При этом вырождение по пзг и по т, связано с независимостью энергии свободного атома от ориентации его механического момента (благодаря независимости моментов 1 и в, это справедливо для каждого из моментов в отдельности), что имеет место для любого свободного атома, а вырождение по 1 является характерным именно для одноэлектронного атома, в котором электрон движется в кулоновском поле ядра — в электрическом поле, потенциал которого убывает обратно пропорционально расстоянию т электрона от ядра. Как мы видели в гл.
3, вырождение уровней энергии, как правило, связано со свойствами симметрии. Вырождение по ! лля атома водорода тоже связано, как показал Фок [2!2[, с симметрией. Если в волновом уравнении для однозлектронного атома ввести в качестве независимых переменных, вместо координат электрона х, у, ж его импульсы р„р„, р, (перейти к другому прелставлению, по терминологии квантовой механики), то получившееся уравнение обладает четырехмерной симметрией; зто и приводит к вырождению ие только по нгь но и по 1. Найдем степень вырождения уровней энергии одноэлектронного атома, исходя из характеристики его состояний при помощи набора (6.7) квантовых чисел.
Степень вырождения определяется числом независимых состояний с данной энергией (см. $ 2.1, с. 41). Рассмотрим сперва число независимых состояний при заданном значении азимугального квантового числа 1. Согласно (6.5), при заданном значении 1 мы имеем 21+ 1 различных состояний, отличающихся значениями пи, с наглядной точки зрения вектор 1 может быть ориентирован 2!+1 способами. При заданных ! и пн возможны 2 состояния, отличающихся значениями пз, (см.
(6.6)); с наглядной точки зрения вектор в ориентируется двумя способами (параллельная и антипараллельная ориентация по отношению к вьшеленному направлению). Всего при заданном 1 мы получаем 2(21+ 1) независимых состояний, отличающихся парами значений шн т„т. е. степень вырождения по пн и гп, уровня энергии с определенным 1 равна д~ = 2(21 + !); (6.8) прн последовательных значениях 1 это дает 1 = О 1 2 3 4 5 6 7 8 д = 2(2!+1) = 2 6 РО 14 18 22 26 3О 34 (6.9) Для а-, р-, И- и 7-уровней (! = О,!,2,3) мы имеем независимые состоянии, приведенные в табл. 6.1; значения пи и т, для состояний будут нам нужны в дальнейшем.
Теперь легко определить степени вырождения уровней с заданным значением главного квантового числа и, если учесть, что прн этом 1 принимает значение от О до я — ! (см. (6.3)). Суммируя величину д~ = 2(21 + 1) от О до и — 1, мы получаем степень вырохсдения и-1 в — 1 д„= ~~~ д! = ~~~ 2(21+ 1) = 2п . (6.!О) с=о мы в данной и последующих главах не пулем учитывать спина ялра, обусловливаюшего лишь очень малые расщепления электронных уровней — их сверхвюнкую структуру (ср. с. 34 и см. подробнее гл. 16). 166 Глава 6. Спектры атома водорода и водородоподобных ионов Таблица бд Число независимых состояний при различных значениях азиыутального квантового числа ! Число независимых состояний и = 21213-!! Название состояния с заланным ! О О Отг = в-состоянне 1 1 2 2 Π— 1 — 1 1 1 О 1 ! 1 2 1 1 1 1 1 1 г 1 ΠΠ— 1 — 1 — 2 -2 2 2 1 4-состояние 1 1 1 1 ! 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ! ΠΠ— 1 †! -2 -2 — 3 -3 го!=э 3 2 У-состояние 1 ! 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ! 1 1 г 1 г 1 1 2 2 Для последовательных значений п находим (6.11) Число независимых состояний прн заданном 1, равное 2(21+ 1), и число независимых состояний ирн заданном п, равное 2пг, играют основную роль в теории периодической системы элементов Менделеева, рассмотренной в гл.
7. В дальнейшем мы будем пользоваться общепринятым обозначением состояний электрона с заданными п и 1, при кот!гром цифра указывает и, а следующая за ней буква л, р, И, 3, ... — соответствующее значение 1, Таким образом, мы имеем состояния 1=0 1=0, 1 1=0, 1, 2 1 = О, 1, 2, 3 п=1, п=2, п=З, п=4, !л 2л, 2р Зл, Зр, ЗИ 4л, 4р, 44, 43' (б.!2) $ 6.2. Зависимость спектров одиоэлектроииых атомов от заряда и массы ядра Формулы (1.5) для уровней энергии и (1.8) для спектральных линий атома водорода, рассмотренные в в 1.2 и иллюстрированные рис.
1.2, представляют частные случаи общих формул для уровней энергии и спектральных линий одноэлектронных атомов. 'Эти формулы были впервые получены Бором в 19! 3 г, на основе модельных представлений его теории, а затем и выведены последовательным квантовомеханическим методом Шредингером в !926 г. Они имеют вид 71~2 Е„а = — — (п ее 1, 2, 3,... ) (6.13) 222 п=! п=2 п=З и=4 п=5 Квантовые числа независимых состояний при зааанном ! 2=2 1 2+6 8 2 2г 2+6+!0 = 18 = 2. 3' 2+ 6+!О+ 14 32 2 4г 2+6+ 10+ 14+ 18 = 50 = 2 5 8 6.2. Зависимость спектров от заряда и массы ядра 167 (6.14) где лосиоянная Ридберга 2 4 2 2 4 Н= эрг= Ь2 ЬЗ Мт, М+т, 2я'те С вЂ” 3 СМ с!43 (6.15) те тп, !+— М (6.16) власеинеское выражение (6.!6) лля приведенной массы системы, состоящей иа.двух частиц с массами М и от„сохраняется и в квантовой механике.
Это связано с теы, что квантовомехаиический оператор энергии («гамильтониан Й ), аналогичен классической функции Гамильтона Н, в результате чего относительное движение частиц отделяется от движения веитрв тяжести так же, как и в классической механике. Уровни энергии и частоты переходов лля членов изоэлектронного ряда (6.1) отличаются масштабом, который увеличивается пропорционально ЫЯ2. Так как. постоянная Ридберга, согласно (6.16), лишь незначительно изменяется с массой /т, 2 ядра ~ — к 1), то этот масштаб определяется множителем Я, т. е.
возрастет ~М пропорционально квадрату заряда ядра. Для иона Не+ он больше, чем для атома Н, в 4 раза, для иона 1.1++ — в 9 раз и т.д. Соответственно увеличиваются энергии ионизации, они равны (в эВ) 1 Н !П !Ч Ч Ч! ЧН Ч!Н 13,595 54,403 122,419 217,657 340,127 489,84 666,83 871,12' Спектральные серии двя водородоподобных ионов аналогичны спектральным сериям (1.9) атома Н, только смещены в коротковолновую область.. В частности, для Не+ серии Лаймана (переходы п1 —— 1, п2 = 2,3,4,5,..., линии Ь „Ьр,йт, Ьг,..., см.
рис. 1.2) соответствуют линии 303,78 А, 256,31 А, 243,02 А, 237,33 А, с границей при 227,851 и серии Бальмера (п1 — — 2, пт = 3,4,5;6,... ли- яви Н„Ыр,Н„Н4,...) — линии 1640,411, 1215,!ЗА, 1084,94А, 1025,27А, ... с границей при 911,40 А. Несмотря на малость отличия приведенной массы т от массы электрона иь„ все же необходимо учитывать зависимость тп от массы ядра Ж, определяемую фвр иулвй (6.16) которую с очень малой ошибкой ~ — ) можне замеиюгь фврмулой ~М) тп,тт тв = тв, ! — — )). Значения постоянной Ридберга несколько отличаются как М)) дтя разных элементов, так и лля изотопов одного элемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
