1626435914-6d29faf22cc9ba3862ba4ac645c31438 (844347), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(4.159) Правила отбора (4.156)-(4.159) соответствуют закону сохранения момента количества движения. Г!ри дипольных и магнитных переходах происходит непускание или поглощение фотона с моментом, равным 1, а при квадрупольных переходах— с моментом, равным 2. В силу упомянутого закона для поглощения имеем 71+! = .7э и лля испускания 7, = .7э+1, где 7~ и 7з — начальный и конечный моменты атомной системы, а ! — момент фотона.
Значения Ы = О, ш! и Ь.7 = О, ж1, ж2 зависят от взаимной ориентации моментов системы и момента фотона (рис.4.8). Из этих наглядных представлений сразу вытекает, что имеются дополнительные правила запрета: дипольное и магнитное излучения (4.160) .7 = 0 ~э,7 = 0 запрещены .7=0 .7=0 7= Чг .7= '/э ,7=0 7=1 квадрупольное излучение (4.161) запрещены Как мы видели в б 3.3, полные волновые функции системы в целом являются, при наличии одинаковых частиц, либо симметричными, либо антнсимметричными по отношению к перестановке частиц (в зависимости от того, имеют ли частицы целый или полуцелый спин), и в этом случае правила отбора являются тривиальными.
Однако отдельные сомиожители, ца которые разбивается волновая функция, в ряде случаев (например, когда ее можно приближенно прелставить в виде произведения функции только от пространственных на функцию только ст спиновых координат) могут быть как симметричными, так и антисимметричными, и тогда существенны правила отбора (4.153).
Глава 4. Вероятности переходов и правила отбора 22 =11 — 1 2з=У, ь2 э 22 А ! у ! Р= Э 2,=2,-2 Рвс.4.8. Изменение момента количества движения при различных переходах: и — при дипольных и магнитных переходах; б — при квадрупольных переходах Действительно, в случае (4.160) изменение Х~ — Хз момента системы при переходе равно нулю, а в случае (4.161) — нулю или единице, что делает невозможным непускание или поглощение фотона с моментом 1 или 2.
Можно показать в общем виде (141), что 2'-польное излучение (см, с,уу) обладает моментом количества движения, равным 1, причем независимо от того, является ли это излучение электрическим или магнитным 1. Отсюда следует, что момент равен 1 лля дипольного м1 (электрического и магнитного) излучения (! = 1) и 2 для квадрупольного излучения (1 = 2). Существенно, что при различных изменениях магнитного квантового числа т отличны от нуля различные составляющие (Рх)яш,лы", (цх)л л и (сел)л хл моментов перехода, т. е. различным Ьгп = т — гпл соответствуют, согласно наглядным представлениям, различным образом ориентированные осцилляторы. В частности, для дипольного и магнитного излучений переходам хьт = 0 соответствуют осцилляторы„ориентированные по выделенному направлению х((Р,)л э«ф О, (р,)л э.
Ф 0), а переходам Ьт = щ! — осцилляторы, ориентированные перпендикулярноэтомунаправлению((Р,)э л ь,ФО,(рк)л л ь|фО) и ((Рэ)г л ь,~О, (рг)явьл ш ФО). Это определяет поляризацию излучения. При Ьгп = О получается линейная поляризация вдоль оси г, а цри ххпь = ж1, как можно показать, — круговая поляризация в плоскости ху. Правила отбора лля квантовых чисел 2 н т и поляризацию соответствующего излучения можно найти, рассматривая инварнантность составляющих матричных элементов вектора (в случае лнпольного и магнитного излучений) и составляющих матричных элементов тензора (в случае кьаарупольного излучения) по отношению к операциям симметрии группы трехмерных вращений н группы вращений вокруг оси.
При этом отличие вектора магнитного момента р как акснального от полярного вектора дипольного момента Р является несущественным, оно проявляется только при операниях отражения (ср. табл.4.2). хв Электрическое и магнитное излучения отличаютсн четностью. 84.8. Правила отбора для момента количества движения и его проекции 1!9 Матричные элементы длл составллющих Ал вектора А имеют вид (ср.
(4.53), т = .У', а = т', й = з", р = т"). (Ал)з м,з = / з/л'„, Алзгз ах, (4.162) а для составллющих Т,„ тензора — вид (Тл„)зы,з. "= / зрзыТз,4з | дх. (4.163) (4.165) (А ), з е!"' Из инвариантности матричного элемента следует, что е' ! — зз~ (4.166) откуда пл = т ллл А (4.!67) Этот же результат получится ллл составляющей Т„ тензора, преобразующейсл как х'. Другие составлающие А, и А„вектора и остальные составляющие тензора будут преобразовываться не сами в себя, а более сложным образом, в соответствии с законом (3.37) преобразования координат (где а„= а„„= сов |с, -а„, = аю — — а|п ул).
Однако мо:кно составить из них линейные комбинации, преобразующиесл, с точностью до множителя, сами в себя. Такими комбинациями являются А„ж зАз ллл вектора и Т„-ь Тю, Т„ж |Т„„҄— Т„, ж лТ„„ дла тензора. Они преобразуютса по закону: А', ж лА'„= А, сов ул, + Ат мп улл ж л(-А, в|а (е~ + А„соа рл) = (4.168) = А,(созул~ ~ л а|и ул1) ж лА„(сох!д~ Т л ми ул1) = (А, ж лАт) е™ Т„+ Т„„= (Т„-ь Т„„) 1, Т, х |Т„, = (Т, ЫТМ) елч ', (4.169) (4.170) (4.!7!) При поворотах соответствующие матричные элементы будут умножатьса на экспоненты елм ~ ы', е'!и ю!ю и еч ™, отличные от пула лишь при т' — т" = О, т'-т" = ж1, гл' — т" = ж2.
Окончательно мы получаем лла составляющих вектора пл =пл длл А, (4.172) гп =т ~! для А,~(Аз! ! Мьл рассматривали закан преобразования дла орбитального момента; а общем случае любого механического момента закон преобразовании имеет тот же вид. Рассмотрим сначала поведение матричных элементов при операциях поворота вокруг оси. Волновые функции при повороте на угол у, согласно (3.39) н|, преобразуютсл по закону г (4.164) Составляющая А, вектора по оси з при повороте не меняется, и мы получаем !го Глава 4.
Вероятности переходов и правила отбора для составляющих тензора для Т„и Т., + Т„„", для Т„д. ъТу„ а т =т т~=т ж! т =тж2 (4.173) (4.174) и Рл х Вз — — Влез + Рз ю -1- Рл 1- Рл-~ + Вл-т (4.175) Тождественное прелставление Рд может получиться при перемножении двух неприводимых представлений, только если они одинаковы (ср. (3.52), только при д) = дт мы получим д = 3~ — д) = 0; во всех других случаях (д, ~ д)) значение нуль невозможно). Отсюда вытекает, что в произведении (Ру х В,) х Рп = (Ву ы + Рл + Вл,) х Рж тождественное представление получится лишь в случаях .Ул = Х'+ 1, .У" =,У' и дв = .У' — 1, т.
е. мы получаем правило отбора (4.156). для квалрупольиого момента, согласно условию Т ч Туу 4 Т„= 0 (си. примечание на с. !00, тзу = г)лу), мы имеем т + т„у = — т„, и Уа' = тя соответствУет лищь одной составлающей. )з) В силу симметрии )А„! = )А„! = Аа и дхя гармонического кавебаиия иы имеем по оси х колебание Аае' ' и цо оси у колебание уАае ) = Аае'! ~ у), что и соответствует вращению по кругу вокруг осн к ) Прелставлецие Р',, образованное сопряженными волновыми Функциями, совпадает с прелставлел' наем Ол (их характеры одинаковы). )У) Это будет иметь место при Т, .)- Т„„-)- Т„= О.
Если сумма 7' + Т„„-)- Т„не равна нулю, то оиа явхяется инаариантом теяюра и преобразуется согласно олномериому тождественному представлению Ру. ) Перемножать неприводимые представления можно а любой последовательности. Таким образом, мы получили правила отбора (4.157) и (4.159) и, более того, определили, какие именно составляющие отличны от нуля при данном изменении магнитного квантового числа. Иначе говоря, мы нашли, какие именно осцилляторы соответствуют переходам с различными значениями стт. Это дает нам поляризацию рассматриваемого излучения.
Например, в случае (4.172), т. е для дипольного и магнитного излучений, правилу отбора Сзт = гп' — та = 0 соответствуетлинейный осциллятор, ориентированный вдоль оси х, а правилу отбора ты = т — т = ж! — совокупность двух одинаковых линейных осцилляторов, ориентированных по осям к и у и колеблющихся с разностью фаз ж —, что дает враще- 2 ние по кругу вокруг оси хт'). Излучение в первом случае будет линейно поляризованным, а во втором случае — поляризованным по кругу. Сложнее закон преобразования волновых функции при операциях трехмерной группы вращения.
Волновые функции ф„',, преобразуются совместно (см. с. 81), образуя неприводимое представление Рз размерности 2Х' д 1; волновые функции !Уя» также преобразуются совместно, образуя неприводимое представление Рп размерности 25щ + !з ). Три составляющие Ах (Л = к, у, з) вектора А будут также преобразовываться согласно нецриводимому представлению группы вращения, а именно — согласно трехмерному представлению Рь Аналогично пять независимых составляющих тензора будут преобразовываться согласно неприволимому пятимерному представлению В) Матричные элементы (4.!62) будут преобразовываться согласно прямому произведению (см. с.
81) представлений Вл, Р, и Рп, а матричные элементы (4.163) — по произведению представлений Рл, В) и Вп, т.е. согласно Рл х Р, х Ру и Рл х В, х Рл. Можно показать (см., например, [55), т. П, с. 69), что матричные элементы будут отличны от нуля, лишь если тройное прямое произведение, согласно которому они преобразуются для рассматриваемого перехода, содержит тождественное представление Ва.
Разлагая прямые произведения Ру х Р, и Рл х Р) согласно (3.52), получим ж) Р, хР, =В,„+В 4Р й 4.8. Правила отбора для момента количества движения и его проекции 121 Аналогичным образом получается и правило отбора (4.158). Легко видеть, что лополнительные правила запрета (4.160) и (4.1б!) вытекают из того, что (Ре х Р,) х Ре — — Р, х Ра —— Р, ~ Ра.
(Р у х Рэ) х Р у = (Р,~ + Р1 ) х В у = Вз -1- 2Рз 4 Р, и т.д. Метод вывода правил отбора путем разложения тройного прямого произведения представлений, согласно которым преобразуются волновые функпиирассматриваемых уровней и составляющие моментов, является общим и может применяться во всех случаях. Для невы- рожденных уровней и для составляющих моментов, преобразующихся сами в себя, его применение сводится к исследованию инвариантности одного матричного элемента типа (4.149), поскольку тройное прямое произведение трех одномерных представлений есть произведение трех множителей, на которые при операпиях симметрии умножаются гл, тЭы М. Примерами этого являются выводы правил отбора (4.153), (4.154) и (4.172), (4.173). ГЛАВА 5 ИНТЕНСИВНОСТИ В СПЕКТРАХ й 5.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
