1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Каждому уровню энергии Е„в соответствует круговая орбита радиуса (6.29), причем постоянная »2 ао — — агг — — — — — = (0,529!72ш 0,000002)10 в см (6.30) пзез 4язтез представляет радиус первой боровской орбиты (и = 1) для атома водорода (Я = 1) н является очень удобной естественной единицей для измерения атомных размеров' ). Величина 2ав = 2ап —— - 1,058 гч ев 1А дает диаметр атома водорода в основном состоянии по теории Бора. Согласно (6.29), радиусы орбит пропорциональны пз, т.е. быстро возрастают для возбужденных состояний, и обратно пропорциональна Я, т.е.
убывают для членов изоэлектронного ряда (6.1); это находится в соответствии с тем, что энергия связи электрона Иг„л — — — Е„в, согласно (6.13), уменьшается 1 '! 2 при возбуждении И'„л — ) и увеличивается с увеличением Я (Иг„в Я ). пз) я ! Соответствующих связанным сосюяниям электрона (Е < О); своболным его состояниям (Е > О) соответствуют гиперболические орбиты. 4! Ее точное значение (6.30) соответствует гл = ю„т. е. бесконечной массе ядра, см. (6. 16). Подробнее эти вопросы изложены в монографии Зоммерфельлв»Строение атома и спектры», т. 1 [!О[, первое издание которой, в олпом томе, вышло в !9!9 г. и явилось первой книгой по квантовой теории атома и спектров; впоследствии монография была разделена нв лва тома, причем в первом томе осталось изложение боровской теории, а второй том [! 36[ был посвящен квантовой механике.
172 Глава 6. Спектры агпомо водорода и водородоподобных ионов Отметим, что ддя круговой орбиты отношение ско- рости р„движения электрона по орбите к скорости света равно, согласно (6.28) и (6.29), р з Мр 2ле'Я 2 — = — — =а —, (6.31) с спга„х сл и п 2ле 1 где а = — — — безразмерная постоянная, играюсл !37 Шая важную роль в теории тонкой структуры (постоянная тонкой структуры, см.
ниже, 9 6.5, с. 189). Относитель- ная скорость на первой боровской орбите, рн, как раз равнаа. Величина отношения (6.31) определяет величину релятивистских поправок к формулам нерслятивистской теории; эти поправки могут быть порядка —, !Х вЂ” ) и т.л., с с г аг 7'аг'( т. е. порядка —, — 7! и т.л. Рис.6.2. Движение электрона по наклонной орбите 5) л=1 а=а, Й=4 а=Ь 2г(2р) га !с=2 Ь=а л=2 а =4а„ Зз(Зд) ! Ь= — а 1 =3 2 Ь= — а г з 3 Ь=а Зз) л=З а =9а, 41(4~) ! Ь=-а 1 4 2 Ь= — а 1 г 3 Ь= — а з 4 4 Ь=а !с = 4,(44) Й = л=4 а=!Ьа„ Й Ь„я = а„а-. (6.32) и КббитбвсибХаничбСКбя фОРмула М = ах! Ц! -1- 1) переходит в формулу Мр — — аа пря замене (орб) / !арб) !(! -1- 1) = (Ь вЂ” !)В через Ь~. Рис.6.3. Орбиты электронов при значении главного квантового числа и от ! до 4 При наиболее общем решении задачи об однозлектронном атоме, на основе модельных представлений теории Бора, получается движение по эллиптическим орбитам.
В соответствии с тремя степенями свободы состояния электрона характеризуются тремя квантовыми числами: и, определяющим энергию по формуле (6.13), как и в случае круговых орбит, Й, определяющим механический (брб) момент по формуле Мр 27г (Й = 1,2,...,п) и отличающимся от 1 (см.
(1.3)) на единицу (Й =1+1)", и ть, определяющим проекцию механического момента по формуле М, (брб) Йгпы где тх = Й, Й вЂ” 1,..., -Й, аналогично формуле Мр, (брб) Атг, где т! = 1, 1 — 1,..., — 1. Заданным значениям п и Й соответствует движение по эллипсу с большой полуосью, даваемой формулой (6.29), и малой полуосью, равной й 6.3. Характеристика стационарных состояний 173 В частном случае й = и получаются круговые орбиты, рассмотренные выше и соот- ветствующие, таким образом, максимально возможному, при данном и, значению 1 = й — 1 = и — !. Ядро атома находится в фокусе эллипса, а угол наклона д орбиты эллипса (рис. 6.2) определяется формулой пространственного квантования. (арб) собд= = — (та =й,й — 1,...,— й).
(орб) Р (6.33) 21(2в) 31(Зв) Зг(Зр) 4~(4в) 4г(4р) 43(4о) О,!34агл = = 0,532— г 0,057аэл —— = 0,513— г 0,255аэл = ао = 2,30— г 0,03!8а4л = ао = 0,509— Я 0,132а4х = ао = 2,12— г 0,338а4л = = 5,42— г (6.34) Мы видим, что, согласно модельным представлениям, электроны, движущиеся по эллиптическим орбитам, особенно сильно вытянутым, подходят очень близко к ядру. В частности, для орбит с й = 1 минимальное расстояние с увеличением и апх ао стремится к = †. Вырождение связано, согласно теории Бора, с тем, что 2„г Б. энергия зависит только от величины а„а большой полуоси, но не зависит от его й( гг пгь 3 формы т.
е. отношения — у! и от наклона его плоскости ~т. е. от соа д = — ~. Возможные эллиптические орбиты находятся пря помощи квантовых условий общего вида, справедливых для пернолических движений и имеющих форму Р; Вйэ = о,й, (6.35) тле 9, — обобщенная координата, рг — сопряженный с ней импульс, и интегрирование производится по всей области изменения переменной дп и; — квантовое число, принимающее г) Опп равны, согласно свойству эппппса (см. рвс. 6.4), С помошмо (6.32) и (6.29) получаем формулу по которой и вычислены значении (6.34). Эллиптические орбиты, соответствующие значениям и = 1, 2, 3 и 4, показаны на рис. 6.3.
При и = 1 возможна лишь одна орбита — круговая, при и = 2 возможна Ь 1 эллиптическая орбита с отношением — = — и круговая орбита и т.д. На рисунке а 2 приведены обозначения орбит при помощи символа пь (например, Зг означает и = 3, й = 2), а также символов пв, пр, пй, пу (см. (6.12)), где в, р, д, 2 соответствуют 1 = О, 1, 2, 3, т. е. й = 1, 2, 3, 4. Чем меньше й, т. е. чем меньше орбитальный механический момент, тем эллипс более вытянут и тем меньше минимальное расстояние, на которое электрон подходит к ядру, и тем больше максимальное расстояние, на которое он удаляется от ядра. Для эллиптических орбит наименьшие расстояния от ядра составляют' ) 174 Глава 6. Спектры атома водорода и водородоподобных ионов целые значения >.
Для движения электрона во- 9> круг ядра при введении полярных координат г и ф в плоскости орбиты (рис.6.4) и азиму- Ь та >е относительно оси з (рис.6.2) квантовые ф условия имеют вид а ~р,>(г=о„д (п„=0,1,2,...), Рог(ф = ДЬ (Д = 1, 2, 3,... ), (6.36) Рвс. 6.4. Эллиптическая орбита электрона Х р,~ т 3, > „0 д> Здесь и„— радиальное, Ь вЂ” азимугальное и пз„— магнитное квантовое число. Яе 3 р,=тг= 2т(Š— (Г)= 2т ЕЧ- — ), г ) а ре —— Мрче~, и ре = Мз~~~, что дает, в силу постоянства Мр~ и Мр~~ = М„~~ соз д, при интегрировании по ф и 9> от Ода 2п, правила квантования, приведенйые выше Энерп>я выражается через главное квантовое число и = и, + д, где >с = 1 4 1 = и, о — 1,..., 1 и соответственно о, = О, 1, 2,..., и — 1. Отметим, что существенное отличие квантового числа й от квантового числа ! состоит в том, что оно не может принимать значения, равные нулю; это значение соответствовало бы, согласно (6.32), выРождению эллипса в отРезок пРЯмой длины 2о„з, пРоходЯщий чеРез Ялро, что в модельной теории исключается.
Так как при и = ! Д = 1, то дпя основного состояния атома волорода Мз ф 0 и соответствующий орбитальный магнитный момент должен был бы быть равным не нулю, а — рв (см. 62.5, с. 55). В действительности атом водорода в основном состоянии облааает магнитным моментом, равным — рв, однако не орбитальным, а спиновым (см. (2.56)), орбитальный же момент равен нулю. Перейдем теперь к квантовомеханической характеристике стационарных состояний одноэлектронного атома. Решение квантовомеханической задачи приводит к формуле (6.13) для уровней энергии и одновременно позволяет определенным образом характеризовать вырожденные состояния с различными значениями ! и гп> (при заданном и) наглядным образом при помощи распределения злектроинаи плотности.
Заряд электрона при этом рассматривается как непрерывно распределенный по объему атома с некоторой плотностью р(х, у, л) таким образом, что полный заряд равен е, т, е, рд)г= р(х,у,а)дхдуда=е. (6.37) В отличие от наглядных представлений боровской теории, согласно которым электрон движется по определенной орбите, в наглядной картине, иллюстрирующей квантовомеханическое рассмотрение, электрон нельзя локализовать и каждому состоянию сопоставляется пространственное распределение электронной плотности, > Квантовые условия (б.35) могут быть получены из квантовой механики втек называемом хвззихлзсспчесхом приближении (си. 1>311, с. !93, и 11321, с.
22!) и при этом в пих входят полуцехые квантовые числа. Позуцсзые квантовые чцсзз вводились з отдельных случаях и По квантовой механики. в 6.3. Характеристика стационарных состояний !75 2г те=О Зз т=О 2р т= О 2р т=! Зр ми=О Зр ЗВ и=! ЗВ нг=2 Рис.6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
